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    在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生公理化思想

    2021-01-21 12:32:08楊國(guó)俊丘文斯
    關(guān)鍵詞:圖形與幾何初中教學(xué)初中數(shù)學(xué)

    楊國(guó)俊 丘文斯

    【摘要】? 我國(guó)現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)及初中數(shù)學(xué)教材對(duì)公理化思想方法的教學(xué)要求相對(duì)較低,初中數(shù)學(xué)教材也鮮有對(duì)公理化方法的直接描述,但處處體現(xiàn)了公理化思想.筆者認(rèn)為,作為數(shù)學(xué)中重要的思想方法,公理化思想方法不應(yīng)該被淡化處理.本文以人教版初中數(shù)學(xué)“三角形全等的判定”一節(jié)為例,嘗試改進(jìn)“圖形與幾何”部分的教學(xué),探究如何在教學(xué)過程中更好地培養(yǎng)學(xué)生的公理化思想.

    【關(guān)鍵詞】? 公理化思想;初中教學(xué);初中數(shù)學(xué)

    一、引言

    所謂公理化方法就是從盡可能少的、未定義的原始概念(基本概念)和一組不證自明的命題(基本公理)出發(fā),利用純邏輯推理的原則,把一門數(shù)學(xué)建立成為演繹系統(tǒng)的一種方法.在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中嚴(yán)格的公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到巨大的推動(dòng)作用.

    在我國(guó)現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材中,“圖形與幾何”的內(nèi)容是公理化思想方法最直接的體現(xiàn).考慮到學(xué)生的年齡特點(diǎn)、接受能力等方面的情況,教材對(duì)該部分內(nèi)容做了改編,所呈現(xiàn)的并非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓硐到y(tǒng).筆者認(rèn)為,公理化思想方法作為數(shù)學(xué)中重要的思想方法,在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)該有適當(dāng)?shù)奶幚矸绞剑荒苤苯影凑諊?yán)格的公理系統(tǒng)進(jìn)行教學(xué),但也不應(yīng)該被簡(jiǎn)單地淡化處理.

    二、現(xiàn)行初中教材中的幾何公理系統(tǒng)

    (一)現(xiàn)階段的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)公理化思想的教學(xué)要求相對(duì)較低

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)有明確的要求:合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,演繹推理用于證明結(jié)論.相較于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(2001年)的要求有所降低.

    (二)根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)修改幾何公理

    從嚴(yán)格意義上來說,數(shù)學(xué)的論證必須是滴水不漏或是無可置疑的.從這個(gè)角度來看,數(shù)學(xué)對(duì)論證的要求比思辨性學(xué)科要高.但考慮到中學(xué)生在心理特點(diǎn)、知識(shí)基礎(chǔ)和智力水平上的差異,我國(guó)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材幾乎都對(duì)涉及公理化思想方法的內(nèi)容進(jìn)行了改編,刪繁就簡(jiǎn),縮短學(xué)程,局部或有限地使用了公理化方法.這樣的改編為提高教學(xué)質(zhì)量創(chuàng)造了良好的條件.

    (三)幾何知識(shí)中滲透公理化方法的思想

    初中數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)的雖然不是嚴(yán)格、完整的公理體系,卻處處體現(xiàn)了公理化思想方法.初中教材中的幾何公理體系是對(duì)現(xiàn)實(shí)空間性質(zhì)的直接反映,有著實(shí)際內(nèi)容做支撐,現(xiàn)實(shí)世界的種種具體現(xiàn)象為幾何概念的引入與命題的論證提供了生動(dòng)、直觀的形象.

    (四)初中幾何公理化系統(tǒng)的不足之處

    教材中,有些概念沒有被定義,或者雖然定義了卻不夠精確;沒有明確提出順序公理和運(yùn)動(dòng)公理,卻常常借助這些概念來論述問題,或者在論證過程中默認(rèn)地使用;沒有明確提出連續(xù)公理,卻“想當(dāng)然”地運(yùn)用了直線和圓周的連續(xù)性質(zhì).

    三、教學(xué)實(shí)例——人教版初中數(shù)學(xué)“三角形全等的判定(第一課時(shí))”

    根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況改編初中教材中的公理系統(tǒng),降低對(duì)公理化思想方法的要求是存在一定合理性的,但這樣的改編會(huì)導(dǎo)致學(xué)生所學(xué)知識(shí)不夠嚴(yán)謹(jǐn),也不利于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng).因此,筆者以人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十二章“全等三角形”的“三角形全等的判定(第一課時(shí))”為例,嘗試改進(jìn)傳統(tǒng)的“圖形與幾何”部分的教學(xué)方法,探究如何在教學(xué)過程中更好地展現(xiàn)公理化思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

    (一)“三角形全等的判定(第一課時(shí))”的教材呈現(xiàn)

    1.教材呈現(xiàn)過程

    舊知識(shí)引入

    根據(jù)三角形全等的定義,得出全等三角形三邊、三角分別相等;思考能否在只滿足上述六個(gè)條件中的部分條件的情況下,判定兩個(gè)三角形全等

    探究新知

    探究1:用先畫出一個(gè)△ABC,再畫出一個(gè)與其全等的△A′B′C′,嘗試探究需要滿足哪些條件才能保證兩個(gè)三角形全等.

    探究2:畫出兩個(gè)三邊分別相等的三角形,再用剪裁對(duì)比的方法判斷兩個(gè)三角形是否全等,得到“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”這一基本事實(shí).

    例題鞏固

    以一道典型例題將新知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中

    拓展應(yīng)用

    將新知識(shí)應(yīng)用到全等三角形的作圖中

    習(xí)題鞏固

    2.教材呈現(xiàn)過程存在的問題

    (1)人教版初中數(shù)學(xué)教材中明確呈現(xiàn)了“正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的,這樣得到的真命題叫作定理”“一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出判斷”,而本小節(jié)在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”這一結(jié)論后,卻沒有用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒右宰C明.

    (2)將“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”看作了基本事實(shí),即為了方便學(xué)生的理解而將公理看作定理,但教材擴(kuò)大了公理的范疇,卻沒有加以說明,一定限度上不利于學(xué)生公理化思想的培養(yǎng).

    總的來說,本課時(shí)的這種編排有利于學(xué)生快速接受知識(shí),但不利于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維的建構(gòu).

    (二)改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

    1.教學(xué)目標(biāo)

    (1)掌握“SSS”判定定理,初步應(yīng)用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等.

    (2)經(jīng)歷探索三角形全等的判定過程,通過操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力及發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)問題的能力.

    (3)會(huì)根據(jù)“SSS”定理用尺規(guī)作出全等的三角形.

    2.教學(xué)重難點(diǎn)

    (1)重點(diǎn):“SSS”判定三角形全等的條件,會(huì)用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等.

    (2)難點(diǎn):探索三角形全等條件的過程.

    3.教學(xué)方法

    講授法,自主探究法、小組討論法.

    4.教學(xué)準(zhǔn)備

    擴(kuò)展材料1:前置學(xué)習(xí)任務(wù)單(由學(xué)生課前自主完成).

    擴(kuò)展材料2:課外閱讀材料,包含定理“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”的證明過程(略).

    5.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

    ?6.教學(xué)創(chuàng)新

    (1)本節(jié)課有大量需要學(xué)生自主探究的部分,且邏輯上環(huán)環(huán)相扣,因此,教師在教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了一連串問題,用問題引導(dǎo)學(xué)生思考、探究,啟迪學(xué)生思維,讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的過程中獲取知識(shí),收獲方法,提升推理能力.

    (2)引導(dǎo)學(xué)生回憶命題、定理、證明部分的內(nèi)容,構(gòu)建新知與舊知的聯(lián)系,加深學(xué)生對(duì)公理化思想方法的認(rèn)識(shí),將學(xué)生由直觀的數(shù)學(xué)思維逐步引向抽象化的數(shù)學(xué)思維.

    (3)本節(jié)課的內(nèi)容相對(duì)較多,也比較難以理解,筆者嘗試以課外材料的形式拓展本節(jié)課內(nèi)容.一方面,以“前置學(xué)習(xí)任務(wù)單”的方式使學(xué)生提前對(duì)所學(xué)內(nèi)容有所了解,減輕課堂上的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān);另一方面,以“課外閱讀材料”的形式對(duì)書本內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充,讓學(xué)生課后選擇性地閱讀,使教材知識(shí)系統(tǒng)更加完整.

    四、結(jié)語

    我國(guó)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中所呈現(xiàn)的公理系統(tǒng)是經(jīng)過多方面考量的結(jié)果,有可取之處,也有不足之處.本文以人教版初中數(shù)學(xué)教材中“全等三角形的判定”的內(nèi)容為基礎(chǔ),嘗試探究更有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方法,希望能對(duì)讀者有所啟發(fā),也期盼能有更多行之有效的教學(xué)方法幫助我們提升教學(xué)質(zhì)量.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]徐利治.數(shù)學(xué)方法論十二講[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2007:57.

    [2]張平,文曉宇.關(guān)于幾何公理化方法的產(chǎn)生、發(fā)展和中學(xué)幾何公理處理的研究[J].齊齊哈爾師范學(xué)院學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版),1987(S1):54-58.

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    [4]尹蓮.“問題鏈”在初三幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].云南師范大學(xué),2018.

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