題在考卷,根在課本
——一道教材例題的激活與拓展

廣東省東莞市麻涌中學(523000) 駱妃景

廣東省汕頭市澄海華僑中學(515800) 潘敬貞

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(528300) 楊承根

1 教學現(xiàn)狀及思考

當前高考復習折射了這是一個刷題的時代.大海茫?？繜羲?題海茫茫憑典例,殊不知一道題做透了,要遠勝過做一百道題. 刷百題不如解透一題,多做題固然必不可少,但多反思更加難能可貴. 教材例題凝聚了專家、前輩們們的智慧,是精雕細磨的產(chǎn)物,一些看似平淡無奇的例題,卻隱藏著深淵的背景,也有著意想不到的功能,體現(xiàn)了課程標準與教學大綱的靈魂,高考題大多都能在教材中找到題源,研究教材例題就如同和高考命題專家對話. 因此教材例題一直是來年高考復習與研究首選的課程資源,最好的復習教學的素材,當你真正把教材例題研究透了,這些試題便有已出,臨考時對試卷就絕無陌生之感,并能觸類旁通. 因此在高三復習課中,應該當抓住教材例題的生長點,深入挖掘,達到讓學生觸類旁通,提高學生解題能力,發(fā)展學生核心素養(yǎng)的目的.

2 教學過程

2.1 例題呈現(xiàn)

筆者開設(shè)了一節(jié)解析幾何的綜合復習課,選用了人教A版《數(shù)學(選修2-1)》第41 頁的例3 作為本節(jié)課的例題,然后對例題進行激活與拓展.

例1設(shè)點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點m,且它們的斜率之積是,求點m的軌跡方程.

由學生自主解答. (師生對話,引導學生關(guān)注題目的核心條件及其數(shù)據(jù)分析,猜想結(jié)論.)

2.2 合作探究

合作探究中,倘若全靠學生獨立探究那是不可取的,教師應當在合作探究中做好引路人的角色,引導學生進行發(fā)散式探究,遵循從特殊到一般的探究方向.

筆者主要通過對例題的數(shù)據(jù)進行分析、猜想、提問,一步一步的引導學生進一步探索,橢圓中是否更具一般性的性質(zhì)或結(jié)論.

變式1設(shè)點A,B的坐標分別為A(-a,0),B(a,0),直線AM,BM相交于點M, 且它們斜率之積是(其中a ＞0,b ＞0) , 求動點M的軌跡方程(答案: 橢圓

變式2在平面直角坐標系xOy中,如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為A,B, 點P在橢圓C上且異于點A,B, 設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

變式3已知橢圓C的方程為:=1(a ＞b ＞0)的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓C上且異于點A,B,設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,證明:k1·k2=

筆者追問道: 變式2 和變式3 中的點A,B是都為是橢圓的上、下頂點,兩點是關(guān)于原點對稱的,能否換成更一般的其他關(guān)原點對稱的兩點再做拓展呢? 教師提出如下變式4.

變式4已知橢圓C的方程為:=1(a ＞b ＞0),過原點的直線l交橢圓C于P,Q兩點,M為橢圓上異于P,Q的任一點,求證:kMP ·kMQ為定值.

證明: 設(shè)P(x1,y1),M(x0,y0)則Q(-x1,-y1),所以

所以kMP ·kMQ=為定值.

評注變式1——變式3,主要是對例題進行逆向探究和驗證,為后面的一般化探究和拓展做好鋪墊,變式4 進一步的做一般化探究. 意在促進學生對問題本質(zhì)的理解,拓寬學生的數(shù)學視野,訓練學生的數(shù)學思維,培養(yǎng)學生的理性思維,發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

2.3 類比探究

筆者通過對話引導學生回顧圓的垂徑定理,引導啟發(fā)學生啟將“橢圓的這個性質(zhì)”與“圓的垂徑定理”以及兩直線的斜率之積k1k2=-1 聯(lián)系起來,從而提出新的探究方向: 圓內(nèi)是否還有類似的性質(zhì)可類比橢圓? 比如圓內(nèi)有垂徑定理,那橢圓中是否也有類似垂徑定理呢?

在這里給學生足夠的探索時間,為學生提供足夠的展示和交流的機會,由點差法的引領(lǐng),學生對圓的垂徑定理作類比獲得了一個探究成果.

變式5已知橢圓C的方程為:=1(a ＞b ＞0),

直線AB交橢圓C于A,B兩點,點M是弦AB的中點,記直線AB,OM的斜率分別為k1,k2,證明k1k2=

證明: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)即x1+x2=2x0,y1+y2= 2y0, 聯(lián)立方程由點差法可得:①-②得= 0,即= 0, 所以即kABkOM=

通過引導以及學生的協(xié)作學習得出變式5,以及橢圓中存在類似于圓的“垂徑定理”. 此時筆者乘勝追擊,繼續(xù)追問道: 我們知道, 圓的切線與過切點的半徑垂直, 那么我們將直線AB進一步平移與橢圓相切于點M,大家來探索一下kAB ·kOM的值.

變式6已知橢圓C的方程為:=1(a ＞b ＞0),直線AB與橢圓C切于點M,記直線AB,OM的斜率分別為k1,k2,證明:k1k2=

證明: 當AB無限趨近于0 時,A,B,M三點無限趨近于切點M,kAB的極限值即為為k,所以k·kOM=

評注通過師生對話引導學生關(guān)注上述命題各自的核心條件及其統(tǒng)一的結(jié)論感受數(shù)學之美,考慮課堂的時間成本問題,將探究拓展遷移到焦點在x軸的雙曲線上,焦點在y軸上的橢圓和雙曲線是否得到同樣性質(zhì)結(jié)果,讓學生課后完成,下一節(jié)課用一些時間給大家展示.

1992年，許鈞就提出“翻譯專業(yè)的獨立學科地位得不到保證，弊病非常明顯。學科的獨立地位得不到保證，也直接影響到了翻譯人才的培養(yǎng)?！盵11]不過面對國際社會間不同文化、經(jīng)濟、社科等領(lǐng)域交流對翻譯學提出的要求，譯學界開始對翻譯學的發(fā)展進行了反思，有了將翻譯建立為獨立學科的基礎(chǔ)。

4 應用體驗

學生震驚于探究所得的結(jié)論,此時的情緒異?？簥^. 筆者抓住時機,告誡學生數(shù)學學習要充分感受知識的發(fā)生發(fā)展,不但要知其然,還要知其所以然,更要做到何由以知其所以然,點出解析幾何中的優(yōu)美統(tǒng)一性質(zhì),準確抓住題目的條件特征,這將對解題大有裨益. 接著筆者給出8 道題供學生在課堂與課后應用體驗,例題的示范讓學生切實感受解析幾何優(yōu)美性質(zhì)在做解析幾何客觀小題時,有一種柳岸花明的感覺.

師: 這是個存在性問題,首先要做什么工作?

生1: 假設(shè)存在a,使得O,M,S三點共線,求a

師: 好,M是直徑SB圓上的點,T為橢圓上點,AB為橢圓直徑,應聯(lián)想到什么呢?

生2: 可以聯(lián)想到kMS·kMB=-1,kT A·kT B==

師: 他們之間又什么關(guān)系嗎? 哪兩點的斜率是相等的?

生3:kOS=kMS,kMB=kT B

由一位同學口述解決過程:S為直線AT與直線x=a交點, 所以我想方法用斜率kT A表示S的坐標,由AT直線方程為y=kT A(x+a), 即S(a,2akT A), 所以=2kT A,進而a2=2,a=

師: 由于時間關(guān)系, 大家課后繼續(xù)動手實踐問題應用2-問題應用8.

問題應用2: 橢圓C:= 1 的上、下頂點分別為A1,A2, 點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],求直線PA1斜率的取值范圍.

解由上述性質(zhì)得kP A1·kP A2=所以kP A2=,又直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],所以-2 ≤≤-1,所以所以直線PA1斜率的取值范圍為

解依題意可設(shè)直線AQ的方程為易得由上述性質(zhì)得kAQ · kBQ=, 所以kBQ=, 直線CT的斜率kCT=, 又CT⊥TD,所以直線TD的方程為y=(x - a), 令x= 0,得所以直線AD的斜率kAD=, 因為AD//BQ,所以所以a=1.

問題應用4: (2019年高考全國II 卷理科第21 題)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程,并說明C什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.

①證明: ΔPQG是直角三角形;

解(1) 由題意得:化簡得:= 1(x ?=±2), 表示焦點在x軸上的橢圓(不含與x軸的交點).

(2)(I)設(shè)PQ:y=kx(k ＞0),設(shè)P(x0,kx0)(x0＞0),則Q(-x0,-kx0). 因為PE⊥x軸,所以E(x0,0). 因PQ是橢圓的直徑, 由上述性質(zhì)得kMP kMQ=而kMQ=kEQ=所以kQP ·則kQP=從而kP MkP Q=-1, 故PM⊥PQ, 所以ΔPQG是直角三角形.

問題應用5: ((2018年北京市豐臺區(qū)一模理科第19 題)已知點在橢圓C:= 1(a ＞b ＞0) 上,F(1,0)是橢圓的一個焦點.

(1)求橢圓C的方程

(2)橢圓C上不與點P重合的兩點D,E關(guān)于原點O對稱,直線PD,PE分別交y軸于M,N兩點,求以MN為直徑的圓被直線y=截得的弦長.

解(1) 橢圓C的方程為= 1(過程略) . (2)設(shè)M(0,m),N(0,n), 因為所以kP M=- m,kP N=-n. 因為DE是橢圓C的直徑, 且點P在橢圓C上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得kP D ·kP E=kP M ·kP N=因為以MN為直徑的圓的方程為x2+ (y - m)(y - n) = 0, 令y=所以= 0,即x=,故以MN為直徑的圓被直線y=截得弦長為

問題應用6: (2018年全國3 卷理21)已知斜率為k的直線l與橢圓C:=1 交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m ＞0).

(1)證明:k ＜;(2)略.

解: (1)證明: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則= 1,= 1. 兩式相減, 并由=k得+·k=0. 由題設(shè)知=1,=m,于是k=①由題設(shè)得0＜m ＜,故k ＜

評注在解應用體驗題之前,引導學生進一步對本節(jié)課的知識與方法反思小結(jié),然后進行遷移,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的良好習慣. 同時,應用體驗題也是檢驗學生課堂內(nèi)容的消化情況,通過對應用體驗題分析與解決過程,鞏固知識方法,深化對數(shù)學本質(zhì)的理解,提高數(shù)學能力. 課后繼續(xù)進行應用體驗,讓學生有更多持續(xù)思考的機會,數(shù)學的學習需要主動和持續(xù)思考.

5 教學感悟

不是所有的鮮花都能代表愛,不是所有的量變都會引起質(zhì)變,題海無邊,回頭是岸. 高三數(shù)學復習要“依綱靠本”,要回歸教材,挖掘教材,激活教材例題,對例題進行變式和拓展,讓學生有進行深度學習數(shù)學、理解數(shù)學本質(zhì)的機會. 讓學生的變式探究與拓展中,深化對數(shù)學本質(zhì)的理解,訓練數(shù)學思維和培理性精神,在應用體驗中,提升數(shù)學能力發(fā)展數(shù)學素養(yǎng),在課后探究與應用體驗中,讓學生持續(xù)思考數(shù)學問題解決數(shù)學問題,培育良好的學習習慣.

只有這樣,學生的數(shù)學“思能”方能有效的提升,學生方能更好的觸類旁通,教師的教學目標方能達成,復習計劃方能如期落實,學生才可能有更多的時間與機會做更多有意義的事情. 提高學生解題能力,發(fā)展學生核心素養(yǎng)的目的方能真正落到實處.