添圓搭梯解難題

傅華英，何訓(xùn)光

摘? 要：輔助線的添加方法有很多種，而通過添加圓作為輔助線的方法解題是一種新的嘗試. 文章介紹的各種添加圓作為輔助線的類型，拓展了輔助線的作法種類，探索出了構(gòu)建圖形的新方法，優(yōu)化了解題過程，豐富了解題策略和解題方法.

關(guān)鍵詞：輔助圓搭梯;畫圖策略;優(yōu)化過程;解答難題

圓中的很多性質(zhì)是其他圖形沒有的. 例如，在同圓或等圓中，圓周上所有點到圓心的距離都相等;直徑所對的圓周角是直角;直徑是圓中最長的弦等. 利用圓的這些特殊性質(zhì)解答一些難題往往能化繁為簡、化難為易，進而達到事半功倍的良好效果.

現(xiàn)在利用添加圓作為輔助線（以下統(tǒng)稱“輔助圓”）的方法解答中考試題，特別是中考壓軸題的情況越來越多，是全國各地區(qū)中考命題的一個新方向. 但這一方法卻難以在各類專業(yè)書籍或雜志中看到，下面筆者利用添加輔助圓來給難題搭梯的方法解答幾道難題，以實例來說明輔助圓的添法類型、具體作法，以及在解題中的應(yīng)用技巧和發(fā)揮的作用，希望能夠幫助師生掌握利用添加輔助圓解題的方法，形成一種基本的、新型的數(shù)學(xué)思想方法和解題經(jīng)驗.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系. 而且，課程總目標(biāo)把基本活動經(jīng)驗作為了數(shù)學(xué)課程的四大基礎(chǔ)能力，即提出了“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”. 這就告訴我們，解題雖然不能生搬模式和硬記套路，但必要的經(jīng)驗必須要積累. 積累經(jīng)驗的過程就是積累知識和思想方法的過程，也是掌握方法技巧、形成綜合能力的過程，經(jīng)驗多了不僅可以提升解決問題的能力，還可以提高動手實踐能力和創(chuàng)新能力.

利用輔助圓可以解答的問題類型很豐富、范圍很廣泛. 下面筆者僅以三種常用類型為例說明輔助圓的作法和解題策略，以期幫助讀者形成必要的基本解題經(jīng)驗和解決問題的能力，進而達到舉一反三、觸類旁通的目的.

一、作輔助圓解答有關(guān)定角或三角形問題

同弧或等弧所對的圓周角相等. 這是圓的一條重要性質(zhì). 也就是說，同一條弧或相等的弧所對的圓周角都是同一個值，即為定角. 利用這一性質(zhì)解答有關(guān)“定角”的數(shù)學(xué)問題是非常方便的. 請讀者先看下面的例題，并通過例題中輔助圓的作法和過程分析來體會題目的特點和輔助圓的作法.

例1? 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知[A0，2，] 動點P在[y=33x]的圖象上運動（不與點O重合），連接AP，過點P作[PQ⊥AP，] 交x軸于點Q，連接AQ.

（1）求線段AP長度的取值范圍.

（2）試問：在點P運動的過程中，[∠QAP]是否為定值？如果是，求出該值;如果不是，試說明理由.

（3）當(dāng)△OPQ為等腰三角形時，求點Q的坐標(biāo).

此題為2019年中考四川攀枝花卷的幾何壓軸題，題型新穎，由動點P在[y=33x]的圖象上運動，可求得直線OP與x軸的夾角[∠POQ]為30°. 對于第（1）小題，如圖2，過點A作[AH⊥OP]于點H，則[AP≥AH，] 再由銳角三角函數(shù)可求得[AH=3，] 進而得到線段AP長度的取值范圍為[AP≥3.]

對于第（2）小題，要求證的是[∠QAP]是否為定值. 首先想到的這是一個定角問題，因為圓上同一條弧或同一條弦（弦的同一側(cè)）所對的圓周角相等，進而想到把定角問題轉(zhuǎn)化到圓中來求解，因而就需要先作一個輔助圓，問題中涉及了Q，A，P三個字母，所以就先過Q，A，P三點作一個圓，再證明點O在該圓上，最后應(yīng)用圓的性質(zhì)就能快速解答.

因為點P是運動變化的，在不同的位置可能會出現(xiàn)不同的情況. 因此，可以按點P在直線OP（點P不與點O重合）上的不同位置分情況作出輔助圓進行解答.

當(dāng)點P在線段OH的延長線上時，如圖3，可得[∠PAQ=∠POQ=30°;] 當(dāng)點P在線段OH上時，如圖4，可得[∠POQ=150°，] 由此得到[∠PAQ=180°-∠POQ=][30°;] 當(dāng)點P在線段HO的延長線上時，如圖5，可得[∠PAQ=∠POQ=30°.]

對于第（3）小題，由等腰三角形的定義和方程思想，再利用通性、通法即可解答，在此不再贅述.

由以上分析可以看出，將定角與圓聯(lián)系起來是解答此類問題一種較為理想的方法，因為添加了輔助圓，思考問題就有了方向，進而就能順利求解. 請讀者再欣賞一道更為特殊的定角問題，即定角為直角的問題，而定角為直角的試題在中考中出現(xiàn)的概率更大，相關(guān)試題更多，涉及范圍更廣泛.

例2? 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，[?OABC]的頂點A的坐標(biāo)為[3，0]，B，C在第一象限，且點C在直線[y=2x]上，過點B的雙曲線[y=kx]交OC的延長線于點E，[OC=CE.] 拋物線[y=ax-m2+n]經(jīng)過點A和點[D0，4]，點E在此拋物線的對稱軸上.

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）若點M為拋物線上一動點，且位于直線AD的下方，求[△ADM]面積的最大值;

（3）將直線OC沿y軸正方向平移h個單位長度，得到直線[y=2x+h，] 點P為直線[y=2x+h]上一動點，點P在運動的過程中能使[△APD]成為直角三角形的位置恰好有兩個，求h的值.

此題是一道綜合性很強的難題，用常規(guī)方法解答難度較大. 因為此題難度主要體現(xiàn)在第（3）小題上，本文只針對第（3）小題進行分析.

第（1）小題的答案為：[y=8x];第（2）小題的答案為：當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為[32]時，[△ADM]面積的最大值為[92.]

對于第（3）小題，因為題目要求的是“使△APD成為直角三角形的位置恰好有兩個時，求h的值”，題目中有直角或直角三角形，就能夠聯(lián)想到直徑，因為“直徑所對的圓周角是直角”，而直角恰恰是特殊的定角，定角問題或三角形問題，可以采取添加輔助圓的方法來進行解答.

欲使△APD成為直角三角形，則AD可能是該直角三角形的斜邊，也可能是該直角三角形的直角邊. 若AD是該直角三角形斜邊，那么點P就在以AD為直徑的圓（點A，D除外）上，若AD是直角邊，那么點P就在經(jīng)過點A或點D且以AD為直徑的圓的切線上. 所以，解答此題的關(guān)鍵就是作好輔助圓.

如圖7，以AD為直徑作⊙N，再過A，D兩點分別作AD的垂線[l1]和[l2]，則兩條直線恰好是⊙N的切線. 下面再根據(jù)CE與⊙N不同的位置關(guān)系進行分情況討論.

① 當(dāng)[0<h<4]時，即直線CE在線段OD（不含點O和點D）上平移到圖7中[C1E1]的位置時，直線[y=2x+h]與[⊙N]有兩個交點，與直線[l1]和[l2]各有一個交點，這4個點都可以分別與點A，D各構(gòu)成一個直角三角形，即共有4個直角三角形，不符合題意.

② 當(dāng)[h=4]時，直線CE經(jīng)過點D，即直線平移到圖7中[C2E2]的位置時，直線[y=2x+h]與⊙N有兩個交點，其中一個為點D，與直線[l1]有一個交點，這3個點中除點D外的兩個點都可以分別與點A，D各構(gòu)成一個直角三角形，即共有2個直角三角形，符合題意.

③ 當(dāng)直線[y=2x+h]與⊙N相切時，即直線CE平移到圖7中[C3E3]的位置時，設(shè)切點為點G，直線[y=2x+h]與[l1]和[l2]各有一個交點，這兩個交點和點G都能與點A，D各構(gòu)成一個直角三角形，即共有3個直角三角形，不符合題意. 由此還可求得此時[h=55-22.]

④ 當(dāng)直線[y=2x+h]與⊙N相離時，即直線CE平移到圖7中[C4E4]的位置時，直線[y=2x+h]與[l1]和[l2]各有一個交點，這兩個交點分別與點A，D各構(gòu)成一個直角三角形，即共有2個直角三角形. 符合題意，此時[h>55-22.]

綜合以上4種情況，得當(dāng)[h=4]或[h>55-22]時，點P在運動的過程中能使△APD成為直角三角形的位置恰好有兩個.

由以上兩道例題可知，定角問題其實就是有一個角是定角的三角形問題，這類問題的輔助圓一般是作這個三角形的外接圓. 因此，遇到有關(guān)三角形問題的難題時，可以考慮添加輔助圓，即通過作這個三角形外接圓的方法來嘗試解題.

二、作輔助圓解答有關(guān)定線段或定長問題

到定點的距離等于定長的點都在同一圓上. 依據(jù)這一性質(zhì)對涉及定線段或定長問題的題目可以采取添加輔助圓的方法來求解.

例3? 如圖8，[△ABC]中，[CA=CB，∠ACB=α，] D為[△ABC]內(nèi)一點，將[△CAD]繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角[α]得到[△CBE，] 點A，D的對應(yīng)點分別為點B，E，且A，D，E三點在同一直線上.

（1）填空：[∠CDE]的值為? ? ? （用含[α]的代數(shù)式表示）;

（2）如圖9，若[α=60°，] 試補全圖形，再過點C作[CF⊥AE]于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（3）若[α=90°，AC=52，] 且點G滿足[∠AGB=90°，][BG=6，] 直接寫出點C到AG的距離.

此題為2019年中考湖北十堰卷的幾何壓軸題，第（1）小題較簡單，略去解答和分析過程. 第（2）小題是求解第（3）小題的基礎(chǔ)，這種類型的設(shè)問多應(yīng)用于各類考試題中. 第（3）小題難度較大，下面僅對第（3）小題作出分析.

第（3）小題要求的是點C到AG的距離，而題目中并沒有說明點G的具體位置，也沒有在圖上標(biāo)注出來. 因此，先要確定好點G的位置，即先要找出點G，這樣才能解有思路、求有方向. 所以，如何畫圖成了解答此題的難點，也就是解答此題的第一考慮要素.

如何才能確定點G的位置？由AC的長為[52]，可求得AB的長為10. 因為[∠AGB=90°]是一個定值，由此就能聯(lián)想到點G在以AB為直徑的圓上（點G不與點A，B重合）. 所以，先畫一個以定線段AB為直徑的圓，根據(jù)線段BG的長為6（定長），再以點B為圓心、6為半徑作⊙B，如圖10，這樣兩個圓的兩個交點G和[G1]就是題中要求的點G的位置.

結(jié)合所作的兩個輔助圓，如圖10，連接AG，[AG1，] CG，[CG1，] 過點C作[CH⊥AG]于點H，作[CH1⊥AG1]于點[H1，] 運用勾股定理與方程思想就能求解. 此解法是較為簡單的，而利用到定點的距離等于定長添加輔助圓是此解法的關(guān)鍵. 有了上面所作的輔助線，就容易求出線段CH和[CH1]的長，結(jié)果為：點[C]到[AG]的距離為1或7.

例4 （1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖11，在[△OAB]和[△OCD]中，[OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，] 連接AC，BD交于點M. 填空：①[ACBD]的值為? ? ? ;②[∠AMB]的度數(shù)為? ? ? ;

（2）類比探究：如圖12，在[△OAB]和[△OCD]中，[∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，]連接AC交BD的延長線于點M. 試判斷[ACBD]的值及[∠AMB]的度數(shù)，并說明理由;

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將[△OCD]繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M，若[OD=1，][OB=7，] 試直接寫出當(dāng)點C與點M重合時AC的長.

此題為2018年中考河南卷的幾何壓軸題，第（1）小題和第（2）小題較簡單，分析與解答略，但由這兩道小題的結(jié)論和（2）的條件可得[∠AMB=∠AOB=90°.] 此題要求的是AC的長，而點C是不確定的，因而找出點C就是解答此題的關(guān)鍵. 因為[Rt△AOB]是確定的，所以以定長AB為直徑的圓就是確定的，這個圓也是[Rt△AOB]的外接圓，進而可知點M就是該外接圓上的點. 因為點O和OC的長是確定的，所以點C在以點O為圓心、OC長為半徑的圓上. 又因為要求的是點C與點M重合時AC的長. 從而得到點C（或點M）就是所作的兩個圓的交點. 為了方便讀者看清楚輔助圓的作法，現(xiàn)將兩種情況的圖形分別畫成如圖13和圖14所示. 由此可以求得AC的長為[23]或[33.]

由以上兩道例題可以得到這樣的解題經(jīng)驗：定線段問題往往可以以該線段為直徑作輔助圓，定長問題大多是以該長度為半徑、以兩點中的那個定點為圓心作輔助圓.

上面的四道例題分別分析了定角與定長問題，其實，很多中考壓軸題往往是兩者的綜合，如例2和例3，定線段往往是定角所對的邊，無論從哪個角度出發(fā)，其所作的輔助圓都是一致的，只是作輔助圓的方法不同，我們要學(xué)會選擇輔助圓的作法，作法的主要依據(jù)是要有利于后面的證明和求解.

三、作輔助圓解答有關(guān)取值范圍或最值問題

直徑是圓中最長的弦;圓外一定點到圓上所有點的距離中，定點與圓心間的距離加半徑（減半徑）為最大值（最小值）等. 利用圓的這些特性可以幫助我們解答一些求取值范圍和最值的問題.

例5? 如圖15，已知等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長度為[122]cm，M，N分別是線段AB，AC上的兩個動點，連接MN，設(shè)MN的中點為O，以O(shè)為頂點，作[Rt△EOF，]且使[OE=12MN，] 兩直角邊分別交BC于點E，F(xiàn).

（1）當(dāng)[OE=OF]時，在點M，N的運動過程中，求[∠EAF]的度數(shù);

（2）在點M，N的運動過程中，當(dāng)線段[MN=42]cm時，是否存在一點M，使得[△AMN]的面積最大？若存在，求出此時線段BM的長;若不存在，試說明理由.

此題第（2）小題的難度較大，多數(shù)學(xué)生沒有思路. 由圖15可以看出，[∠EOF]在[∠EAF]的內(nèi)部，而[∠EOF]為已知角，且為90°，有定角的條件可以作輔助圓來進行解答，再利用圓心角和圓周角的關(guān)系，就容易求出[∠EAF]為45°.

這里要說明的是，此題可以以[Rt△AMN]或[Rt△OEF]來作輔助圓，還可以以A，E，F(xiàn)三點作輔助圓. 總之，一道題也許有很多種作輔助圓的方法，但是無論如何作輔助圓，都必須說清作輔助圓的理由，否則就是無中生有的隨意作輔助圓，而隨意添加輔助圓的方法不利于后面的解答或證明. 例如，如圖16，連接OA. 過A，M，N三點作圓，因為[∠BAC=90°]，O為MN的中點，則有[OA=OM=ON=][12MN，] 又因為[OE=][12MN]，[OE=][OF]，則有[OE=OA=][OF，] 即點E和點F都在經(jīng)過A，M，N三點確定圓上. 這里是過A，M，N三點作的輔助圓，但后面的解答中用到了點E和點F，所以還必須證明這兩點在同一圓上.

對于第（2）小題，因為MN的長為定值[42]cm，[∠MAN=90°]也是定值. 所以，無論點M和點N在規(guī)定的范圍內(nèi)如何運動，[Rt△MAN]斜邊MN的長都是定值. 由此可以聯(lián)想到由A，M，N三點確定的圓的直徑是定值，并且經(jīng)過定點A. 這樣就將原來的直角三角形問題轉(zhuǎn)化為圓的問題. 如圖17，過A，M，N三點作圓，則MN的中點O為該圓的圓心. 因此，無論M，N兩點如何運動，但該圓的半徑都是定值，即點A到MN的距離的最大值為該圓的半徑. 理由如下.

如圖17，過點A作[AH⊥MN]于點H，則有[S△AMN=][12 · MN · AH=][22AH.] 因為點A是定點，所以當(dāng)點M和點N移動到[AM=AN]時，即當(dāng)點H與MN的中點O點重合時，也就是當(dāng)點M和點N移動至圖17中[MN]的位置時，[AH=AO]，[AH]取得最大值. 因為[AO=22.] 所以[AH=][AO=][22]. 所以[AM=2AO=4.] 易求得[AB=][12，] 所以[BM=AB-AM=8]，即BM的最大值為8 cm.

例5利用圓的直徑（或半徑）是圓中線段的最大值的特性，求出了BM的最大值，可見利用輔助圓解答一些有關(guān)最值問題的難題能起到化難為易、化繁為簡的良好效果.

例6? 如圖18，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°，AC=3，][BC=4.] 求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E，F(xiàn)在邊AB上，點G在邊BC上.

[小明的作法

1. 如圖19，在邊AC上取一點D，過點D作[DG∥AB]交BC于點G.

2. 以點D為圓心、DG長為半徑畫弧，交AB于點E.

3. 在EB上截取[EF=ED，] 連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形. ]

（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形.

（2）小明進一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化……試?yán)^續(xù)探索，直接寫出菱形的個數(shù)及對應(yīng)的CD的長的取值范圍.

此題為2019年中考江蘇南京卷的幾何壓軸題，試題不難，但卻是一種新題型，因而能做對的學(xué)生不多. 學(xué)生做錯的原因主要是缺乏創(chuàng)新能力，或者說缺少作輔助圓的經(jīng)驗.

因為四邊形DEFG能否構(gòu)成菱形，其關(guān)鍵在于線段DG的長，其他線段的長都是以DG的長來確定，即DG的長一確定，其他三邊的長也就確定了. 因此，就容易想到點G和點E都在以點D為圓心、DG長為半徑的圓上，所以作輔助線圓就是解答此題的一個關(guān)鍵.

此題還是一類求解范圍的綜合題，求解范圍類型題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊點的位置，雖然屬于中考?？碱}型，但試題都有一定難度.

求范圍的關(guān)鍵是要能先畫出特殊情況的圖形，即要求出這些點的最小值、最大值和特殊值. 此題中，DG或DE的最小值是DEFG能夠組成的正方形，特殊值是當(dāng)點E在點A時，或點F在點B時的情況. 所以，先要求出這三種情況下CD的值.

以點D為圓心、DG長為半徑作[⊙O]，交邊AB于點E，再在AB上截取[EF=DF，] 連接GF.

如圖20，當(dāng)四邊形DEFG是正方形時，設(shè)正方形的邊長為x. 可求得[CD=35x]和[AD=54x]，再依據(jù)[AD+][CD=AC，] 即[35x+54x=3.] 從而求得CD的值為[3637.]

如圖21，當(dāng)四邊形DAEG是菱形時，設(shè)菱形的邊長為x. 可求得[CD=3-x.] 再依據(jù)[CDCA=DGAB，] 即 [3-x3=][x5.] 從而求得CD的值為[98.]

如圖22，當(dāng)四邊形DEBG是菱形時，設(shè)菱形的邊長為x. 可求得[CG=4-x，CD=34CG.] 再依據(jù)[CGCB=DGAB，] 即[4-x4=][x5.] 從而求得CD的值為[43.]

綜上所述，當(dāng)[0≤CD<3637]或[43<CD≤3]時，菱形的個數(shù)為0;當(dāng)[CD=3637]或[98<CD≤43]時，菱形的個數(shù)為1;當(dāng)[3637<CD≤98]時，菱形的個數(shù)為2.

例6的分析過程進一步說明求字母或代數(shù)式的取值范圍問題的實質(zhì)就是求圖形變化過程中的特殊（包括最值）情況下的值的問題，即只要找到了各種特殊（包括取最值的）情況，并求出這些情況下的具體值，就可以成功解決求取值范圍問題. 而添圓搭梯無疑是一種理想的選擇，也是師生應(yīng)該積累的基本解題經(jīng)驗.

通過添圓搭梯，解決了一些師生普遍反映的難題. 歸納以上各種情況，可以得到添圓搭梯的題型特點和解題經(jīng)驗：一是從題目條件出發(fā)，對于題目中有關(guān)定線段問題、定角問題、不共線三點或三角形問題、四邊形或多邊形問題，分別可以以線段為直徑作輔助圓，可以作已知三角形的外接圓，還可以以四邊形或多邊形中的三點先作一個輔助圓，再證明其他各點在所作的圓周上，將相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，并利用圓的一些特殊性質(zhì)來解答;二是從題目要解答的問題或結(jié)論出發(fā)，輔助圓對解答動態(tài)問題、存在性問題或求取值范圍等問題有著非常有效的作用，可以幫助讀者解答一些難以解答的問題. 因此，在今后的教學(xué)或?qū)W(xué)生的指導(dǎo)過程中，遇到一時無法解答的、或不能用常規(guī)輔助線解決的問題時，可以嘗試作輔助圓來解答，可能會有新的發(fā)現(xiàn). 添圓搭梯解難題，我們應(yīng)該仔細(xì)體會題型特點，掌握畫圖方法和解題要點，不斷積累解題經(jīng)驗，進而達到拓展解題思維、創(chuàng)新解題方法的目的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]何訓(xùn)光. 深入研究? 簡單教學(xué)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（11）：41-44.

[4]林崇德. 21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[5]何訓(xùn)光，向雋. 真是圖象惹的禍？[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中）2015（11）：25-26.

[6]尤桂林，傅華英. 先畫圖? 再說理[J]. 數(shù)理天地（初中版）2019（7）：16-17.

[7]何訓(xùn)光. 注意基本概念的運用[J]. 數(shù)理天地（初中版），2016（1）：15，17.