高中“概率與統(tǒng)計”習(xí)題設(shè)置研究

孫露 柴小雨

【摘要】本文筆者基于統(tǒng)計的情境性以及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的內(nèi)涵，從情境類型和數(shù)據(jù)分析兩個視角對高中數(shù)學(xué)教材中“概率與統(tǒng)計”部分習(xí)題的設(shè)置進行統(tǒng)計與分析，依據(jù)分析結(jié)果提出適當增加科學(xué)情境和職業(yè)情境類題目以及增加收集數(shù)據(jù)類、整理和分析數(shù)據(jù)類題型的比例等教材優(yōu)化方案與編寫建議.

【關(guān)鍵詞】高中;概率與統(tǒng)計;習(xí)題;情境;數(shù)據(jù)分析

【基金項目】安徽省教育科學(xué)研究項目“基于核心素養(yǎng)下高中生數(shù)據(jù)分析水平現(xiàn)狀及其培養(yǎng)研究”（JK19049）的階段性成果.

習(xí)題訓(xùn)練作為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中必不可少的重要環(huán)節(jié)，有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)感和科學(xué)的思維模式，是增強學(xué)生數(shù)學(xué)思維的具體形式與提升數(shù)學(xué)能力的有效途徑.通過習(xí)題訓(xùn)練能夠有效提高學(xué)生的綜合素質(zhì).“概率與統(tǒng)計”作為發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容，隨著信息時代的發(fā)展，扮演著越來越重要的角色.“數(shù)據(jù)分析”作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，“是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷”[1]，主要通過“概率與統(tǒng)計”這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)逐步養(yǎng)成.因此，為了多方面提高學(xué)生的各項能力，應(yīng)對教科書中的習(xí)題進行有效的選擇與設(shè)計，并且結(jié)合“概率與統(tǒng)計”在高中數(shù)學(xué)中的地位，對教科書中相關(guān)習(xí)題的設(shè)置進行整理與分析.

一、高中“概率與統(tǒng)計”習(xí)題的教學(xué)功能

依據(jù)“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容的難度以及基本學(xué)習(xí)要求，分別在高中必修和選修課程中設(shè)置了相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.同時依據(jù)學(xué)生未來專業(yè)發(fā)展的需要，文科與理科的學(xué)習(xí)要求和側(cè)重點也不同.在人教A版必修3中，設(shè)計了概率初步和統(tǒng)計初步的內(nèi)容，在選修1-2和選修2-3中設(shè)計了統(tǒng)計案例，在選修2-3中設(shè)計了對概率中隨機變量和一些離散變量的隨機模型的學(xué)習(xí)，“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容的教學(xué)課時也有所增加，充分凸顯出了“概率與統(tǒng)計”在高中數(shù)學(xué)中的地位.

習(xí)題作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分之一，是學(xué)生認識問題、理解問題、解決問題的鑰匙，對提高學(xué)生思考和探究問題的能力有積極意義.“概率與統(tǒng)計”部分的例題及課后習(xí)題則圍繞數(shù)據(jù)分析這一核心素養(yǎng)，有助于學(xué)生在問題的分析與解決過程中形成用理論、用數(shù)據(jù)說話的意識、習(xí)慣.具體來說，有以下兩個方面：

首先，“概率與統(tǒng)計”部分的例題與習(xí)題具有指導(dǎo)作用，這一部分的習(xí)題大多與我們的實際生活相關(guān)，可以讓學(xué)生更容易進入教學(xué)情境，激發(fā)了學(xué)生解決問題的興趣，引起了學(xué)生對知識的渴望，促進了他們數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成.

其次，基于統(tǒng)計的全過程特征，學(xué)生在相關(guān)習(xí)題的解決過程中不僅能經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、分析、處理的全過程，還學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計模型，積累統(tǒng)計問題的解決經(jīng)驗，在鍛煉其基本思維能力的同時有助于他們感受統(tǒng)計的實用性.

二、高中“概率與統(tǒng)計”習(xí)題基本情況

選取被廣泛使用的人教A版教材對其中的“概率與統(tǒng)計”習(xí)題設(shè)置進行研究.同時考慮到文理類學(xué)生的學(xué)習(xí)要求不同，選取了高中學(xué)生共同學(xué)習(xí)的必修3及選修系列2-3中所含有的統(tǒng)計知識及其習(xí)題.

由表1可以看出必修3中的第二章、第三章以及選修2-3中的第二章的習(xí)題數(shù)相差不多，分別為55，50，62題，選修2-3第三章的習(xí)題數(shù)略顯單薄，但從總體來看，各章節(jié)習(xí)題量的設(shè)置較為合理、均勻.

三、習(xí)題類型的統(tǒng)計分析

基于習(xí)題的分類以及“概率與統(tǒng)計”部分在教材中所出現(xiàn)的題型，可將其主要分為：計算題、簡答題、作圖題、開放題.具體的習(xí)題類型統(tǒng)計情況如表2：

通過表2可以很清楚地看出習(xí)題的類型主要集中在計算題和簡答題上，其中計算題的占44.8%，簡答題的占47.6%.相對傳統(tǒng)的封閉題而言，教科書在開放題這一類型的設(shè)置上則較少，僅占3.8%.梳理發(fā)現(xiàn)，計算題主要圍繞數(shù)據(jù)的分析和概率初步這些涉及所學(xué)的概念和公式的部分，較多集中在概率這一部分，需要學(xué)生將基礎(chǔ)的概念和公式掌握牢固，且能用靈活運用;簡答題則主要考查學(xué)生對新知識的運用和理解，要求學(xué)生能在解決問題后分析出“為什么”，題目難度相對較高，主要目的是通過題目來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

四、習(xí)題情境的統(tǒng)計分析

數(shù)據(jù)作為“概率與統(tǒng)計”的主要研究對象，情境性是其主要特征，且情境是產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、提出和解決數(shù)學(xué)問題的背景、前提、條件和基礎(chǔ).因而選取PISA對于情境類型的劃分，將所考察的“概率與統(tǒng)計”習(xí)題分別按照無情境、個人情境、社會情境、職業(yè)情境、科學(xué)情境五種情境進行分類統(tǒng)計.

表3數(shù)據(jù)表明，“概率與統(tǒng)計”的情境類型分布有較大差異.在183道課后習(xí)題中，無情境的習(xí)題出現(xiàn)最多，所占百分比約為32%;隨后為社會情境類習(xí)題，所占比例在28%左右;排在第三的為個人情境類習(xí)題，占比約為19%;而職業(yè)情境類和科學(xué)情境類習(xí)題所占比例最低，分別約為11%和10%.

五、數(shù)據(jù)分析內(nèi)涵的統(tǒng)計分析

“數(shù)據(jù)分析”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個重要內(nèi)容，也是統(tǒng)計的核心所在.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》對其的內(nèi)涵解讀主要包括收集數(shù)據(jù)、整理和分析數(shù)據(jù)、推斷和評價三方面.其內(nèi)涵分別為：

（1）收據(jù)數(shù)據(jù)：對有價值的問題采用多種收集數(shù)據(jù)的方法，并結(jié)合具體問題選擇合適的抽樣方法;

（2）整理和分析數(shù)據(jù)：可以運用合適的統(tǒng)計圖，求出相應(yīng)的統(tǒng)計量，直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系;

（3）推斷和評價：運用統(tǒng)計的基本方法和思想解決實際問題，體會“隨機性”與學(xué)生習(xí)慣性的確定思維的不同，對數(shù)據(jù)處理過程做出評價.

結(jié)合以上三方面內(nèi)涵對相關(guān)習(xí)題進行整理與統(tǒng)計（見表4）.

由表1的“概率與統(tǒng)計”習(xí)題的分布情況可以看出，必修3的第二章和選修2-3的第三章主要涉及統(tǒng)計知識，其他兩章主要為概率內(nèi)容，在運用數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)進行習(xí)題設(shè)置統(tǒng)計時也發(fā)現(xiàn)，必修3的第二章和選修2-3的第三章中更多涉及收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)類型的習(xí)題，如必修3第二章的第一節(jié)內(nèi)容就是抽樣方法，這一節(jié)的習(xí)題基本都是選擇不同的抽樣方法收集數(shù)據(jù);必修3第二章的第二節(jié)基本上都是對數(shù)據(jù)的整理與分析.從總體來看，概率部分的內(nèi)容屬于運用統(tǒng)計方法與思想解決問題，即推斷和評價類，總題數(shù)達到114題，占比約為62.3%.收集數(shù)據(jù)是分析數(shù)據(jù)的前提.選擇合適的抽樣方法，并篩選數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)采用恰當?shù)慕y(tǒng)計圖，更直觀地反映變量間的相關(guān)關(guān)系，這樣才能提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，但教材中的收集數(shù)據(jù)與整理分析數(shù)據(jù)類習(xí)題數(shù)相對較少，占比僅為16.4%和21.3%，且習(xí)題的知識點綜合程度較低，基本上是“就知識點論知識點”，在概率章節(jié)，收集數(shù)據(jù)等題型很少出現(xiàn).

六、建議與思考

（一）均衡習(xí)題情境類型

統(tǒng)計結(jié)果反映出高中“概率與統(tǒng)計”習(xí)題主要是圍繞社會情境和個人情境進行設(shè)計的.主要有以下兩方面原因：首先從學(xué)情來看，處于青春期的高中生對新鮮事物充滿好奇，當習(xí)題設(shè)置的情境能夠迎合學(xué)生的興趣、抓住學(xué)生的眼球時，學(xué)生才愿意去接受習(xí)題中所包含的信息.教師可以結(jié)合學(xué)生熟悉的個人情境、社會情境，有效溝通數(shù)學(xué)與學(xué)生生活間的聯(lián)系，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣.其次，“概率與統(tǒng)計”從具體情境中來，也將具體運用在現(xiàn)實情境中，優(yōu)秀的習(xí)題是從生產(chǎn)、生活中選取得到的，利用這些熟悉的情境可以讓學(xué)生消除陌生感，從而合理地通過已有現(xiàn)實經(jīng)驗來理解數(shù)學(xué)知識與方法.

但數(shù)據(jù)表明，教科書中有關(guān)科學(xué)情境的習(xí)題占比較少.數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)重要的一部分，在高中其他學(xué)科課程的學(xué)習(xí)中時常會用到，因而可以借鑒其他國家數(shù)學(xué)教材的經(jīng)驗將其他學(xué)科內(nèi)容有效融入數(shù)學(xué)習(xí)題之中，使各個領(lǐng)域的知識相互啟發(fā)、互為補充.例如，必修3中“2.3變量間的相互關(guān)系”一節(jié)中以某種身體可以吸收汞的魚為研究對象的習(xí)題.該題將化學(xué)知識作為情境融入習(xí)題中，既讓學(xué)生認識到變量間的相互關(guān)系，也讓學(xué)生意識到科學(xué)與生活的息息相關(guān)，認識到汞元素的危害性，知道當出售的魚中若含有超量的汞，則不利于人們的身體健康.同時，對職業(yè)情境類的習(xí)題整理后發(fā)現(xiàn)，題量占比不僅較少且職業(yè)類型較為單一，主要以零件加工、成本計算等呈現(xiàn).雖然對于高中生來說，離工作還有一段距離，但是提前在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中了解職業(yè)情境更有利于學(xué)生的思想成熟，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識在以后工作中的應(yīng)用，可以提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的性.

因此，高中數(shù)學(xué)教材“概率與統(tǒng)計”部分的習(xí)題可以進行適當修改，適當增加科學(xué)情境和職業(yè)情境類題目，在從學(xué)生實際知識需求出發(fā)的同時注意情境設(shè)置的多元化，讓學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中感知數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性.

（二）凸顯統(tǒng)計的過程性

史寧中教授認為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念需要讓學(xué)生了解數(shù)據(jù)獲得、分析、處理以及做出決策的全過程，讓其在過程體驗中領(lǐng)悟數(shù)據(jù)分析的無窮魅力，從而提高數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).但統(tǒng)計結(jié)果表明，收集數(shù)據(jù)類以及整理和分析數(shù)據(jù)類題目均相對較少，占比只有16.4%和21.3%.

“概率與統(tǒng)計”不能僅僅局限于公式和計算，要讓學(xué)生理解統(tǒng)計的動因，掌握統(tǒng)計的具體步驟，分析統(tǒng)計結(jié)果，并評價統(tǒng)計的意義.學(xué)生只有親身參與統(tǒng)計的整個過程，才能深刻理解統(tǒng)計的意義.學(xué)生從小接受的數(shù)學(xué)知識甚至其他學(xué)科知識大多數(shù)都是確定性的，主要依靠單純記憶和套用公式機械計算，推斷與評價類題型的練習(xí)可以讓學(xué)生感受確定性與不確定性的差異，鍛煉活躍的思維，提升“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng).例如，選修2-3“3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用”中有涉及我國1993～2002年國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)的習(xí)題，就有效地融入了社會情境.但數(shù)據(jù)相對陳舊，因此教師可以進一步增加學(xué)生收集數(shù)據(jù)的環(huán)節(jié)或者在原有數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上組織學(xué)生將統(tǒng)計年份適當加長，讓學(xué)生了解GDP的統(tǒng)計方式以及數(shù)據(jù)的來源，并在收集整理數(shù)據(jù)的同時使其切實體會到我國近年來的社會經(jīng)濟變化，感受到國家GDP的變化趨勢，感知國家綜合實力的增強，搭建學(xué)生與社會親密接觸的平臺.這樣不僅有助于學(xué)生提高社會意識，還能讓學(xué)生認識到數(shù)據(jù)統(tǒng)計對社會的重要性.

（三）加強習(xí)題的開放性

數(shù)據(jù)分析是有目的性的活動，人們進行數(shù)據(jù)分析是為了通過它來解決某些實際問題.習(xí)題是用來發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的，因此習(xí)題的類型與數(shù)目設(shè)置需合理.教科書在“概率與統(tǒng)計”這一內(nèi)容的不同類型習(xí)題數(shù)量設(shè)置上有著明顯的差異，計算題、簡答題相對較多，而側(cè)重思維發(fā)散的開放性問題則少有涉及.因而，在“概率與統(tǒng)計”部分習(xí)題設(shè)置上建議可減少機械的同類型問題訓(xùn)練，在給學(xué)生減負的同時使得題目更具代表性，另外，還要多增加開放題的設(shè)計，結(jié)合開放題的特征——條件不完整或是結(jié)論不封閉，鼓勵學(xué)生用自己的方式去收集、分析數(shù)據(jù)，加強學(xué)生的創(chuàng)新意識.例如，教師可以結(jié)合大家日常熟悉的溫度變化以及秋游等生活情境，鼓勵學(xué)生利用各種方式收集未來一周的氣溫數(shù)據(jù)，并依據(jù)所收集數(shù)據(jù)對秋游活動的日期安排以及服裝選擇等實際問題做出決策.這一開放性問題不僅要求學(xué)生將一系列的現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)信息，還要求學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)思維去思考一些超出數(shù)學(xué)課本知識的問題，運用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題，要有能將知識整合在一起并分析的能力.在此過程中，學(xué)生需要基于網(wǎng)絡(luò)收集數(shù)據(jù)，合理選擇合適的表示數(shù)據(jù)的方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)蘊含的規(guī)律并預(yù)測某一時段的氣溫，增強了自身分析數(shù)據(jù)、靈活解決問題的能力.

因此，在教材編寫時可以適當增加收集數(shù)據(jù)類題目，提高整理和分析數(shù)據(jù)類題型的比例，讓學(xué)生通過自主探究，通過收集、處理數(shù)據(jù)，養(yǎng)成獨立思考與分析問題的好習(xí)慣，在體會“隨機性”的同時提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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