變易圖式在抽象函數(shù)性質(zhì)教學(xué)上的應(yīng)用研究

廣東省廣州市大同中學(xué)(510545) 袁 安

抽象函數(shù)的對稱性、周期性對學(xué)生的抽象能力、推理能力、觀察分析能力及解決問題能力有較高的要求,同時也是抽象函數(shù)綜合應(yīng)用的基礎(chǔ),是綜合解決函數(shù)問題的一個重要內(nèi)容. 本文通過設(shè)計變易圖式,利用變易圖式的四個功能: 對照、區(qū)分、類合、融合,強化教學(xué)的目的性,更好的引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)抽象函數(shù)的對稱性和周期性.

1 利用變易圖式的“對照”功能,初識抽象函數(shù)的對稱性

對照(contrast),是為了獲得對某事物的經(jīng)驗,必須使用其他事物和它形成對比,對照有助于識別關(guān)鍵特征,學(xué)生才能直觀地意識到事物之間的不同和聯(lián)系. 所以在研究函數(shù)的對稱性之前,要與學(xué)生原有的對稱知識進行對照.

對于數(shù)軸上的兩實數(shù),x與-x關(guān)于實數(shù)0 對稱,a+x與a-x關(guān)于實數(shù)a對稱,x+a與b-x關(guān)于實數(shù)對稱. 對于函數(shù)f(x),若定義域關(guān)于原點對稱,且對任意x,都有f(-x)=f(x),則我們說函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,是軸對稱圖形. 這些都是學(xué)生原有的對稱知識,為了引導(dǎo)學(xué)生進一步去探究出f(a-x)=f(a+x)的性質(zhì),設(shè)計變易圖式1:

變不變審辨關(guān)鍵特征函數(shù)關(guān)系由f(-x)=f(x)變?yōu)閒(1-x)=f(1+x)1、自變量x 系數(shù)互為相反數(shù)不變2、等式左右函數(shù)值相等保持不變函數(shù)是否仍為軸對稱圖形? 若是,對稱軸是什么?

根據(jù)圖式要審辨的關(guān)鍵特征,首先引導(dǎo)學(xué)生從圖形理解,由于1-x與1+x關(guān)于實數(shù)1 對稱,而f(1-x) =f(1+x),顯然f(x)關(guān)于直線x= 1 對稱;其次,引導(dǎo)學(xué)生用整體換元的數(shù)學(xué)思想進行思考,變式后,只是在原來的式子中增加了1個單位,相當(dāng)于原函數(shù)圖像向右平移了1 個單位,從而對稱軸也平移了1 個單位,由x=0 變?yōu)榱藊=1.

為了進一步探究,給出圖式2:

變不變審辨關(guān)鍵特征函數(shù)關(guān)系由f(1-x)=f(1+x)變?yōu)閒(a-x)=f(a+x)1、自變量x 系數(shù)互為相反數(shù)2、等式左右函數(shù)值相等保持不變函數(shù)是否仍為軸對稱圖形? 若是,對稱軸是什么?

從上面的兩種方法,學(xué)生很容易就分析得到f(a-x) =f(a+x)的對稱軸為x=a. 還可以繼續(xù)把上面圖式的函數(shù)關(guān)系換為f(x) =f(2a-x),引導(dǎo)學(xué)生可以用整體換元的數(shù)學(xué)思想進行思考,只需令f(a-x)=f(a+x)中的a+x=t,從而有f(t) =f[a-(t-a)] =f(2a-t),由同一函數(shù)定義知f(x)=f(2a-x)與f(a-x)=f(a+x)是等價表達式,也相當(dāng)于是原函數(shù)圖像向右平移了a個單位,從而對稱軸也平移了a個單位.

通過設(shè)計變易圖式, 從學(xué)生已有的知識入手, 讓學(xué)生更有目的性地進行思考, 引導(dǎo)學(xué)生對照得到新的結(jié)論, 通過兩個圖式探究知: 若f(x) 滿足f(a-x) =f(a+x) 或f(x)=f(2a-x),函數(shù)f(x)的對稱軸均為x=a,在這個過程中,要注意把握圖式中的不變的關(guān)系: 自變量x系數(shù)互為相反數(shù),等式左右函數(shù)值相等保持不變.

2 利用變易圖式的“類合”功能,總結(jié)抽象函數(shù)的對稱軸

“類合”(generalization)指的是如果不同的事物或情況,都出現(xiàn)某種類似或相同的特征(即不變的部分),那么這一特征便會成為所觀察事物的一個具有普遍性的維度,會從其他無關(guān)的特征中被審辨出來,成為這幾類事物的共同特征. 我們在進行抽象的概念教學(xué)時要抓住概念的本質(zhì)特征,可以采用類合這種方式進行教學(xué), 通過找出數(shù)學(xué)關(guān)系的關(guān)鍵特征,使學(xué)習(xí)內(nèi)容由多變少,由繁變簡,由難變易,達到簡化知識形式,提升課堂教學(xué)效果.

為了讓學(xué)生繼續(xù)深入理解抽象函數(shù)的對稱軸,設(shè)計圖式3:

變不變審辨關(guān)鍵特征函數(shù)關(guān)系變?yōu)閒(a+x)=f(b-x)1、自變量x 系數(shù)互為相反數(shù)2、等式左右函數(shù)值相等保持不變函數(shù)是否仍為軸對稱圖形? 若是,對稱軸是什么?

學(xué)生根據(jù)以上圖式,小組討論,同學(xué)們可以隨意改變關(guān)系中的a,b的值來進行小組探討,通過前面的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生通過列表代入特殊值觀察,再從圖像進行歸納總結(jié). 學(xué)生根據(jù)圖式觀察猜想得到對稱軸教師再引導(dǎo)學(xué)生對其進行證明.

證明方法1: 令x=t+得到化簡得到所以得到函數(shù)f(x)的函數(shù)圖像關(guān)于x=軸對稱.

證明方法2: 令x+a=t得到f(t) =f[b-(t-a)]化簡得到f(t) =f[(a+b)-t],所以得到函數(shù)f(x)的函數(shù)圖像關(guān)于x=軸對稱.

由此可知,f(-x) =f(x),f(a - x) =f(a+x),f(x) =f(2a-x) 等都是f(a+x) =f(b-x) 的特殊形式,特點是自變量中的x系數(shù)互為相反數(shù),函數(shù)值卻是相等的,則f(x)的函數(shù)圖像關(guān)于x=軸對稱. 圖式可以讓學(xué)生更加明確自己的研究對象和目的,使學(xué)生的討論有明確的方向,提高課堂的效率.

3 利用變易圖式的“區(qū)分”功能,區(qū)分對稱軸、對稱中心和周期

區(qū)分(separation),與“類合”相反,“區(qū)分”是指讓學(xué)生關(guān)注變化的方面, 從整體中把握事物的關(guān)鍵屬性和關(guān)鍵特征,從而加深學(xué)生對事物的深刻認識. 中心對稱函數(shù)及周期函數(shù)都是學(xué)生易混,易錯的內(nèi)容,所以在教學(xué)中要充分應(yīng)用圖式的區(qū)分功能讓學(xué)生進行區(qū)分學(xué)習(xí),從而達到真正的理解.

(1)抽象函數(shù)的對稱中心

若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,對定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),則函數(shù)為偶函數(shù),關(guān)于x=0 成軸對稱,若改為f(-x) =-f(x),函數(shù)從偶函數(shù)變成了奇函數(shù),圖像從有對稱軸變成了有對稱中心. 函數(shù)是軸對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應(yīng)函數(shù)值相同,函數(shù)是中心對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應(yīng)函數(shù)值相反.

為了區(qū)分函數(shù)是軸對稱還是中心對稱,給出下面圖式4:

變不變審辨關(guān)鍵特征f(x)=-f(-x)變?yōu)閒(a+x)=-f(a-x)1、自變量x 系數(shù)互為相反數(shù)不變2、等式左右函數(shù)值互為相反數(shù)保持不變函數(shù)是否仍為中心對稱圖形? 若是,對稱中心是什么?

學(xué)生根據(jù)圖式4,類比上面的方法,通過列表代入特殊值觀察, 讓學(xué)生從圖形理解, 若f(a+x) =-f(a-x),a+x與a-x關(guān)于a對稱,而函數(shù)值互為相反數(shù),則f(x)關(guān)于點(a,0)對稱,是中心對稱圖形. 通過區(qū)分,雖然函數(shù)關(guān)系中只多了一個“-”號,函數(shù)值互為相反數(shù),但對稱性就由軸對稱變?yōu)榱酥行膶ΨQ. 同理,若f(a+x)=-f(b-x),則f(x)關(guān)于點對稱;若f(a+x)+f(b-x)=c,則f(x)關(guān)于點對稱. 由軸對稱變?yōu)橹行膶ΨQ,主要變化就是函數(shù)值由原來的相等關(guān)系變?yōu)榱讼喾搓P(guān)系,其中自變量系數(shù)互為相反數(shù)是沒有改變的.

(2)抽象函數(shù)的周期性

為了區(qū)分函數(shù)的對稱性和周期性,給出圖式5:

變不變審辨關(guān)鍵特征f(a+x)=f(b-x)關(guān)系式變?yōu)閒(a+x)=f(b+x),即x 的系數(shù)由相反變?yōu)橄嗟鹊仁阶笥液瘮?shù)值相等保持不變等距離寬度|a-b|的函數(shù)值保持相等,函數(shù)有什么性質(zhì)?

由函數(shù)周期的定義知: 若函數(shù)f(x) 滿足f(x) =f(x+a), 則f(x) 的最小正周期T=|a|. 根據(jù)圖式, 引導(dǎo)學(xué)生思考,函數(shù)關(guān)系變?yōu)閒(a+x)=f(b+x),由于x的系數(shù)不再是互為相反數(shù),不再具有對稱區(qū)間相對應(yīng)函數(shù)值相等了,而是等距區(qū)間函數(shù)值相等,顯然函數(shù)是具有周期性. 再進一步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)周期的定義進行換元,找出周期. 把x變?yōu)閤-b后可變?yōu)閒(a+x-b)=f(b+x-b)=f(x),根據(jù)周期的定義可知f(x)的周期為T=|a-b|. 為了引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究函數(shù)周期性,根據(jù)圖式5 繼續(xù)給出圖式6:

變不變審辨關(guān)鍵特征f(a+x)=-f(b+x)函數(shù)值由相等變相反自變量的系數(shù)相等保持不變等距離寬度|a-b|的函數(shù)值互為相反數(shù),函數(shù)是否有用周期性?

學(xué)生根據(jù)圖式, 由于x的系數(shù)相等, 可知等距離寬度|a-b|的函數(shù)值互為相反數(shù),引導(dǎo)學(xué)生思考,相反數(shù)的相反數(shù)就是自身,寬度為2|a-b|的兩個函數(shù)值就保持相等了. 再次引導(dǎo)學(xué)生通過換元找出函數(shù)的周期,f(a+x) =-f(b+x),得f(x) =-f(x+b - a), 再次使用-f(x+b - a) =-[-f(x+b - a+b - a)] =f(x+ 2b -2a) =f(x), 所以函數(shù)是周期函數(shù),并且周期T= 2|a-b|. 通過圖式,讓學(xué)生區(qū)分具有對稱性和具有周期性的特點,關(guān)鍵是看x的系數(shù)是相反還是相等.

(3)抽象函數(shù)的對稱軸、對稱中心和周期的區(qū)分

為了幫助學(xué)生區(qū)分這三個性質(zhì),我們通過下面圖式幫助學(xué)生理解和記憶,理清知識網(wǎng).

變不變審辨關(guān)鍵特征函數(shù)關(guān)系由f(x)=f(-x)變?yōu)?f(a+x)=f(a-x),f(a+x)=f(b-x)1、等式左右函數(shù)值相等,2、x 的系數(shù)互為相反數(shù)函數(shù)是軸對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應(yīng)函數(shù)值相同,對稱軸為x= 左+右2

函數(shù)關(guān)系由f(x)=-f(-x)變?yōu)?f(a+x)=-f(a-x),f(a+x)=-f(b-x)1、等式左右函數(shù)值相反,2、x 的系數(shù)互為相反數(shù)函數(shù)是中心對稱圖形時,對稱區(qū)間相對應(yīng)函數(shù)值相同,對稱中心為(左+右2 ,0)(其中的“左、右”為等式兩邊函數(shù)關(guān)系中的括號內(nèi)的整體)函數(shù)關(guān)系由f(x)=f(a+x)變?yōu)閒(a+x)=f(b+x)1、等式左右函數(shù)值相等,2、x 的系數(shù)相等函數(shù)周期為T =|左-右|函數(shù)關(guān)系由f(x)=f(a+x)變?yōu)閒(x)=-f(a+x)f(a+x)=-f(b+x)1、等式左右函數(shù)值相反,2、x 的系數(shù)相等函數(shù)周期為T =2|左-右|

通過圖式可以清晰明了地幫助學(xué)生區(qū)分和理解抽象函數(shù)的對稱性和周期性,讓學(xué)生理清知識點,連成知識線,織成知識網(wǎng),提高學(xué)習(xí)的效率.

4 利用變易圖式的“融合”功能,綜合應(yīng)用并拓展思維

“融合”(fusion)是指“當(dāng)學(xué)習(xí)者需要同時理解事物的幾個關(guān)鍵特征時,就應(yīng)該同時體驗這幾個關(guān)鍵特征的變化”. 通過這個過程,學(xué)生能夠意識到“變化的這幾個方面之間的關(guān)系, 以及這些方面與作為整體的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)系”. 解決抽象函數(shù)的某些問題時,常常需要根據(jù)“對稱性”、“周期性”、“奇偶性”中的一個或兩個推出另一個. 許多同學(xué)望而生畏、一籌莫展,甚至錯誤地認為三者之間沒有必然的聯(lián)系,為了探究這三者的聯(lián)系,下面應(yīng)用變易圖式進行學(xué)習(xí).

例: 函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱,同時也關(guān)于點(b,0)中心對稱,則函數(shù)f(x)是否有周期? 若有,周期是多少?

為了更好找出這三者的聯(lián)系,讓學(xué)生自己深入探究,引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計如下圖式,讓學(xué)生獨立思考,相互交流.

圖式7:

變不變審辨關(guān)鍵特征有對稱中心變?yōu)橛袑ΨQ軸原來函數(shù)的一條對稱軸不變函數(shù)圖像具兩條對稱軸,函數(shù)是否有周期?

題目變?yōu)? 如果函數(shù)f(x)有兩條對稱軸,分別為x=a和x=b,則函數(shù)f(x)有周期嗎?

圖式8:

變不變審辨關(guān)鍵特征有對稱軸變?yōu)橛袑ΨQ中心原來函數(shù)的一個對稱中心不變函數(shù)具兩對稱中心,函數(shù)是否是有周期?

題目變?yōu)? 如果函數(shù)f(x)有兩對稱中心,對稱中心分別為(a,0),(b,0),則函數(shù)f(x)是否有周期性?

圖式9:

變不變審辨關(guān)鍵特征有對稱中心變有周期函數(shù)原有對稱軸不變函數(shù)具有一條對稱軸和周期,對稱軸是否唯一? 有多少條?

題目變?yōu)? 如果函數(shù)f(x)有一對稱軸為x=a和周期T=c(c ＞0),則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)?

圖式10:

變不變審辨關(guān)鍵特征有對稱軸變有周期函數(shù)原有對稱中心不變函數(shù)具有一條對稱軸和周期,對稱中心是否唯一? 有多少個?

題目變?yōu)? 如果函數(shù)f(x) 對稱中心為(a,0) 和周期T=c(c ＞0),則函數(shù)f(x)有哪些性質(zhì)?

利用圖式,把抽象函數(shù)的對稱軸、對稱中心和周期三個性質(zhì)進行組合,有目的地讓學(xué)生深入探究并進行系統(tǒng)和全面的理解,明確各性質(zhì)的主要特征和性質(zhì)之間的相互聯(lián)系,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),對抽象函數(shù)的對稱性和周期性融合理解,同時又會對照區(qū)分,讓教學(xué)達到事半功倍的效果.

5 教學(xué)反思

變易圖式的四種功能: 對照、區(qū)分、類合、融合,可以幫助學(xué)生關(guān)注事物“變”或“不變”的部分,審辨事物的關(guān)鍵特征,讓學(xué)生在復(fù)雜的學(xué)習(xí)環(huán)境中理解這幾個關(guān)鍵特征之間的關(guān)系,以及關(guān)鍵特征與整體之間的關(guān)系. 教師通過圖式,一步步引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識建立知識網(wǎng)絡(luò),形成核心概念圖等方式,顯示出知識結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵特征的變易圖式,引導(dǎo)學(xué)生對教學(xué)過程、呈現(xiàn)過程和思維方式進行反思,提升思維和認知能力,形成自己的學(xué)習(xí)策略. 將變易圖式恰當(dāng)?shù)剡\用于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué),有利于促進學(xué)生的有效學(xué)習(xí)和優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).