利用玲瓏畫板培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)立體思維*

廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 蘇國東

1 前言

據(jù)調(diào)查分析[1],學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)中主要存在缺乏學(xué)習(xí)興趣、解題能力欠缺、空間想象能力不足等主要問題;教師在立體幾何的教學(xué)中也存在著教法落后、缺少圖形直觀呈現(xiàn)等問題.

近年來,信息技術(shù)工具的迅猛發(fā)展,給立體幾何的教學(xué)帶來了勃勃生機(jī). 其中,功能較全面、較有針對性的當(dāng)屬“玲瓏畫板”軟件. 與幾何畫板等軟件相比,玲瓏畫板具有更強(qiáng)大的立體建模和動態(tài)教學(xué)功能, 能有效凸顯學(xué)生的主體地位,提升學(xué)生的空間想象能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)立體思維,在教學(xué)實(shí)踐中受到了越來越多師生的青睞.

2 教學(xué)案例

“球的表面積和體積”一課的教學(xué)目標(biāo),是讓學(xué)生學(xué)會利用球的表面積公式和體積公式解決相關(guān)問題,其中較典型的有正方體與正四面體的內(nèi)切球與外接球問題,屬于本課教學(xué)的重難點(diǎn),需要學(xué)生具備較強(qiáng)的幾何直觀能力和空間想象能力.

2.1 問題設(shè)計(jì)

教師創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境,利用玲瓏畫板設(shè)計(jì)正方體立體模型,以正方體中心為球心構(gòu)造一個球體,如圖1. 拖拽球體頂部的控制點(diǎn)可以將球體放大縮小,隨著半徑的變化,球體會先后與正方體的面、棱、頂點(diǎn)接觸,學(xué)生從中可以直觀了解何為正方體的內(nèi)切球、棱切球及外接球. 拖動下方“旋轉(zhuǎn)”控制點(diǎn)或點(diǎn)擊自動按鈕可以從不同角度觀察模型中正方體與球的位置關(guān)系.

下面結(jié)合情境,進(jìn)一步探究三種情況下球的半徑與正方體棱長的數(shù)量關(guān)系. 設(shè)正方體的棱長為a,教師設(shè)計(jì)三個具體問題.

問題1如圖2,若把小球吹大,使得球面與正方體的各面都相切,求此時(shí)球的半徑.

問題2如圖3,若把球吹大到與正方體各條棱都相切,求此時(shí)球的半徑.

問題3如圖4,若把球吹大到剛好包住整個正方體,即正方體各個頂點(diǎn)都在球面上,求此時(shí)球的半徑.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.2 問題解決

教師引導(dǎo)學(xué)生充分思考三個問題,組內(nèi)交流,再邀請學(xué)生代表上臺利用玲瓏畫板進(jìn)行演示和講解.

以問題3 為例, 學(xué)生自主講解思路, 同時(shí)用畫線工具連接模型中的AC′和AC, 構(gòu)造面ACC′, 如圖5.學(xué)生選中整個幾何體, 點(diǎn)擊“視圖”菜單中的“透視圖”命令,在透視圖窗口中自由旋轉(zhuǎn)、縮放模型,臺下學(xué)生在“立體”的講解中有了多角度的感受. 最后得出正方體的體對角線AC′即為外接球的直徑.

圖5

利用玲瓏畫板的立體模型以及透視圖功能,讓學(xué)生直觀理清三個問題中點(diǎn)線面之間的關(guān)系,獲得了解決此類問題的關(guān)鍵,即尋找出球心所在的軸截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算半徑或直徑.

2.3 拓展提升

在此基礎(chǔ)上,教師設(shè)計(jì)正四面體與球的問題,進(jìn)一步培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)立體思維. 教師利用玲瓏畫板建立正四面體模型,以其中心為球心建立外接球與內(nèi)切球.

圖6

圖7

圖8

問題4如圖6,求棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑.

問題5如圖7,求棱長為a的正四面體的外接球的半徑.

以問題4 為例,教師引導(dǎo)學(xué)生采用類似的思路進(jìn)行探究,尋找球心所在的軸截面. 拖動下方“旋轉(zhuǎn)”控制點(diǎn)讓學(xué)生理清球體與正四面體各個面與棱的位置關(guān)系.

但由于正四面體不如正方體的情況直觀具體,部分學(xué)生仍然難以找出該截面. 于是教師選中整個幾何體, 點(diǎn)擊“視圖”菜單中的“三視圖”命令,在三視圖窗口中能同時(shí)從三個方向呈現(xiàn)模型的位置關(guān)系,如圖8.

教師拖拽其中一個視圖中的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn),其余視圖中的圖形會同步旋轉(zhuǎn). 在這一過程中,學(xué)生深刻理解到球體與正四面體各個面與棱的位置關(guān)系,圖8 中該時(shí)刻左視圖的三角形面即為所求的過球心的軸截面.

教師邀請學(xué)生代表上臺,在正四面體模型中創(chuàng)建BC的中點(diǎn)F,連接AF,DF,作出所求的軸截面ADF,如圖9. 學(xué)生利用“透視圖”窗口對軸截面與正四面體的位置關(guān)系進(jìn)行全方位展示,驗(yàn)證其合理性并講解思路. 最后師生共同利用平面幾何的知識在不同三角形面內(nèi)計(jì)算各線段長,一步步得出內(nèi)切球半徑與正四面體棱長之間的數(shù)量關(guān)系.

2.4 建立聯(lián)系

問題5 也可使用相同方法,找到軸截面ADF進(jìn)行解答,如圖10. 但此法需要學(xué)生具備較強(qiáng)的直觀想象能力和邏輯推理能力,為了進(jìn)一步體現(xiàn)知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題,教師再設(shè)計(jì)如下問題.

圖9

圖10

問題6聯(lián)想正四面體與前面研究的正方體之間的關(guān)系,兩者都具有對稱美,能否相互轉(zhuǎn)化.

學(xué)生發(fā)現(xiàn), 連接正方體的六條面對角線AC,B′D′,AB′,AD′,CB′,CD′后 即得到了一個正四面體A -CB′D′,如圖11. 即是說正四面體可以補(bǔ)成一個正方體,正四面體的外接球即為正方體的外接球, 其中正四面體的棱長是該正方體棱長的倍.因此利用問題3 的結(jié)論即可快速解決問題5.

3 教學(xué)反思

3.1 數(shù)學(xué)立體思維是核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo),立體幾何知識內(nèi)容對學(xué)生核心素養(yǎng),尤其是直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)有著極為重要的教育價(jià)值,而幾何直觀能力和空間想象能力也主要通過立體幾何教學(xué)進(jìn)行培養(yǎng). 因此,選擇適宜的、直觀有效的立體幾何教學(xué)方法和手段是培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)立體思維和素養(yǎng)的關(guān)鍵.

3.2 立體幾何教學(xué)應(yīng)凸顯學(xué)生的主體地位

教師應(yīng)正確認(rèn)識學(xué)生的主體地位,充分發(fā)揮其主體性和創(chuàng)造性. 立體幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)內(nèi)容,教師在教學(xué)中要善于借助技術(shù)工具創(chuàng)設(shè)探究情境,設(shè)計(jì)有效的“問題鏈”,搭建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的平臺,給予學(xué)生自主探索、動手操作、合作交流的機(jī)會,提升學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣,讓學(xué)生學(xué)會從多角度研究問題、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、總結(jié)規(guī)律,逐步提升數(shù)學(xué)立體思維能力.

3.3 技術(shù)融合有效改進(jìn)立體幾何教學(xué)方式

隨著新媒體新技術(shù)的日益發(fā)展與普及,越來越多的教學(xué)技術(shù)工具與學(xué)科教學(xué)緊密融合,這些工具具有可視性和智能性,在課堂教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用. 玲瓏畫板在立體建模和動態(tài)教學(xué)中具有獨(dú)特的功能優(yōu)勢,能將靜態(tài)的圖形動態(tài)的呈現(xiàn),既增強(qiáng)了幾何學(xué)習(xí)的趣味性,又能讓師生在教學(xué)中實(shí)時(shí)作圖、變換,同步呈現(xiàn)透視圖和三視圖,從而對問題進(jìn)行多角度、全方位的觀察與分析,對立體圖形中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系有了完整立體的認(rèn)知. 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化了立體幾何的教學(xué)方式.