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    如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維

    2021-03-11 23:17:36鄧流北
    天府數(shù)學 2021年12期
    關(guān)鍵詞:新高考改革數(shù)列創(chuàng)新思維

    鄧流北

    摘 要:一個國家,民族的進步與知識的創(chuàng)新性息息相關(guān)。創(chuàng)新思維是指以新穎獨到的方法解決問題的思維過程,它的特征具有新穎性,多元性。創(chuàng)新思維可以增加人類知識的總量,推進人類社會不斷進步。隨著新高考改革的不斷推進,教師在教學過程中,應注意培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,提高學生的創(chuàng)新思維能力,激發(fā)學生創(chuàng)造力。本文以一道八省聯(lián)考的數(shù)列題為例,通過一題多解的形式,說一說在新的高考背景、新的評價體系下如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。數(shù)列問題不僅是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容,也是每年高考必考的知識點,學生不僅要學會解決求數(shù)列通項的一般方法,更要在方法上總結(jié)創(chuàng)新,提高解決問題的思維能力。

    關(guān)鍵詞:創(chuàng)新思維;創(chuàng)造力;新高考改革;數(shù)列

    “創(chuàng)新是民族的靈魂,是國家興旺發(fā)達的不渴動力”,隨著新課標的改革和素養(yǎng)教育的加強,創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力成為了各個學科的共同要求。什么是數(shù)學創(chuàng)新思想?如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維?是值得我們研究的課題。創(chuàng)新思維指的是人們在探索未知領(lǐng)域的活動過程中,用新穎獨特的思維方法,創(chuàng)造出有社會價值的新觀點、新理論、新知識。培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維,就是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力,最終目的是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才。2021年,我國的廣東、河北、遼寧、江蘇、福建、湖南、湖北、重慶八個省啟動高考綜合改革,而2021年八省聯(lián)考的數(shù)學試題大興機場求多面體曲率問題也一度上了新聞熱搜,題目非常新穎,考查到了學生的創(chuàng)新性思維能力。同時社會民眾非常關(guān)注數(shù)學新高考改革新動向和數(shù)學學科教育改革問題,新高考數(shù)學考什么怎么考將會成為人們一直關(guān)注的焦點。本文以一道八省聯(lián)考的數(shù)列題為例,通過一題多解的方法,說一說數(shù)列題考查的知識點發(fā)生了哪些變化,以及如何利用創(chuàng)新思維求解數(shù)列的通項公式。

    一、創(chuàng)新是對原有知識認識的升華

    在高考考查數(shù)列的通項公式知識解答題中,所給的數(shù)列一般都不會是簡單的等差或等比數(shù)列,往往給出的是遞推關(guān)系的數(shù)列。為了解決這樣的數(shù)列通項公式問題,直接利用通項公式求解是不可能的,這時就要用創(chuàng)新思維,把一般的數(shù)列通過變形、構(gòu)造,整體替換思想,或利用相消法把一般數(shù)列化成我們能認識的、新的等差或等比數(shù)列,再利用我們熟悉的等差或等比通項公式或求和公式,就可以解決高考中求一般數(shù)列的通項公式問題。

    以下求解數(shù)列通項公式的一般流程圖:

    為了求解一般數(shù)列的通項公式,我們要具備以下知識。

    1、公式法

    公式法是用于題目給出已知該數(shù)列為等差或等比數(shù)列,又給出了首項和公差或公比情況下,可以利用公式法來求解,或者給出了前n項和和通項公式的關(guān)系,也可用公式法求解。

    設是等差數(shù)列,首項為,公差為d, 則其通項公式為。

    設是等比數(shù)列,首項為,公比為q,則其通項公式為。

    已知數(shù)列的前n項和為,則,求解時要注意對n進行分類討論,通項能合并時一定要合并。

    2、構(gòu)造法

    構(gòu)造法,指通過對一般數(shù)列進行變形,構(gòu)造,整體代換,利用函數(shù)思想,構(gòu)造出兩個結(jié)構(gòu)一樣的式子。例如:,從數(shù)列的結(jié)構(gòu)看,它既不是等差數(shù)列,也不等比數(shù)列。通過構(gòu)造法的思想,設未知數(shù)x,構(gòu)造出,化簡,對照原式,容易得到,即,這樣我們就構(gòu)造出一個新數(shù)列,且新數(shù)列符合等比數(shù)列的特征,后一項與前一項的比為2,此時的新數(shù)列就可以通過等比數(shù)列辦法來求解了。

    有些數(shù)列題求通項之所以讓學生感覺求解困難,很大一部分原因是解題思路方向搞錯了,在高考的數(shù)列題中,給出的數(shù)列往往不會直接是等差、等比數(shù)列,而是一些遞推關(guān)系的數(shù)列,形式結(jié)構(gòu)上會有些復雜。但不管怎樣復雜結(jié)構(gòu)的數(shù)列,我們的目標就是通過對該數(shù)列變形,構(gòu)造,整體代換,轉(zhuǎn)化成等差、等比形式。例如:2015年新課標2,理科16題,設是數(shù)列的前n項和,且______

    通過觀察結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn),若等式兩邊同除以,就可以構(gòu)造出一個等差數(shù)列的形式,,則是一個首項為,公差為-1的等差數(shù)列,則于是。這種方法稱為倒數(shù)成等差法。

    我們再看一道形式上更復雜的2011廣東理科高考題,設,數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。觀察的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn),要想構(gòu)造出一個新數(shù)列,使它的結(jié)構(gòu)向等差方向轉(zhuǎn)化,取倒數(shù)得,這樣就得到兩個結(jié)構(gòu)一致的式子,換元設,則,然后分兩種情況討論,當,為等差數(shù)列,求出,當,此時還不是等差或等比數(shù)列,利用上面提到的方法再構(gòu)造一次成等比數(shù)列,就可以求出,從而得到的通項。

    3、相消法

    相消法,這個名字主要來源于“裂項相消法”。作者發(fā)現(xiàn),對于高考中考查累加法,累乘法,裂項相消法,我們一般都是可以通過數(shù)列自身變形以及對數(shù)列進行加減乘除運算后,抵消大部分的項,從而達到化簡的目的,求出通項公式。因此我把這種能自我抵消的方法叫做相消法。

    例如:

    累加法,

    題目求解如下:

    ,

    把這n-1條式子累加起來,便得到:

    ,

    又,故,且

    以上三種方法是解決一般數(shù)列求通項的方法,特別是后兩種方法,它是高考考查的熱點也是難點。它是在考查學生對等差、等比數(shù)列有了一定認識之后,是否能通過對已知給出的數(shù)列變形、構(gòu)造,整體替換基礎上,利用創(chuàng)造性思維,構(gòu)造出一個新的數(shù)列。構(gòu)造變形后,對于解決這樣一個新數(shù)列問題,它的難度就比解決原來的數(shù)列的難度簡單許多,這個思路是解決求數(shù)列通項問題的一般方法。

    二、創(chuàng)新要有一題多解、發(fā)散思維的能力

    “一題多解”是高中數(shù)學教學中提高學生解題能力的常用手法。實踐證明,

    解法越多的學生思維越活躍,視野越開闊,創(chuàng)新意識越強。近幾年來,高考中的

    解答題,考生的解法多樣性,層出不窮,因此,教師在課堂上要注重“一題多解”

    思想的滲透?,F(xiàn)以一道2021年八省聯(lián)考數(shù)學題數(shù)列為例,用一題多解的五種解法說明如何用構(gòu)造法和相消法求數(shù)列的通項。

    1、用構(gòu)造法的三種解法解題

    以2021年八省聯(lián)考數(shù)學題為例:已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足

    證明:數(shù)列為等比數(shù)列;

    若求的通項公式。

    第一問分析:要證明一個數(shù)列為等比數(shù)列,其實也是考查數(shù)列的構(gòu)造法思想,構(gòu)造出,不難得到.

    證明:

    (1)

    因為該數(shù)列各項為正數(shù),故

    首項,公比為3,故

    解法一:(2)分析:這是一個遞推形式的數(shù)列,為了形式好看,我把數(shù)列寫成,從結(jié)構(gòu)來看,此數(shù)列類似等比數(shù)列結(jié)構(gòu),但后面還多了一項。為了構(gòu)造出等比數(shù)列的形式,可以把拆成兩部分,一部分放在等式左邊,一部分放在等式右邊,構(gòu)造出這樣一個式子:,此時等式左邊結(jié)構(gòu)和右邊的結(jié)構(gòu)是完全一致的,就可以把看成一個新的等比數(shù)列求解,再通過待定系數(shù)法,求出x,最后利用等比數(shù)列的通項公式就可以求出。

    解:,設未知數(shù)x,構(gòu)造一個新數(shù)列為

    對照原式,容易求得

    所以的常數(shù)列。

    ,

    解法二:分析:觀察結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn),可以通過兩邊同除以,得,化簡得

    再通過換元,令,得,利用構(gòu)造法思想求出,從而求出通項。

    解:

    解法三:分析:觀察結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn),這個式子給出是遞推關(guān)系有三項,通過第一問給我們的提示,這三項相鄰兩項組合可以構(gòu)成新的等比關(guān)系,如,還有其它形式使它構(gòu)成等比關(guān)系的組合嗎,我發(fā)現(xiàn)有,如,于是便有了解法三。

    解:

    則是首項為的一個常數(shù)列,故

    則是一個首項為,公比為3的等比數(shù)列,

    總結(jié),上面三種方法都是用到了構(gòu)造法,一種創(chuàng)造型方法,解決了原數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列通項問題。構(gòu)造法,可以把形如以下的數(shù)列,,或(其中為一次型),通過兩邊同添上一個數(shù)或一個式子來構(gòu)成新數(shù)列。如果是指數(shù)型,還可以同除以,使之構(gòu)成類等比關(guān)系的數(shù)列;如果給出的式子是三項的遞推關(guān)系,可以通過相鄰兩項的運算組合,使這個組合整體成一個新的等比數(shù)列。這種方法最終目的利用創(chuàng)造性思維構(gòu)造出新的等差或等比數(shù)列,再利用公式求解。

    2、用相消法的兩種解法解題

    繼續(xù)以八省聯(lián)考這道數(shù)列題為例,看能否用相消法解答。從從結(jié)構(gòu)來看,想用到累加法,必須要有兩項相減才行,因此想到再列一條式子,再把這兩式一減,得到:,這就是一個隔項相減問題,這時可以用累加法求解。

    解法四: ①

    ②-①得

    當n是奇數(shù)時,

    把這些式子累加起來,得到

    ,

    (n為奇數(shù))

    當n是偶數(shù)時,由得

    ,(因n為偶數(shù),則n+1 為奇數(shù),則)

    綜上所述,

    解法五:分析:要想通過累加法相消,必然想到構(gòu)造兩式相減,,但這兩項是相加的,為了變成兩項相減,我們再次利用構(gòu)造法思想,兩邊同時乘以得,化簡得,此時和結(jié)構(gòu)一致,可以通過換元得到,剩下的就可以用累加法解決了。

    解:

    化簡:

    令,得,

    當,我們可以列出

    ……

    將n-1條式子累加得:

    ,兩邊約掉,

    所以,

    且當n=1,也成立。

    結(jié)束語:

    培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維是時代的要求,也是學生自身素養(yǎng)能力達成的要求。高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維是多方面的,如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力一直是教師教學的重點關(guān)注的環(huán)節(jié)。本文總結(jié)了求數(shù)列的三種常見的辦法,公式法,構(gòu)造法,相消法。同時通過對2021年八省聯(lián)考的一道數(shù)列解答題的研究分析,通過一題多解的五種解法,讓我們看到了求解一般數(shù)列的通項公式通法,思路是把非等差、非等比數(shù)列向等差、等比數(shù)列方向轉(zhuǎn)換。

    參考文獻:

    [1]王亮.淺談數(shù)學創(chuàng)造性思維,2017

    [2]劉錦玉.數(shù)列通項公式的五種求法[J].學周刊,2011(30):133.

    [3]王啟新.高中數(shù)學數(shù)列問題的解題技巧探究[J].文理導航(中旬),2017(01):9-10.

    [4]汪令紅.幾種遞推數(shù)列通項公式的求法[J].安慶師范學院學報(自然科學版),2007(03):121-123.

    [5]毛裕潔.高中數(shù)學數(shù)列問題的解題技巧[J].科技風,2016(23):32.

    [6]袁勝藍,袁野.高中數(shù)學數(shù)列通項公式的幾種求法[J].六盤水師范學院學報,2019(06);31-3

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