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    淺議平面向量的運(yùn)算

    2020-07-06 18:42:03陳海平
    青年生活 2020年15期
    關(guān)鍵詞:平面向量

    陳海平

    摘要:向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具,有著及其豐富的實(shí)際背景,它源于物理學(xué)概念與理論,又通過(guò)自身的演繹、發(fā)展,形成了自己一系列的科學(xué)體系。在初等數(shù)學(xué)中具有很重要的地位和作用。由于向量有別于數(shù)量,它既有大小又有方向,因此很多地方與數(shù)量不同,本文通過(guò)對(duì)平面向量的運(yùn)算的探討,揭示向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系。

    關(guān)鍵詞:平面向量;運(yùn)算法則;運(yùn)算律

    一、如何認(rèn)識(shí)平面向量

    1.理解概念:既有大小又有方向的量叫做向量。物理學(xué)中位移,速度,力等都是向量,在物理學(xué)中向量又叫做矢量。如果我們探討的向量都位于同一個(gè)平面內(nèi),則把這些向量叫平面向量。從向量的定義中看出,向量不同于數(shù)量的地方就是它含有“方向”這個(gè)要素。兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的“模”可以比較大?。ㄏ蛄康拇笮〗凶鱿蛄康哪#?,兩個(gè)向量相等必須是模相等且方向相同。

    2.認(rèn)識(shí)運(yùn)算:平面向量運(yùn)算包括加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算、內(nèi)積運(yùn)算等。加法、減法是指兩個(gè)或多個(gè)向量之間可以進(jìn)行加法、減法運(yùn)算,運(yùn)算要按照平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行,其運(yùn)算法則來(lái)源于物理學(xué)中共點(diǎn)力的合成定則。向量的加法、減法結(jié)果仍是一個(gè)向量,向量和實(shí)數(shù)不能進(jìn)行加、減運(yùn)算。向量的數(shù)乘運(yùn)算是指向量可以與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘,其結(jié)果仍然是一個(gè)向量。向量的內(nèi)積是指兩個(gè)向量之間的一種乘積,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量,因此,向量的內(nèi)積又叫數(shù)量積、“點(diǎn)積”。這種乘積也源自物理學(xué),比如物理學(xué)中“功”的定義。向量的乘法還有兩種:“外積或叉積或矢量積”與混合積。目前,在高中階段只要求了解平面向量的加法、減法、數(shù)乘、內(nèi)積這幾種運(yùn)算。

    3.突出向量與數(shù)量的區(qū)別:從概念中就應(yīng)該知道,向量是在數(shù)的基礎(chǔ)上加了方向這個(gè)要素,這樣一來(lái)向量比較大小就沒(méi)有任何意義了。數(shù)可以進(jìn)行連加、連乘運(yùn)算,向量也可以進(jìn)行連加運(yùn)算,但是沒(méi)有連乘,向量沒(méi)有任何意義,與雖然有意義,但是它們不相等,這與我們對(duì)實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的認(rèn)知是不是有很大差別?向量在幾何上是用一條有向線(xiàn)段表示的,它更像一個(gè)幾何概念,向量的加法遵循三角形法則或平行四邊形法則,向量的摸等于2,向量的摸等于3,那么向量的摸等于5嗎?當(dāng)然不對(duì)。因此,學(xué)習(xí)向量時(shí),必須注意它與數(shù)的區(qū)別。

    4.牢牢抓住向量坐標(biāo)的運(yùn)算工具:平面向量的基本定理,給了我們向量的另一種表示法,它再次地把數(shù)和形完美地統(tǒng)一了起來(lái)。有了向量的坐標(biāo),就大大方便了我們探討向量的垂直與共線(xiàn)。同時(shí)為探究平面兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式提供了方法。

    二、平面向量的運(yùn)算及運(yùn)算律

    1.平面向量的加法:平面向量的加法有兩種法則:三角形法則與平行四邊形法則,這兩種法則是等價(jià)的,它們的邏輯順序是先有平行四邊形法則,然后推出三角形法則。這是因?yàn)槠叫兴倪呅畏▌t是由物理學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)論,然后結(jié)合自由向量的概念衍生出了三角形法則。(如圖)

    由平行四邊形法則,容易得出向量加法的交換律:

    三角形法則的使用條件是:兩個(gè)向量要首尾相接,即求向量時(shí),的起點(diǎn)要接的終點(diǎn),然后由的起點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量就是。 這樣一來(lái),對(duì)于共線(xiàn)向量也可以按照三角形法則求和的方法求共線(xiàn)向量的和了,這說(shuō)明三角形法則可以看作是平行四邊形法則的推廣,它適用于任意兩個(gè)向量的求和。

    用三角形法則,可以非常方便地對(duì)多個(gè)向量連續(xù)求和,只需要讓這些向量保持首尾相接即可。

    2.平面向量的減法:“減去一個(gè)向量,等于加上這個(gè)向量的相反向量”。通過(guò)相反向量,把向量的減法于加法統(tǒng)一成了一種運(yùn)算,為向量的線(xiàn)性運(yùn)算提供了方便。

    3.平面向量的數(shù)乘運(yùn)算:“實(shí)數(shù)與向量的乘積仍是一個(gè)向量,記作,叫做的數(shù)乘向量,這個(gè)向量的摸等于,方向:當(dāng)時(shí),與同向,當(dāng)時(shí),與反向,當(dāng)時(shí),就是零向量”。在規(guī)定了零向量與任何向量同向后,通過(guò)數(shù)乘向量,得出了“兩個(gè)向量與共線(xiàn)的充分必要條件”:存在唯一確定的實(shí)數(shù),使(或)成立。它是后面“平面向量基本定理”的基礎(chǔ)。

    5.平面向量的內(nèi)積:我們把,及三個(gè)數(shù)的乘積叫做向量與的內(nèi)積(這里符號(hào)表示向量與的夾角,范圍:,顯然有),記作,即。向量的內(nèi)積源自物理學(xué)中“功”的定義,具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

    內(nèi)積的運(yùn)算律:交換律;分配律;

    特別需要強(qiáng)調(diào),乘法(內(nèi)積)結(jié)合律不成立,即一般地,想想與各自的含義,就不難理解。同樣的,消去律也不成立,即不能由,推出,因?yàn)榭赡懿还簿€(xiàn),即便它們共線(xiàn),方向也可能相反。這與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律有很大區(qū)別,學(xué)習(xí)中,如果不注意,往往由于知識(shí)的負(fù)遷移,容易把實(shí)數(shù)運(yùn)算律搬到向量中來(lái),產(chǎn)生不必要的錯(cuò)誤。

    對(duì)于交換律,由內(nèi)積的定義,結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算律是很容易證明的,而分配律的證明就不太容易,需要用到向量的射影定理。

    有了向量?jī)?nèi)積運(yùn)算的分配律,我們?cè)诤竺嫱茖?dǎo)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算法則時(shí)就有了依據(jù),使得向量和與向量和的內(nèi)積也可以按照多項(xiàng)式乘法展開(kāi)計(jì)算了。

    三、平面向量的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算

    1.平面向量基本定理:設(shè)與是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量,則對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量,必存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì),使得成立。

    這個(gè)定理,根據(jù)前面定義的向量加法的平行四邊形法則,很容易得到證明,這里把證明留給讀者。

    2.平面向量的坐標(biāo):設(shè)、分別是與x軸、y軸同方向的兩個(gè)單位向量,由平面向量基本定理知,平面內(nèi)的任意一個(gè)向量,都存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì),使得

    以上對(duì)平面向量運(yùn)算的探討,有助于學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)和理解,當(dāng)然,限于篇幅,有些地方過(guò)于簡(jiǎn)單,僅供參考。

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