從芝諾悖論看極限理論存在的問(wèn)題

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

教師對(duì)芝諾悖論對(duì)經(jīng)典微積分的極限理論的正確性提出了疑問(wèn)，為了探索上述問(wèn)題，下面把與上述疑問(wèn)密切相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題敘述如下：

一、 芝諾悖論產(chǎn)生的原因

夏基松和鄭毓信在兩人合著的《西方數(shù)學(xué)哲學(xué)》一書(shū)中認(rèn)為，對(duì)于芝諾悖論，黑格爾曾作過(guò)如下的分析：“量是分立（即離散——注）與連續(xù)兩者的單純統(tǒng)一，關(guān)于空間、時(shí)間、物質(zhì)等無(wú)限可分的爭(zhēng)論或二律背反都可以歸結(jié)到這種性質(zhì)里去?！保ê诟駹栠壿媽W(xué)上卷，第199 頁(yè)即“這種二律背反完全在于分立和連續(xù)都同樣必須堅(jiān)持。片面堅(jiān)持分立，就是以無(wú)限的或絕對(duì)的已分之物，從而是以一個(gè)不可分物為根本，反之，片面堅(jiān)持連續(xù)則是以無(wú)限可分性為根本，這正是芝諾關(guān)于阿基里斯的悖論的根源所在。” （黑格爾邏輯學(xué)上卷，第199 頁(yè)） “總之，黑格爾關(guān)于芝諾悖論的分析是正確的，它既不膚淺，也沒(méi)有過(guò)時(shí)。”

眾所周知，實(shí)數(shù)理論和極限理論是經(jīng)典微積分的理論基礎(chǔ)。在實(shí)數(shù)理論中，連續(xù)性是實(shí)數(shù)理論的重要性質(zhì)。實(shí)數(shù)的這種連續(xù)性被看作是絕對(duì)的，即實(shí)數(shù)不可能在具有連續(xù)性的同時(shí)還具有分立性，或者離散性。但是如果我們根據(jù)上面夏基松和鄭毓信關(guān)于芝諾悖論的觀點(diǎn)，實(shí)數(shù)的連續(xù)性和分立性必須同時(shí)承認(rèn)，否則就是片面的，違背辯證法的觀點(diǎn)。因此在芝諾悖論中，用實(shí)數(shù)表示距離的時(shí)候，就是因?yàn)橹怀姓J(rèn)距離的連續(xù)性而不承認(rèn)距離同時(shí)也具有分立性才，產(chǎn)生了芝諾悖論。

如果按照夏基松和鄭毓信的觀點(diǎn)，從芝諾悖論和無(wú)窮小量的極限定義的關(guān)系來(lái)看，根據(jù)極限理論定義的無(wú)窮小量的定義存在悖論則是完全可以理解的。如果我們認(rèn)為夏基松和鄭毓信關(guān)于芝諾悖論的看法是正確的，則經(jīng)典微積分關(guān)于實(shí)數(shù)理論的連續(xù)性觀點(diǎn)就是片面的，這樣，不僅根據(jù)極限理論定義的無(wú)窮小量的定義存在悖論，而且導(dǎo)數(shù)的定義也存在問(wèn)題了。也就是說(shuō)，根據(jù)夏基松和鄭毓信關(guān)于芝諾悖論的觀點(diǎn)，經(jīng)典微積分理論就有了疑問(wèn)。

二、歐拉對(duì)經(jīng)典微積分的無(wú)窮小量定義的否定

歐拉是歷史上成果最多的數(shù)學(xué)家，生前發(fā)表的著作和論文560 余種。美國(guó)數(shù)學(xué)家塞蒙斯提出：自1748 年以來(lái)，所有的微積分教材基本上都是抄襲歐拉的。

歐拉拒絕無(wú)窮小的概念，這里所謂的無(wú)窮小是指非零而又小于任何指定大小的量（即經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無(wú)窮小量）。在他1755 年的“原理”中提出：毫無(wú)疑問(wèn)，任何一個(gè)量可以減小到完全消失得無(wú)影無(wú)蹤的程度，而一個(gè)無(wú)窮小量無(wú)非是一個(gè)正在消失的量，因而它本身就等于0。這與無(wú)窮小量的定義也是協(xié)調(diào)的，按照無(wú)窮小量的定義，它應(yīng)小于任意指定的量；它無(wú)疑應(yīng)當(dāng)就是無(wú)，因?yàn)槌撬扔?，否則總能給它指定一個(gè)和它相等的量，而這是與假設(shè)矛盾的。

歐拉上面的論述最可貴的地方是，他指出了經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無(wú)窮小量是自相矛盾的。如果根據(jù)歐拉的觀點(diǎn)，經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無(wú)窮小量是一個(gè)自相矛盾的命題，那么經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無(wú)窮小量本身就是一個(gè)悖論。

三、黑格爾對(duì)經(jīng)典微積分的無(wú)窮小量定義的否定

有一些經(jīng)典微積分的教科書(shū)把莊子的一句話“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”作為經(jīng)典微積分的無(wú)窮小量的典型例子，但是不管取100 次、1000 次還是10000 次，每一次所得到的數(shù)都是一個(gè)有限的數(shù)，雖然數(shù)變得越來(lái)越小，但是本質(zhì)上沒(méi)有變。對(duì)于這一點(diǎn)，黑格爾指出：“亞里士多德所引芝諾的話說(shuō)得好，對(duì)于某物，只說(shuō)一次，與永遠(yuǎn)說(shuō)它，都是一樣的。”黑格爾又說(shuō)，這樣的無(wú)限進(jìn)展并不是真正的無(wú)限，因?yàn)樗匀煌Ａ粼谟邢拗?。針?duì)無(wú)限物，黑格爾認(rèn)為，有限物超出自身，否定其否定，變?yōu)闊o(wú)限，仍是有限物的本性。對(duì)此，黑格爾給出了無(wú)限小量的定義：量的質(zhì)的量的規(guī)定性就是無(wú)限小量。黑格爾關(guān)于無(wú)限小量的這個(gè)定義，充分體現(xiàn)了上述黑格爾關(guān)于無(wú)限物的觀點(diǎn)，雖然對(duì)于熟悉辯證法的人來(lái)說(shuō)，上述黑格爾的無(wú)限小量的定義是可以理解的，但是要把這個(gè)定義清楚，并且應(yīng)用它把微積分的理論表示出來(lái)，卻是一件很困難的事情。我的一篇即將發(fā)表的論文“從黑格爾的無(wú)限小定義看微積分存在的問(wèn)題”對(duì)黑格爾的上述定義給出一些個(gè)人的理解與說(shuō)明，感興趣的同志可以查閱，并歡迎批評(píng)指正。