高中數(shù)學專題復習課教學模式探究及實踐

溫紹雄 尹蘭

摘 ? 要：高中數(shù)學專題復習課是圍繞課程主線設(shè)計，整體把握專題內(nèi)容結(jié)構(gòu)及學生認知，旨在解決學生真問題的一種教學模式。以“橢圓中的定值定點問題”的教學實踐為例，探討如何在教學中設(shè)計、落實專題復習課，幫助教師深入理解核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學教學，促進學生發(fā)展數(shù)學思維，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：教學模式;專題課;教學實踐;定值定點問題

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2021）35-0044-05

在高中數(shù)學教學中，專題復習課教學能夠根據(jù)學生的實際情況，解決學生的真問題。專題復習課以充分了解相關(guān)教學內(nèi)容、學生學情為基礎(chǔ)，將一類數(shù)學問題的知識、方法進行建構(gòu)，挖掘其蘊含的思想方法，使學生在原有認知上有新的升華，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

在近幾年的全國各省市高考數(shù)學試卷中，橢圓的定值定點問題多次出現(xiàn)，考查多個知識點，對分析問題、解決問題的能力以及數(shù)學運算能力都有較高要求。教師在日常教學中應(yīng)重視該專題內(nèi)容的系統(tǒng)整理，形成解題策略，提升學生綜合運用的能力，培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。下面以“橢圓中的定值定點問題專題復習課”的教學過程為例，說明如何進行專題復習課的教學。

一、分析學生學情，明確教學目標

學生已經(jīng)學習了橢圓的定義、幾何性質(zhì)等基本知識，以及直線與橢圓的位置關(guān)系相關(guān)內(nèi)容，具備了一定的探究問題、分析問題和解決問題的能力，也具備了一定的運算能力。但是學生對該專題內(nèi)容——橢圓中的定值定點問題缺乏理解與認識，無法形成解題策略及思維網(wǎng)絡(luò)，同時處理該專題內(nèi)容需要有較強的問題分析能力、幾何直觀能力和運算能力，學生比較欠缺這些能力。

根據(jù)學生實際學情，明確本節(jié)專題課的教學目標：

1.通過核心問題及問題串，引導學生經(jīng)歷直觀感知、操作確認，概括出橢圓中的定值定點問題的解題策略，提升學生數(shù)學抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)。

2.設(shè)置合理情境，通過學生分組討論、探究、成果分享，調(diào)動學生解決問題的積極性。利用“一題多解”引導學生多角度思考問題，通過“多題一解”幫助學生提煉解題策略，多方面培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

3.通過探究過程，讓學生進一步體驗如何用解析幾何方法描述、處理圓錐曲線問題，感悟解析幾何中蘊含的數(shù)學思想和方法，提升學生的學習興趣，培養(yǎng)學生善于探索、發(fā)現(xiàn)的良好習慣。

二、教學過程

（一）提出核心問題，創(chuàng)設(shè)研討氛圍

例1：已知橢圓C：+y2=1，P（4，0），過點（1，0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，求證：kPA+kPB為定值.

解析幾何中，有一些幾何量在動態(tài)圖形中是不變的，這種問題常與動點、動弦、動角、動曲線、對稱性等融為一體，能有效考查學生的綜合能力。例1為該專題的核心問題，通過對題目的簡化、改編，幫助學生緩解對陌生題目的畏懼情緒，引導學生思考如何利用已有知識解決問題。

問題1：設(shè)直線方程時，需要注意什么？

問題2：A、B兩點的坐標有什么關(guān)系？

追問：y1+y2，y1y2如何表示？

問題3：如何計算“kPA+kPB”？

通過設(shè)置問題串，引導學生思考題目特征和涉及到的知識點，一步步深入理解問題，引發(fā)學生思考辨析。通過追問，引導學生利用韋達定理x1+x2，x1x2直線方程將y1+y2，y1y2的表達式寫出來，這四個式子在該專題以及直線與橢圓的位置關(guān)系的其他專題中會經(jīng)常用到。利用它們來溝通未知和已知之間的關(guān)系，而未知數(shù)本身并不需要求出它的值，這種“設(shè)而不求”的思想在處理解析幾何問題中是非常重要的。它將關(guān)注運算求解上升為關(guān)注分析求解，即通過少量的計算、大量的分析實現(xiàn)解題，優(yōu)化了學生的解題思路，讓學生對解決解析幾何難題更有信心。

通過上述問題設(shè)置、學生探究，明確了最終的運算對象，求得運算結(jié)果，繼而提升學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

教師指導、判斷學生是否能夠準確轉(zhuǎn)化條件，并分享小組成果，完善解題步驟：

①若直線l無斜率時，求出kPA+kPB=0;

②若直線l有斜率，設(shè)直線方程為y=（x-1），與橢圓方程聯(lián)立消元，得到根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=，x1x2=;

③利用根與系數(shù)的關(guān)系以及直線方程，得到kPA+kPB=0;

④綜上所述，可證得kPA+kPB為定值0.

易錯點：直接設(shè)直線方程為y=k（x-1），忘記考慮直線l無斜率的情況。解題關(guān)鍵在于利用根與系數(shù)的關(guān)系以及直線方程化簡計算kPA+kPB的值。

數(shù)學運算能力是學生在數(shù)學學習中要掌握的核心能力，運算能力不是一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。本節(jié)的難點之一在于學生運算能力的突破。通過上述問題設(shè)置、學生探究，明確了最終的運算對象，求得運算結(jié)果，繼而提升學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

（二）合作探究，一題多解

通過學生小組討論，可將直線方程設(shè)為

l：x=my+1，與上述解題步驟相同，得到結(jié)果。這樣設(shè)方程，可以使得與橢圓方程聯(lián)立消元時計算變簡單，同時注意這個直線方程可以表示無斜率的情況，表示不了l斜率為0的情況。

以上兩種解法都是處理該類問題的常用方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思想。

通過不同解法的分析，總結(jié)得到此類問題的解題策略：

①設(shè)出直線方程;

②與橢圓聯(lián)立消元，找到根與系數(shù)的關(guān)系;

③根據(jù)條件，化簡推導，在計算過程中消去變量，從而得到定值。

（三）反轉(zhuǎn)問題，深入探究

將此題做變式：已知橢圓C：+y2=1，

P（4，0），直線l有斜率，且與橢圓C相交于A、B兩點，若kPA+kPB=0，求證：直線l過定點.

通過互換已知條件和結(jié)論，引出橢圓中的定點問題，促進學生由感知到理解，通過一題反映一類題所蘊含的知識方法和規(guī)律，實現(xiàn)一題多用的效果，幫助學生跳離題海，提高學生的解題能力和創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)。

學生活動：自主探究、推理，寫出計算過程。

教師活動：設(shè)直線方程為l：y=kx+m。根據(jù)例1的解題步驟，寫出解題過程。

教師巡視，針對學生在運算中出現(xiàn)的問題加以指導，板演解題過程。

思考問題：解決該問題的步驟是什么？

學生活動：梳理解題過程，總結(jié)解題步驟：

①設(shè)出直線方程;

②聯(lián)立直線與橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，以及△>0;

③根據(jù)條件建立代數(shù)關(guān)系式;

④化簡、計算，找到參數(shù)間的關(guān)系，求出定點。

經(jīng)過例1定值問題的處理后，學生可以類比思考探究該定點問題如何處理。發(fā)現(xiàn)邏輯的起點、推理的形式，通過演繹推理得出結(jié)論。

在推導過程中，學生在進行韋達定理、含參數(shù)字母的運算時犯錯率高，容易忽略判定檢驗等問題。通過教師板演計算步驟，帶領(lǐng)學生看清、看準運算對象，把握運算思路，改善運算習慣，可逐步提升學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

如果設(shè)直線為l：x=my+t，（m≠0），根據(jù)上述解題步驟也可以得到兩個參數(shù)間的關(guān)系，進而求出定點。

通過畫圖能夠看出來，若一條直線滿足題目條件，那么與該直線關(guān)于軸對稱的直線也會滿足題目條件，這兩條直線的交點一定是定點，即利用對稱性知此定點在軸上。發(fā)現(xiàn)過點

P（4，0）和橢圓上頂點M（0，1）的直線與橢圓交于另一點N（，），由對稱性可知過橢圓下頂點M′（0，-1）和N（，）的直線y=x-1，而且kPM′+kPN=-kPM+kPN=0，則直線M′N：y=x-1滿足條件，其與x軸的交點（1，0）即為直線l所過的定點。

利用對稱性和特殊情況找到了定點，再設(shè)直線方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立消元，利用韋達定理及直線方程得到kPA+kPB=0，滿足條件，因此直線過定點（1，0）。

教師活動：總結(jié)上述不同做法，得到定點問題的解題策略：

①設(shè)出直線方程，通過韋達定理和已知條件找出參數(shù)之間的關(guān)系式，或者求出參數(shù)的值，代入直線方程即可求出定點。

②從特殊入手，先通過符合題設(shè)條件的一些特殊情況找到這個定點，明確解決問題的方向與目標，然后再進一步探究和推導，驗證該點滿足題意，得出一般情況下的結(jié)論。

（四）知識應(yīng)用，練習鞏固

練習：（2017年全國卷Ⅰ理科20題（2））已知橢圓C：+y2=1，P（1，0），設(shè)直線l不經(jīng)過點P且與橢圓C相交于A、B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為-1，證明：直線l過定點.

利用核心問題探究橢圓中的定值定點問題的解題策略，讓學生在活動中主動建構(gòu)和思考。這里選擇了一道典型的高考試題作為練習，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生對該專題內(nèi)容的重視，鞏固此類問題的解題策略與步驟，通過練習提升學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)。

（五）整合構(gòu)建，歸納總結(jié)

1.通過本節(jié)專題課的學習，你掌握了哪些知識方法？

橢圓中的定值問題的解題策略：

設(shè)出合適的直線方程，根據(jù)條件直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。

橢圓中的定點問題的解題策略：

①設(shè)出直線方程，通過韋達定理和已知條件找出參數(shù)之間的關(guān)系式，或者求出參數(shù)的值，代入直線方程即可求出定點。

②從特殊入手，先通過符合題設(shè)條件的一些特殊情況找到這個定點，明確解決問題的方向與目標，再進一步探究和推導，驗證該點滿足題意，得出一般情況下的結(jié)論。

2.在探究橢圓中的定值定點問題中體現(xiàn)了什么數(shù)學思想、方法？

轉(zhuǎn)化、類比思想，定值定點問題可以相互轉(zhuǎn)化，可以類比得到解題策略。由特殊到一般等思想，從特殊入手，先根據(jù)特殊位置、對稱性等求出定值或定點，再證明這個值與變量無關(guān)或者直線過該定點。消元、設(shè)而不求等方法的運用可有效地簡化運算。

3.在處理本專題的問題中，需要注意什么？

設(shè)出合適的直線方程;合理轉(zhuǎn)化題目條件，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系;韋達定理、判別式△>0等條件的運用;邏輯推理能力、數(shù)學運算能力很重要。

4.通過本專題課的小組學習研討，你有什么收獲？

通過同學們分享，總結(jié)本專題課中收獲的知識與方法、數(shù)學思想等，引導學生主動參與到學習的全過程，學會歸納總結(jié)本專題的規(guī)律方法，解決本專題的核心問題，鼓勵學生多思考、多動手、多總結(jié)。

（六）學習活動

必做：1.已知橢圓C：+y2=1，點D（-2，0），直線l不過點D，且與橢圓C相交于A、B兩點，DA⊥DB求證：直線l過定點.

2.已知橢圓C：+=1，點P（1，），斜率為的直線l不過點P，且與橢圓C交于A、B兩點，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2為定值.

探究：已知點M（m，0），（m>）若過點P（，0），且不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C：+y2=1交于A、B兩點，求證：∠AMP=∠BMP.

三、設(shè)計說明

本節(jié)專題課利用相關(guān)的數(shù)學核心問題及其變式對橢圓中的定值定點問題進行了深入分析，對學生可能遇到的困難進行合理評估、預設(shè)。采用問題引導、合作探究的教學方法，學生為主體，教師為引導者，通過學生自主思考、自主探究、動手實踐、合作探究等方式推進教學進程，解決重難點知識。