等距素?cái)?shù)對(duì)再探

河南封丘 魏一凡

一、幾個(gè)定義

定義5：若a˙被相對(duì)應(yīng)的連續(xù)素?cái)?shù)連續(xù)作用后，存在一個(gè)非作用對(duì)象N，使得a-N=1，a+N＜2a為素?cái)?shù)，那么N叫a˙的素?cái)?shù)黑洞（其中a≥2）。

定義6：若自然數(shù)a≥3 被素?cái)?shù)p≥3 除，余數(shù)為b（b=1，2，…，p-1），自然數(shù)x且0 ＜x＜a被p除也余b，且a-x=p與a+x皆為素?cái)?shù)，那么x叫a與p的素?cái)?shù)同余差，簡(jiǎn)稱(chēng)同余差。

定義7：若a≥2 為素?cái)?shù)，被相應(yīng)的素?cái)?shù)p作用后刪去，那么a叫p的棄素?cái)?shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)棄素?cái)?shù)。易知，所有的素?cái)?shù)均為棄素?cái)?shù)。

定義8：任給自然數(shù)a≥2，若存在自然數(shù)x且0 ≤x＜a，使得a-x與a+x同為素?cái)?shù)，則稱(chēng)a-x與a+x是a的等距素?cái)?shù)對(duì)，記作（a，±x），只有a是素?cái)?shù)時(shí)，x才等于0。

二、大篩法公式的產(chǎn)生

這個(gè)公式存在如下幾個(gè)問(wèn)題：

①φr的整數(shù)部分是否全部是非作用對(duì)象。

②若φr中的非作用對(duì)象就一個(gè)素?cái)?shù)黑洞怎么辦？所以φr的整數(shù)部分一定要大于等于2。

③非作用對(duì)象被a減或加，其差與和是否同時(shí)為素?cái)?shù)。

所以就有了以下的幾個(gè)定理。

三、幾個(gè)定理

定理1：a˙≥2 被連續(xù)素?cái)?shù)p1，p2，…，pr連續(xù)作用的結(jié)果與作用順序無(wú)關(guān)（其中p1=2）。

與①同理，φ（a˙，r）的整數(shù)部分沒(méi)有pi的作用對(duì)象。

故，a˙在連續(xù)素?cái)?shù)p1，p2，…，pr連續(xù)作用下，φ（a˙，r）的整數(shù)部分完全是非作用對(duì)象。

定理4：若0 ＜x＜a是φ（a˙，r）中整數(shù)部分的任一個(gè)，且x不是素?cái)?shù)黑洞， ＜2a＜ ，那么a-x與a+x同為素?cái)?shù)。

證明：因?yàn)? ＜x＜a是φ（a˙，r）中整數(shù)部分的任一個(gè)，所以由定理3 知，x為連續(xù)素?cái)?shù)p1=2，p2，…，pr的非作用對(duì)象，而a為作用對(duì)象，所以易知a-x與a+x都不能被p1，p2，…，pr整除。假 設(shè)a+x是 合 數(shù)，所 以a+x=pq，所 以p≥pr+1，q≥pr+1，所 以a+x=pq≥ 。因?yàn)? ＜x＜a，所以a+x＜2a。因?yàn)?a＜ ，所以a+x＜ ，這與a+x≥ 矛盾，故a+x是素?cái)?shù)。因?yàn)閤不是素?cái)?shù)黑洞，同理，a-x是素?cái)?shù)。

定理5：當(dāng)a≥2 為自然數(shù)時(shí)，每一個(gè)a都至少存在一對(duì)等距素?cái)?shù)對(duì)。