關于整環(huán)上保持逆矩陣的函數(shù)

戴嬌鳳，譚宜家

(福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福州 350108)

保持問題是矩陣代數(shù)中的重要研究內(nèi)容之一，它在系統(tǒng)控制、微分方程等領域有著廣泛的應用.最早的保持問題出現(xiàn)在1897年，G·Frobenius研究了域上矩陣空間保持行列式的線性算子，獲得了n×n復矩陣空間Mn(C)上保持行列式的線性映射f的形式：?A∈Mn(C)，f(A)=PAQ或f(A)=PATQ，其中:P,Q為Mn(C)中的可逆矩陣，且det(PQ)=1，這里C是復數(shù)域(參見文獻[1]).

之后，多位學者研究了有關矩陣代數(shù)中的保持問題，取得了豐富的研究成果[2-13].2011年，Yao 等[14]研究了保持某種矩陣性質(zhì)的函數(shù)，開辟了研究保持問題的一個新的方向.最近，樊玉環(huán)和袁海燕[15]刻畫了域上全矩陣空間保持逆矩陣的函數(shù)的形式.本文在上述基礎上進一步探討整環(huán)上全矩陣空間和上三角矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)，所得結果推廣了文獻[15]的重要結論.由于整環(huán)中的非零元不一定可逆，本文的證明方法與文獻[15]有所不同.

1 基本概念與符號

本文中, 如無特別說明，R表示一個含有單位元1的結合環(huán).

一個環(huán)R稱為整環(huán)，如果?a，b∈R，由ab=0可推出a=0 或b=0，這里0表示環(huán)R中的零元.顯然，如果R為整環(huán)，那么?a，b，c∈R，a≠0，由ab=ac(或ba=ca)可推出b=c.

設f是R到自身的一個映射，Mn(R)和Tn(R)分別是R上n階矩陣空間和n階上三角矩陣空間.?A∈Mn(R)(或?A∈Tn(R))，定義f(A)=(f(aij)).

定義1 設f是R到自身的一個映射，如果?a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，則稱f是環(huán)R的一個自同態(tài).

定義2 設f是R到自身的一個映射，如果?A、B∈Mn(R)(或?A、B∈Tn(R))，由AB=En可推出f(A)f(B)=En，則稱f是R上n階矩陣空間(或n階上三角矩陣空間)的保持逆矩陣的函數(shù), 這里En表示n階單位矩陣.

2 主要結論

定理1 設R是一個整環(huán),f:R→R是一個映射,n(n≥3)是一個整數(shù),則下列條件等價

1)f是R上n階矩陣空間Mn(R)的保持逆矩陣的函數(shù)；

2)f是R上n階上三角矩陣空間Tn(R)的保持逆矩陣的函數(shù)；

3)f=f(1)δ，其中f(1)2=1，δ是R的非零自同態(tài).

證明：1)?2)顯然.

2)?3)：對于任意x∈R,設

因為f為保持逆矩陣的函數(shù)，所以

從而有

f(1)2+f(x)f(0)+(n-2)f(0)2=1

(1)

f(1)2+(n-1)f(0)2=1

(2)

f(1)f(-x)+f(x)f(1)+(n-2)f(0)2=0

(3)

由式(1)、(2)知f(x)f(0)=f(0)2.

如果f(0)≠0，則f(x)=f(0)(因為R是整環(huán))，即對于任意x∈R，均有f(x)=f(0).那么由式(2)得nf(0)2=1,而由式(3)得nf(0)2=0,矛盾，故f(0)=0.因此式(2)變?yōu)閒(1)2=1，于是f(1)=1或f(1)=-1(因為R是整環(huán))；同時式(3)變?yōu)閒(1)f(-x)+f(x)f(1)=0，于是f(-x)=-f(x).

進一步，對于任意x,y,z∈R,我們設

那么B1B2=En.

因為f為保持逆矩陣的函數(shù)，并且f(0)=0 ，f(-x)=-f(x)，所以

于是, 對于任意x,y,z∈R,均有

f(1)f(xz-y)-f(x)f(z)+f(y)f(1)=0

(4)

如果f(1)=1, 則式(4)變?yōu)?/p>

f(xz-y)=f(x)f(z)-f(y)

(5)

在式(5)中令y=0,則有f(xz)=f(x)f(z)(因為f(0)=0)；在式(5)中令z=-1,則由f(-x)=-f(x)得f(x+y)=f(x)+f(y).所以f是R的一個非零自同態(tài).

再令δ=f，則f=f(1)δ，并且δ是R的非零自同態(tài).

如果f(1)=-1， 則式(4)變?yōu)?/p>

-f(xz-y)=f(x)f(z)+f(y)

(6)

現(xiàn)令δ=-f，則δ(1)=1，δ(0)=0，δ(-x)=-δ(x)，此時式(6)變?yōu)棣?xz-y)=δ(x)δ(z)-δ(y)，同理可得δ(xz)=δ(x)δ(z)，δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，所以δ為R的非零自同態(tài).至于f=f(1)δ是顯然的.

3)?1)：設f=f(1)δ，其中f(1)2=1，δ是R的非零自同態(tài).因為R是整環(huán)，所以f(1)=1或f(1)=-1.如果f(1)=1，那么f=δ.此時f是R的非零自同態(tài)，所以f(0)=0.

現(xiàn)設A=(aij)，B=(bij)∈Mn(R)，且AB=En，則有

于是

f(A)f(B)=(f(aij) )n×n(f(bij) )n×n=

f(AB) =f(En)=En.

如果f(1)=-1，那么f=-δ，δ是R的非零自同態(tài)，此時

f(A)f(B)=(-δ)(A)(-δ)(B)=δ(A)δ(B)=δ(AB)=δ(En)=En.證畢.

由于任何域是整環(huán)，并且域上任何非零自同態(tài)為單自同態(tài)，在定理1中令f(1)=c.那么由定理1的(1)和(3)，我們有

推論1[15]f是域F上n(n≥3)階矩陣空間的保持逆矩陣的函數(shù)的充要條件是f=cδ，其中c=±1，δ是域F的單自同態(tài).