用“規(guī)—例”法研究數(shù)學(xué)性質(zhì)

摘? 要：“規(guī)—例”法是為了降低探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)的難度而采用的一種教學(xué)方法. 基本流程是：借助具體事例，給出判斷規(guī)則;對(duì)標(biāo)關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生辨析;立足典型例題，生成規(guī)則理解;參與小結(jié)梳理，領(lǐng)悟研究方法. 核心是體現(xiàn)“情境問題—給出規(guī)則—規(guī)則辨析—規(guī)則應(yīng)用”的學(xué)習(xí)、研究過(guò)程，助力學(xué)生構(gòu)建研究函數(shù)性質(zhì)乃至數(shù)學(xué)性質(zhì)的一種思路和方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：“規(guī)—例”法;單調(diào)性;判斷規(guī)則;數(shù)學(xué)性質(zhì);核心素養(yǎng)

函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容的處理，可以有不同的方法. 在反思“例—規(guī)”法教學(xué)不足的基礎(chǔ)上，遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程課標(biāo)（2017年版）》的教材采用了“規(guī)—例”法. 與“例—規(guī)”法不同，“規(guī)—例”法是先給出數(shù)學(xué)性質(zhì)的判斷規(guī)則，再運(yùn)用具體例子辨析、理解、應(yīng)用規(guī)則. 這并不是簡(jiǎn)單的順序更改，而是為了降低探索發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的難度而采用的一種教學(xué)方法，關(guān)系到數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)方式的改變與重構(gòu)，具有重要的探討意義和價(jià)值.

單調(diào)性是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè)“函數(shù)的基本性質(zhì)”第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容. 函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的主線，函數(shù)的學(xué)習(xí)位于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始階段.

函數(shù)單調(diào)性既是函數(shù)概念學(xué)習(xí)的深入，又是數(shù)學(xué)性質(zhì)學(xué)習(xí)的開端，不但是該單元教學(xué)的重點(diǎn)，還是函數(shù)主線乃至高中數(shù)學(xué)課程的重要節(jié)點(diǎn)，具有奠基性. 那么，如何按照“規(guī)—例”法展開函數(shù)性質(zhì)教學(xué)、構(gòu)建研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的新秩序呢？結(jié)合課題研究，筆者進(jìn)行了以下探討.

一、借助具體事例，給出規(guī)則判斷

變化中的不變性是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì). 與節(jié)引言并列，教材在左框欄目中直接對(duì)“性質(zhì)”進(jìn)行界定，在節(jié)引言中介紹研究函數(shù)性質(zhì)的背景、意義和方法. 然后，借助函數(shù)[fx=x2]的圖象，結(jié)合初中知識(shí)，引出函數(shù)單調(diào)性的概念，進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言刻畫函數(shù)的單調(diào)性. “例—規(guī)”法教學(xué)效果不理想的原因有兩個(gè)：一是單調(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性;二是定量化方法的構(gòu)造性. 學(xué)生在此之前沒有學(xué)過(guò)類似的方法，認(rèn)知準(zhǔn)備不充分. 采用“規(guī)—例”法就是為了規(guī)避“例—規(guī)”法的弊端，需要先突出第一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)：從三種數(shù)學(xué)表達(dá)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換中給出函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則. 為此，教師可以結(jié)合學(xué)情，組織以下認(rèn)知活動(dòng).

（1）學(xué)生閱讀節(jié)引言，了解什么是性質(zhì)，研究函數(shù)性質(zhì)的背景、意義和方法.

（2）教師導(dǎo)讀，簡(jiǎn)述“性質(zhì)”，引出本節(jié)主題，并結(jié)合教材第76頁(yè)的圖3.2-1，讓學(xué)生說(shuō)明它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì).

（3）讓學(xué)生畫出函數(shù)[fx=2，fx=x+1，fx=][-2x+2，fx=x2，fx=1x]的圖象，教師規(guī)劃板書位置，并讓五位學(xué)生代表分別在黑板上作圖展示.

（4）提出問題，讓學(xué)生回顧探索函數(shù)性質(zhì)的方法，并運(yùn)用成語(yǔ)描述這五個(gè)函數(shù)圖象的變化規(guī)律，利用初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減?。┑闹R(shí)，表述變化規(guī)律與函數(shù)的單調(diào)性.

（5）動(dòng)畫呈現(xiàn)，借助函數(shù)[fx=x2]的圖象，進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言刻畫函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)圖象在[y]軸左側(cè)部分從左到右是下降的，即當(dāng)[x<0]時(shí)，[y]隨[x]的增大而減小. 用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，就是任意取[x1，x2∈-∞，0]，得到[fx1=x12，fx2=x22]，那么當(dāng)[x1<x2]時(shí)，有[fx1>][fx2]. 這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)[fx=x2]在區(qū)間[-∞，0]上是單調(diào)遞減的. 讓學(xué)生說(shuō)明函數(shù)[fx=x2]在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)遞增的，函數(shù)[fx=x+1]在區(qū)間[-∞，+∞]上是單調(diào)遞增的，函數(shù)[fx=-2x+2]在區(qū)間[-∞，+∞]上是單調(diào)遞減的. 在此基礎(chǔ)上，總結(jié)出函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，PPT呈現(xiàn)以上全部?jī)?nèi)容，教師板書規(guī)則要點(diǎn)，學(xué)生在教材上標(biāo)注關(guān)鍵詞.

以上認(rèn)知過(guò)程可以概括為三步：一是在閱讀、導(dǎo)讀中，學(xué)生整體感知性質(zhì)的含義、背景、意義和研究方法;二是在畫圖、描述實(shí)踐中，學(xué)生局部認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性;三是在“靜”“動(dòng)”結(jié)合中，借助具體函數(shù)的圖象，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫出函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則. 這些都是圍繞數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的互譯展開的，使學(xué)生有充分的認(rèn)知準(zhǔn)備，體會(huì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的不同表達(dá)方式，并在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的切換過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，使學(xué)生形成對(duì)規(guī)則判斷的積極的認(rèn)知情感、態(tài)度與價(jià)值觀.

二、對(duì)標(biāo)關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生辨析

得出函數(shù)單調(diào)性判斷規(guī)則后，就是規(guī)則辨析，需要突破第一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：判斷規(guī)則本身的抽象性. 為此，教師可以根據(jù)教學(xué)進(jìn)展，對(duì)標(biāo)關(guān)鍵問題、引導(dǎo)學(xué)生開展以下辨析活動(dòng).

1. 關(guān)鍵點(diǎn)板書

①[?x1，x2∈D，x1<x2?fx1<][fx2]，[fx]在區(qū)間[D]上單調(diào)遞增.

②[fx]在定義域[I]上單調(diào)遞增，[fx]是增函數(shù).

③[?x1，x2∈D，x1<x2][?fx1>fx2]，[fx]在區(qū)間[D]上單調(diào)遞減.

④[fx]在定義域上單調(diào)遞減，[fx]是減函數(shù).

⑤[fx]在區(qū)間[D]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，[fx]在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間[D]是[fx]的單調(diào)區(qū)間.

2. 學(xué)生辨析

下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)[y=fx]，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上它是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.

3. 對(duì)照標(biāo)注“關(guān)鍵點(diǎn)”提出問題

若[f-1<f2]，是否可以得出函數(shù)[fx]在區(qū)間[-2，3]上是單調(diào)遞增的？是否可說(shuō)函數(shù)[fx]在區(qū)間[-2，1?3，5]上單調(diào)遞增？函數(shù)[fx]在區(qū)間[-5，5]上是增函數(shù)或減函數(shù)？

4. 對(duì)照標(biāo)注“規(guī)則要素”提出問題

函數(shù)[fx=1x]的單調(diào)遞減區(qū)間如何表示？函數(shù)[fx=1x]是否是減函數(shù)？能說(shuō)函數(shù)[fx=-2x+2]是減函數(shù)嗎？函數(shù)單調(diào)遞增（減）與函數(shù)是增（減）函數(shù)的區(qū)別是什么？

上述辨析過(guò)程，一是提取判斷規(guī)則中的關(guān)鍵詞、要素，建構(gòu)符號(hào)語(yǔ)言的意義. 二是回到函數(shù)圖象中，建構(gòu)判斷規(guī)則的自我認(rèn)識(shí). 三是對(duì)照關(guān)鍵點(diǎn)，以問題為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生在從特殊到一般的思辨中認(rèn)識(shí)到單調(diào)性刻畫變化規(guī)律，與某一點(diǎn)的函數(shù)值無(wú)關(guān). 當(dāng)端點(diǎn)處有定義時(shí)，單調(diào)區(qū)間可包括或不包括端點(diǎn);具有兩個(gè)（以上）單調(diào)遞增（減）區(qū)間，可用“，”“和”隔開，不能用“[?]”“或”聯(lián)結(jié);函數(shù)單調(diào)遞增（減）是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，單調(diào)區(qū)間與單調(diào)遞增（減）緊密相連，是局部概念;而增（減）函數(shù)是在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增（減），是特殊情形、整體概念. 四是對(duì)照標(biāo)注“點(diǎn)”，從其他角度聯(lián)結(jié)判斷規(guī)則中的要素關(guān)系，回到之前列舉的特殊函數(shù)中去，解構(gòu)、理解判斷規(guī)則，以及相匹配的符號(hào)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)表達(dá). 這些構(gòu)成“一般—特殊—一般”的思維回路，使學(xué)生在規(guī)則辨析的過(guò)程中理解函數(shù)的單調(diào)性，突破難點(diǎn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

三、立足典型例題，生成規(guī)則理解

規(guī)則辨析后是規(guī)則應(yīng)用，需要突破第二個(gè)教學(xué)難點(diǎn)：定量化方法的構(gòu)造性. 為此，教師可以根據(jù)教學(xué)進(jìn)程，立足典型例題，生成規(guī)則理解，展開下列變式探究活動(dòng).

1. 例題探究

例? 根據(jù)定義證明：函數(shù)[fx=3x+2]在區(qū)間[-∞，+∞]上單調(diào)遞增.

審題后，由學(xué)生提供定義法證明思路，結(jié)合證明函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則要點(diǎn)，教師示范、板書證明過(guò)程，由學(xué)生歸納證明步驟，教師提煉、標(biāo)注證明過(guò)程的關(guān)鍵步驟：取值，作差，變形，定號(hào)，結(jié)論.

2. 變式訓(xùn)練

變式1：根據(jù)定義證明：函數(shù)[y=x+1x]在區(qū)間[1，+∞]上單調(diào)遞增.（教材第79頁(yè)例3.）

學(xué)生獨(dú)立思考、自主證明，與教師一起改正并點(diǎn)評(píng)學(xué)生代表的證明過(guò)程.

創(chuàng)設(shè)問題情境：為什么作差？變形的目標(biāo)是什么？變式1與例題之間有什么關(guān)聯(lián)？

回答這些問題，可以使學(xué)生明白：作差的目的是由[x1，x2]的大小關(guān)系確定[fx1]與[fx2]的大小關(guān)系，是定量分析的一種構(gòu)造方法，其依據(jù)是預(yù)備知識(shí)中關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的法則;變形的目標(biāo)是確定[fx1]與[fx2]差值的符號(hào)，運(yùn)算方法為分解因式或配方法，其依據(jù)是實(shí)數(shù)乘除的運(yùn)算法則. 定義法證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟環(huán)環(huán)相扣，構(gòu)成邏輯推理鏈;由整式向分式拓展可得變式1，改變的不僅是變形方法，還有相應(yīng)的表述，例題還可以表述為“證明函數(shù)[fx=][3x+2]是增函數(shù)”，而變式1卻不能進(jìn)行相應(yīng)表述.

變式2：根據(jù)定義，研究函數(shù)[fx=kx+b k≠0]的單調(diào)性.（教材第78頁(yè)例1.）

變式3：物理學(xué)中的玻意耳定律[p=kV]（[k]為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積[V]減小時(shí)，壓強(qiáng)[p]將增大. 試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明.（教材第78頁(yè)例2.）

3. 學(xué)生獨(dú)立思考，自主解答和證明

學(xué)生閱讀教材，自我矯正后，設(shè)置問題情境：三個(gè)變式與例題的相同點(diǎn)是什么？不同點(diǎn)是什么？變式2、變式3與例題之間有什么關(guān)聯(lián)？通過(guò)個(gè)性化練習(xí)，讓學(xué)生再次用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，積累經(jīng)驗(yàn). 通過(guò)類比、思辨，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，自主進(jìn)入“情境與問題”. 解答這些問題，可以使學(xué)生明白：用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，不在于所使用的字母，而在于其所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，捋清問題中的自變量、函數(shù)、定義域，以及所考察的單調(diào)區(qū)間及五個(gè)步驟之間的邏輯關(guān)系. 變式2是例題的一般化，變式3與變式1關(guān)聯(lián)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題. 數(shù)學(xué)問題變式包括從特殊到一般、從一般到特殊、類比推廣等，而數(shù)學(xué)應(yīng)用主要是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)外的問題，包括物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中的問題.

上述應(yīng)用過(guò)程，一是教師剖例、示范，緊扣定義，構(gòu)造判斷函數(shù)單調(diào)性的定量化規(guī)則，形成判斷步驟;二是學(xué)生模仿、演練，回到規(guī)則中去，認(rèn)識(shí)、理解規(guī)則定量化的構(gòu)造性特征及其邏輯關(guān)系;三是問題變式與訓(xùn)練，學(xué)生帶著學(xué)習(xí)體驗(yàn)再出發(fā)、再實(shí)踐，在與教材、自己、同學(xué)、教師的對(duì)話中，形成對(duì)規(guī)則的理解.

從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從數(shù)學(xué)問題到實(shí)際問題，構(gòu)建規(guī)則的多種表示與多向應(yīng)用，助力學(xué)生在規(guī)則使用過(guò)程中把握其定量化的構(gòu)造特性，突破難點(diǎn)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

四、參與小結(jié)梳理，領(lǐng)悟研究方法

在課堂的最后，教師將課堂內(nèi)容上升至學(xué)科思想的高度，突出第三個(gè)教學(xué)重點(diǎn)：構(gòu)建研究函數(shù)性質(zhì)乃至數(shù)學(xué)性質(zhì)的一種行之有效的方法. 為此，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生參與課堂小結(jié)，進(jìn)行整合提升.

1. 學(xué)生小結(jié)

可以使學(xué)生明晰：判斷函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則，函數(shù)單調(diào)遞增（減）是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，增（減）函數(shù)是對(duì)整個(gè)定義域而言的;與判斷規(guī)則匹配的符號(hào)語(yǔ)言、規(guī)范表述;定量化判斷函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟及其邏輯關(guān)系.

2. 變更問題情境

讓學(xué)生瀏覽教材第76 ～ 79頁(yè)的內(nèi)容，回顧課堂學(xué)習(xí)、探索歷程，可以引起學(xué)生對(duì)教材編寫特點(diǎn)、設(shè)計(jì)意圖等方面的關(guān)注，形成自己的觀點(diǎn)和學(xué)習(xí)體會(huì).

3. 整合提升

在課堂呈現(xiàn)知識(shí)、規(guī)則的基礎(chǔ)上，回應(yīng)關(guān)切，突出研究函數(shù)性質(zhì)的這種思路和方法：情境問題—給出規(guī)則—規(guī)則辨析—規(guī)則應(yīng)用. 結(jié)合教材和課堂資源，提取數(shù)據(jù)中新的信息價(jià)值，解讀研究函數(shù)性質(zhì)各個(gè)環(huán)節(jié)的要素，使學(xué)生感受教材編寫的特點(diǎn)，重視數(shù)學(xué)閱讀、理解設(shè)計(jì)意圖、重視數(shù)學(xué)思維;在理解函數(shù)單調(diào)性判斷規(guī)則的同時(shí)，領(lǐng)悟規(guī)則研究本身，構(gòu)建“規(guī)—例”法研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的新秩序.

在上述梳理過(guò)程中有以下注意要點(diǎn)：一是學(xué)生小結(jié)不設(shè)限制，學(xué)生可以對(duì)其他學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明;二是更新問題情境，針對(duì)“暗線”問題，引導(dǎo)學(xué)生梳理、提取數(shù)據(jù)中的有用信息，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題;三是整合提升，學(xué)生說(shuō)到位的教師不重復(fù)，化“暗”為“明”，在肯定學(xué)生表現(xiàn)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生建立該節(jié)課的思維導(dǎo)圖，體現(xiàn)研究函數(shù)性質(zhì)的思路，將課程內(nèi)容提升到研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的高度. 這樣，可以將歸納總結(jié)的任務(wù)交還給學(xué)生，讓學(xué)生自主梳理課程知識(shí)，重視閱讀教材和學(xué)習(xí)小結(jié)，更好地發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用，重視利用學(xué)習(xí)資源和拓展性研究，將數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到課堂，將課堂探究延伸到課外.

“規(guī)—例”法降低了探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)的難度. 基本流程是：借助具體事例，給出規(guī)則判斷;對(duì)標(biāo)關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生辨析;立足典型例題，生成規(guī)則理解;參與小結(jié)梳理，領(lǐng)悟研究方法. 基本點(diǎn)是夯實(shí)預(yù)備知識(shí)，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯中給出判斷規(guī)則;抓住關(guān)鍵點(diǎn)，理解規(guī)則，在規(guī)則辨析中建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與表述規(guī)范;立足典型例題，展開問題變式，在應(yīng)用規(guī)則解決數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中，生成規(guī)則理解，構(gòu)建規(guī)則應(yīng)用模型;充分利用教學(xué)資源、釋放數(shù)據(jù)能量，在小結(jié)梳理中，提升數(shù)學(xué)思想、領(lǐng)悟研究方法. 核心是將單調(diào)性教學(xué)納入單元、主線教學(xué)的范疇，回應(yīng)教材關(guān)切，建立“規(guī)—例”法教學(xué)新秩序，體現(xiàn)“情境問題—給出規(guī)則—規(guī)則辨析—規(guī)則應(yīng)用”的學(xué)習(xí)、研究過(guò)程，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，助力學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性判斷規(guī)則及其相關(guān)概念、符號(hào)、表達(dá)，構(gòu)建研究函數(shù)性質(zhì)乃至數(shù)學(xué)性質(zhì)的一種思路和方法. 在閱讀、觀察、思辨、演練、展示、小結(jié)等思維活動(dòng)中，逐步形成正確的價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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收稿日期：2021-07-01

作者簡(jiǎn)介：陽(yáng)志長(zhǎng)（1961— ），男，正高級(jí)中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)與教學(xué)研究.