能力立意,素養(yǎng)導(dǎo)航*
——賞析2019年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑期課堂試題

北京市懷柔區(qū)京市第一O 一中學(xué)懷柔分校(101407) 李加軍

2019年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑期課堂測(cè)試早已落下帷幕. 這份試題源于課本又高于課本,試題整體區(qū)分度較大,前三題入手較易,卻令人耳目一新,后兩題需要學(xué)生具備適當(dāng)?shù)耐卣怪R(shí),如高次方程韋達(dá)定理、第二數(shù)學(xué)歸納法及抽屜原則等內(nèi)容.

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)首先要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”);其次,在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”);進(jìn)而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)這兩個(gè)過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);最后,能夠會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界(簡(jiǎn)稱(chēng)“三會(huì)”). 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),“三會(huì)”是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn).

這套試題很好地落實(shí)了數(shù)學(xué)課程目標(biāo),考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 下面筆者對(duì)試題進(jìn)行賞析,以饗讀者.

1. 已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(f(x))=x-1,問(wèn): 是否存在整數(shù)n,使得f(n)是整數(shù). 若存在,求出所有的n;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析存在性問(wèn)題的一般思路是假設(shè)存在,然后按照題目條件進(jìn)行合理推導(dǎo),最后如果推出矛盾,則得出結(jié)論不存在;如果推出結(jié)果,則需要進(jìn)一步對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)來(lái)確定結(jié)論是否存在.

解假設(shè)存在n,m ∈Z, 使得f(n) =m, 則f(m) =f(f(n)) =n -1, 進(jìn)而f(n-1) =f(f(m)) =m -1,f(m-1) =f(f(n-1)) =n-2,依此類(lèi)推有f(n-k) =m-k,且f(m-k)=n-(k+1)(k ∈N).

(1)若n=m,則f(n)=n且f(n)=n-1,矛盾!

(2) 若n ＞ m, 由m=n -(n - m), 知f(m) =f[n-(n-m)]=m-(n-m)=2m-n,又f(m)=n-1,故2m-n=n-1,即2n=2m+1,矛盾!

(2) 若m ＞ n, 由n=m -(m - n), 知f(n) =f[m -(m - n)] =n -(m - n+ 1) = 2n - m -1, 又f(n)=m,故2n-m-1=m,即2n=2m+1,矛盾!

綜上可知,不存在整數(shù)n,使得f(n)是整數(shù).

說(shuō)明本例通過(guò)假設(shè)存在n,m ∈Z,使得f(n) =m,易得知f(n-k)=m-k,且f(m-k)=n-(k+1)(k ∈N),進(jìn)而分類(lèi)討論得出矛盾,從而獲得結(jié)論是不存在. 解題過(guò)程體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.已知函數(shù)f:{1,2,3,··· ,2019} → {-1,1}, 若i,j ∈{1,2,3,··· ,2019}, 證明:不成立.

分析是否成立問(wèn)題一般適應(yīng)于反證法. 由于函數(shù)f:{1,2,3,··· ,2019} →{-1,1}, 從而問(wèn)題的本質(zhì)是1-2019 的函數(shù)值可否兩兩乘積之和為0, 其必要條件是乘積f(i)f(j)的個(gè)數(shù)為偶數(shù).

證明反證法: 假設(shè)由f(i),f(j)∈ {-1,1}, 則f(i)f(j)∈ {-1,1}, 于 是中f(i)f(j) 取值-1 和1的個(gè)數(shù)一樣多, 所以一定有偶數(shù)個(gè)乘積f(i)f(j). 而事實(shí)上中f(i)f(j) 的個(gè)數(shù)是== 2019×1009(奇 數(shù)) , 矛 盾! 所 以

說(shuō)明通過(guò)反證法, 分析出題目本質(zhì)就是判斷中應(yīng)該有偶數(shù)個(gè)乘積f(i)f(j), 而事實(shí)上個(gè)數(shù)為奇數(shù),水到渠成,得到問(wèn)題結(jié)果. 解題過(guò)程體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),細(xì)思之下,腦海際會(huì)浮現(xiàn)一種曲徑通幽之快樂(lè).

3. 已知等腰直角ΔABC,∠A= 90°,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E在邊AC上,滿(mǎn)足AD=AE,過(guò)點(diǎn)A,D分別作BE的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)P,Q,用平面幾何方法證明:PC=PQ.

分析此題證明線(xiàn)段PC=PQ, 但PC,PQ沒(méi)有直接聯(lián)系,因此需要將其中一條轉(zhuǎn)移到一個(gè)新的圖形中,再找到該圖形與另一條線(xiàn)段所在圖形的關(guān)系(如全等),從而使得問(wèn)題加以解決.

證明延長(zhǎng)EA至點(diǎn)F, 使得FA=EA, 連結(jié)FB交BC的平行線(xiàn)AG于點(diǎn)G, 連結(jié)GD. 因?yàn)锳G//BC, 所以∠GAD=ABC= ∠ACB= ∠GAF,又AD=AE=AF,GA=GA,所以GAD∽=GAF,故∠ADG=∠AFG.

由∠BAC= 90°, 以 及AP⊥BE,DQ⊥BE, 知∠ADG= ∠AFG= ∠AFB= ∠AEB= ∠BAP=∠BDQ, 所以∠ADG= ∠BDQ, 所以G,D,Q三點(diǎn)共線(xiàn),所以GAPQ是平行四邊形,所以GA=PQ.

再 由∠BAC= 90°, 以 及AP⊥BE,DQ⊥BE, 知∠ABG= ∠ABF= ∠ABE= ∠PAC, 故在ΔABG中與ΔCAP中, ∠ABG= ∠PAC, ∠GAB= ∠PCA= 45°,AB=AC, 所以GAB∽= ∠PCA, 所以GA=PC, 于是PC=PQ.

說(shuō)明由上述分析, 考慮平移PQ到AG, 此時(shí)根據(jù)結(jié)論可以倒推出ΔABG與ΔCAP全等, 但由于還不知PC=PQ, 反過(guò)來(lái)卻不易證明此全等關(guān)系. 于是轉(zhuǎn)變思路,作對(duì)稱(chēng)變換,得到與ΔABE全等的ΔABF,進(jìn)而得到與ΔCAP全等的ΔABG,并證明GAPQ是平行四邊形,從而由傳遞關(guān)系得出PC=PQ. 解題過(guò)程體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4. 實(shí)數(shù)滿(mǎn)足x+y+z=x2+y2+z2=2,求xyz的最大值和最小值.

分析首先由條件可以解得xy+yz+zx= 1,結(jié)合結(jié)論可以聯(lián)想到三次方程的韋達(dá)定理處理,進(jìn)而構(gòu)造三次函數(shù)討論其有三個(gè)零點(diǎn)的條件解決問(wèn)題. 其次也可以由條件消去z,然后分析消元后x,y的二元結(jié)構(gòu)式可知將t=x+y整體化處理,利用基本不等式找到t的范圍,并講結(jié)論化為t的三次函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)法求其最值.

解方法一: 由題意得xy+yz+zx= 1, 所以x,y,z是關(guān)于t的方程t3-2t2+t - r= 0 的三個(gè)實(shí)數(shù)根, 其中r=xyz, 設(shè)f(t) =t3-2t2+t - r, 則f′(t) = 3t2-4t+ 1 = 0 的根為t=或t= 1, 結(jié)合圖象可知

方法二: 由x+y+z= 2, 得z= 2- x - y, 代入x2+y2+z2=2 整理得x2+y2-2x-2y+xy+1=0. 設(shè)t=x+y,由x2+y2-2x-2y+xy+1=0 得xy=t2-2t+1,又z= 2-x-y= 2-t, 因此xyz= (t-1)2(2-t), 由t2-2t+ 1 =xy≤解得等號(hào)在x=y時(shí)取到. 令g(t) = (t-1)2(2- t), 則g′(t) = (t -1)(5-3t) = 0 的根 為t= 1 或t=從而易知g(t) 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 又g(1) =g(2) = 0,所以當(dāng)g(1) =g(2) = 0 時(shí)(如取x=y= 1,z= 0),r=xyz取最小值0,當(dāng)時(shí)(如取r=xyz取最大值

說(shuō)明方法一逆用三次方程韋達(dá)定理,構(gòu)造出相應(yīng)的三次函數(shù),結(jié)合三次函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)的條件找到xyz的范圍,進(jìn)而確定等號(hào)取到條件,求出xyz的最值,使得問(wèn)題迎刃而解. 方法二充分利用消元的思想和整體化的思想將表示為的函數(shù),并用基本不等式確定出的取值范圍,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)這一工具如魚(yú)得水. 解題過(guò)程中體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5. 有10 條長(zhǎng)為1 的線(xiàn)段,每一條都被分為若干條小線(xiàn)段. 證明: 總可以選取6 條小線(xiàn)段,使它們可以構(gòu)成2 個(gè)三角形.

分析如果一條線(xiàn)段所分出的所有小線(xiàn)段內(nèi)部構(gòu)不成三角形,則可以推出最長(zhǎng)那個(gè)小線(xiàn)段長(zhǎng)度不低于接下來(lái)通過(guò)分類(lèi)并對(duì)每條線(xiàn)段所分出來(lái)的最長(zhǎng)小線(xiàn)段結(jié)合抽屜原則得出本題結(jié)論.

證明假設(shè)某一條線(xiàn)段拆出的小線(xiàn)段們不能構(gòu)成三角形, 不妨設(shè)這些小線(xiàn)段的長(zhǎng)度從小到大依次是a1,a2,··· ,an, 則ai+1≥ai+ai-1對(duì)每個(gè)i= 2,··· ,n-1(n≥3)都成立(否則存在ai-1,ai,ai+1三個(gè)就能構(gòu)成三角形了) . 下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明: 對(duì)任意2 ≤m≤n,m,n ∈Z,有

當(dāng)m= 2 時(shí),顯然有a2≥a1＞,所以不等式(*)成立;

當(dāng)m= 3 時(shí),顯然有a3≥a2+a1＞,所以不等式(*)成立;

假設(shè)當(dāng)m≤k(k≥3)時(shí)成立,則當(dāng)m=k+1 時(shí),根據(jù)歸納假設(shè)2ak-1≥a1+a2+···+ak-2,所以2ak+1≥2(ak+ak-1)≥ak+ak-1+2ak-1≥a1+a2+···+ak-2+ak-1+ak,即ak+1≥,所以m=k+1 時(shí),不等式(*)也成立.

由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)任意2 ≤m≤n,m,n ∈Z, 有

進(jìn)而可知: 對(duì)于“一條拆出的所有小線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形”的線(xiàn)段, 有an≥(n≥2), 即所以(n≥2), 當(dāng)n= 1 時(shí), 顯然有從而說(shuō)明若某一條線(xiàn)段拆成的所有小線(xiàn)段不能構(gòu)成三角形,則拆出來(lái)的最長(zhǎng)小線(xiàn)段

現(xiàn)在來(lái)考慮所有的10 條線(xiàn)段,分成三類(lèi)情況:

(1)已經(jīng)有2 條線(xiàn)段,它們拆出來(lái)的小線(xiàn)段可以各自構(gòu)成三角形了,則問(wèn)題得證.

(2)若只有1 條線(xiàn)段拆出來(lái)的小線(xiàn)段能自己構(gòu)成三角形,考慮另外9 條線(xiàn)段, 每條線(xiàn)段都有1 條長(zhǎng)度不小于的小線(xiàn)段,于是這些小線(xiàn)段的長(zhǎng)度要么位于中,要么位于中,由抽屜原理,9 條線(xiàn)段放入兩個(gè)區(qū)間里,至少有一個(gè)區(qū)間里有3 條線(xiàn)段. 又因?yàn)轱@然落在這兩個(gè)區(qū)間任意一個(gè)里的三條線(xiàn)段是能組成一個(gè)三角形,于是問(wèn)題得證.

(3)若沒(méi)有1 條線(xiàn)段拆出來(lái)的小線(xiàn)段能自己構(gòu)成三角形,考慮10 條線(xiàn)段,同情況(2)可知選出3 條構(gòu)成三角形;再考慮余下的7 條線(xiàn)段,同情況(2)能再選3 條構(gòu)成三角形,從而問(wèn)題得證.

說(shuō)明數(shù)學(xué)的應(yīng)用性使得數(shù)學(xué)煥發(fā)出無(wú)窮的魅力. 這個(gè)例子說(shuō)明有意識(shí)地培養(yǎng)靈活的數(shù)學(xué)觀念,深刻認(rèn)識(shí)題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì),積極利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題,對(duì)提高一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至綜合素養(yǎng)有著極大的幫助. 解題過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).