追本溯源悟思想 換位構(gòu)形解最值

白紹強(qiáng)，劉金英

摘? 要：幾何最值問題涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，是中考熱點(diǎn)問題. 因需要畫出最短路徑，也成為教學(xué)難點(diǎn)問題. 結(jié)合2021年天津市中考試題，探尋思考問題的起點(diǎn)，因思維展開的方向、路徑不同，采取變換策略，構(gòu)建不同的幾何基本圖形解決問題，總結(jié)問題解決的指導(dǎo)思想、解題思路和基本經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)幾何直觀的作用，并指出了教學(xué)實(shí)踐中解決此問題行之有效的方法，供大家參考.

關(guān)鍵詞：感悟思想;幾何變換;構(gòu)建圖形;幾何直觀

幾何最值問題是中考熱點(diǎn)問題，經(jīng)常出現(xiàn)在各地區(qū)中考試題的關(guān)鍵位置、壓軸題位置. 此類試題不同于給定已知條件、給出圖形題目的解決. 學(xué)生雖然可以想到涉及最短路徑的有關(guān)知識(shí)，如“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”等，但是利用幾何變換把面臨的新情境、新問題轉(zhuǎn)化為基本的最短路徑問題的方法和能力還不盡如人意. 有時(shí)題目即使給出了示意圖，圖中的點(diǎn)或線段也不是取得幾何最值時(shí)的相應(yīng)位置，還需要學(xué)生自己畫圖，找出最短路徑，然后再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算與證明. 加之此類問題形式多樣，涉及知識(shí)面廣、難度較大，學(xué)生常常感到無從下手，找不到問題求解的切入點(diǎn)和突破口，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn). 本文結(jié)合2021年天津市中考數(shù)學(xué)第25題第（3）小題的解析，展示思考過程，揭示解法的由來和依據(jù)，總結(jié)問題的解決策略，供大家參考.

一、呈現(xiàn)試題及一般求解過程

1. 試題呈現(xiàn)

題目? 已知拋物線[y=ax2-2ax+c]（[a，c]為常數(shù)，[a≠0]）經(jīng)過點(diǎn)[C0，-1，] 頂點(diǎn)為[D.]

（1）當(dāng)[a=1]時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）當(dāng)[a>0]時(shí)，點(diǎn)[E0，1+a，] 若[DE=22DC，]求該拋物線的解析式;

（3）當(dāng)[a<-1]時(shí)，點(diǎn)[F0，1-a，] 過點(diǎn)[C]作直線[l]平行于[x]軸，[Mm，0]是[x]軸上的動(dòng)點(diǎn)，[Nm+3，-1]是直線[l]上的動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)[a]為何值時(shí)，[FM+DN]的最小值為[210，] 并求此時(shí)點(diǎn)[M，N]的坐標(biāo).

2. 試題原解

對(duì)于此題的第（3）小題，參考答案給出的解法如下.

解法1：由題意，可求得[c=-1，] 則進(jìn)一步求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為[D1，-a-1.]

如圖1，將點(diǎn)[D1，-a-1]向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)[D-2，-a.]

作點(diǎn)[F]關(guān)于[x]軸的對(duì)稱點(diǎn)[F，]

則點(diǎn)[F]的坐標(biāo)為[0，a-1.]

當(dāng)滿足條件的點(diǎn)[M]落在線段[FD]上時(shí)，[FM+DN]最小，此時(shí)[FM+DN=FD=210.]

過點(diǎn)[D]作[DH⊥y]軸于點(diǎn)[H.]

在[Rt△FDH]中，[DH=2，F(xiàn)H=1-2a，]

所以[FD2=FH2+DH2=1-2a2+4.]

因?yàn)閇FD2=40，]

所以[1-2a2+4=40.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

所以點(diǎn)[F]的坐標(biāo)為[0，-72，] 點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[-2， 52.]

可得直線[FD]的解析式為[y=-3x-72.]

當(dāng)[y=0]時(shí)，解得[x=-76.]

所以[m=-76，m+3=116.]

所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-76，0，] 點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[116，-1.]

二、追本溯源，探尋思考問題的起點(diǎn)

此題源于“造橋選址”問題. 如圖2，[A]和[B]兩地在一條河的兩岸（直線a和直線b），現(xiàn)要在河上造一座橋[MN，] 橋造在何處可使得從[A]到[B]的路徑[AMNB]最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

如圖3，設(shè)O為直線a上任意一點(diǎn)，連接AO，將線段AO沿著與直線a垂直的方向平移交直線b于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)[A]移動(dòng)到點(diǎn)[A，] 連接[AB，] 設(shè)其與直線[b]的交點(diǎn)為點(diǎn)[N，] 過點(diǎn)N作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)M，則線段MN即為所求. 此時(shí)[AMNB]為最短路徑，其路程等于[AM+MN+NB=AB+MN.]

此問題是利用平移的性質(zhì)求三條線段和的最小值. 由于河寬[MN]是固定的，因此當(dāng)[AM+NB]的和最小時(shí)，[AM+MN+NB]的和也就最小. 通過平移變換，將[AM]轉(zhuǎn)化為相等線段[AN，] 改變了線段的位置，實(shí)現(xiàn)了“折”轉(zhuǎn)“直”，把問題轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決的問題.

上述中考試題的第（3）小題是對(duì)“造橋選址”問題的改編與創(chuàng)新，變“[MN]與河垂直”為“[MN]與兩線斜交”，變“[A]和[B]兩地在河的兩岸”為“[F，D]兩點(diǎn)在[x]軸同側(cè)”，考查學(xué)生知識(shí)技能的遷移能力，引領(lǐng)師生認(rèn)真研究和深入挖掘教材例題、習(xí)題的深層次價(jià)值，深刻領(lǐng)悟以知識(shí)內(nèi)容為載體的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵. 參考答案將點(diǎn)[D]向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)[D，] 就是考慮到作同樣的變換將點(diǎn)[N]移動(dòng)到點(diǎn)[M，] 也就相當(dāng)于平移線段[DN]得到[DM，] 把線段[FM]和線段[DN]“接”在一起. 接下來只要作出點(diǎn)[D，F(xiàn)]中任意一點(diǎn)關(guān)于[x]軸的對(duì)稱點(diǎn)，就可化同側(cè)為異側(cè)，轉(zhuǎn)化為能利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決的問題，圖1之外的另一種具體轉(zhuǎn)化過程如圖4所示.

三、構(gòu)建圖形，凸顯分析問題的路徑

[1]. 依托軸對(duì)稱變換，利用基本問題解決思路

如圖5，牧馬人從[A]地出發(fā)，到一條筆直的河邊[l]飲馬，然后到[B]地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可以使所走的路徑最短？

如圖6，作其中一個(gè)定點(diǎn)[B]關(guān)于直線[l]的對(duì)稱點(diǎn)[B，] 連接[AB]與直線[l]交于點(diǎn)[C.] 則點(diǎn)[C]即為牧馬人飲馬的地點(diǎn)，[AC+CB]為最短路徑，其路程等于線段[AB]的長(zhǎng).

此問題是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求兩條線段和的最小值. 通過軸對(duì)稱變換，將[CB]轉(zhuǎn)化為相等線段[CB，] 化同側(cè)為異側(cè)，將兩條線段首尾相連地“接”到一條線段上，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，問題得解.

對(duì)于上述中考試題的第（3）小題，由第（2）小題知，拋物線頂點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[1，-a-1.] 由勾股定理（或兩點(diǎn)間距離公式），可得[FM+DN=m2+1-a2+][m+22+a2，] 即[FM+DN=m-02+a-12+m+22+a-02.]此式子的幾何意義可以理解為點(diǎn)[Pm，a]是直線[y=a][a<-1]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[Pm，a]到兩個(gè)定點(diǎn)[A0，1，][B-2，0]的距離之和，即[FM+DN=PA+PB.] 這樣我們就發(fā)現(xiàn)此題與“牧馬人飲馬”問題一致，于是就可以套用解決這個(gè)問題的思想、方法得到如下解法2.

解法2：如圖7，作點(diǎn)[A0，1]關(guān)于直線[y=a]的對(duì)稱點(diǎn)[A0，-1+2a，] 當(dāng)點(diǎn)[B，P，A]三點(diǎn)共線時(shí)，[PB+][PA]取得最小值，即線段[BA]的長(zhǎng).

所以[BA=4+2a-12=210.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

易知直線[BA]的解析式為[y=-3x-6.]

由[-52=-3m-6，]

解得[m=-76.]

所以[m+3=116.]

所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-76，0，] 點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[116，-1.]

[2]. 構(gòu)造全等三角形，利用三角形三邊關(guān)系

如圖8，[A，B]是定點(diǎn)，[P]是動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)[P]運(yùn)動(dòng)到哪里時(shí)[PA+PB]的值最??？

如圖9，當(dāng)點(diǎn)[P]運(yùn)動(dòng)到線段[AB]上時(shí)，[PA+PB]的值最小. 這是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)[A]，[B]，[P]三點(diǎn)不共線時(shí)，由“三角形兩邊的和大于第三邊”，可得[PA+PB>AB.] 當(dāng)點(diǎn)[A，B，P]三點(diǎn)共線，且點(diǎn)[P]在線段[AB]上時(shí)，[PA+][PB]的值最小，等于線段[AB]的長(zhǎng).

由此，我們可以構(gòu)建全等三角形，應(yīng)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等這一性質(zhì)，改變線段[DN]的位置，而不改變其長(zhǎng)度，將其與[FM]“接”到一起，使問題轉(zhuǎn)化為能借助三角形三邊關(guān)系解決的幾何最值問題. 得到解法3.

解法3：如圖10，設(shè)直線[x=1]與直線[l]相交于點(diǎn)[P，] 構(gòu)造[△NHF]≌[△DPN，] [NH]⊥[Ox，F(xiàn)H]⊥[NH.]

可得[Nm+2，1-2a.]

此時(shí)[FM+DN=FM+NF≥NM，] 當(dāng)點(diǎn)[N，F(xiàn)，M]三點(diǎn)共線時(shí)，[FM+NF]取得最小值，即[NM]的長(zhǎng).

由[22+1-2a2=210，]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

由[N，M]兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線[NM]的解析式為[y=3x-3m.]

由[-3m=72，]

解得[m=-76].

所以[m+3=116.]

所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-76，0，] 點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[116，-1.]

解法4：如圖11，取點(diǎn)[F3，a-2，] 作[FQ⊥l，] 構(gòu)造[△FQN]≌[△FOM，] 則[FM+DN=FN+DN≥FD，]當(dāng)點(diǎn)[F，N，D]三點(diǎn)共線時(shí)，[FN+DN]取得最小值，即[FD]的長(zhǎng). 有[22+1-2a2=210.] 下同解法3.

[3]. 借助平移變換，利用平行四邊形對(duì)邊相等

平行四邊形具有豐富的性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛. 平行四邊形的對(duì)邊平行且相等這一性質(zhì)，從幾何變換的角度看，相當(dāng)于將一邊進(jìn)行平移.

將點(diǎn)[M]向下平移[1]個(gè)單位，向右平移[3]個(gè)單位后與點(diǎn)[N]重合， 將點(diǎn)[F]作同樣的平移得到點(diǎn)[F3，-a，] 則[FF]平行且等于[MN，F(xiàn)MNF]為平行四邊形，所以[FM=FN.] 這樣就把[FM]“接”到了[DN]上，繼而將問題轉(zhuǎn)化為求線段[DN，F(xiàn)N]和的最小值. 由此產(chǎn)生解法5.

解法5：如圖12，將點(diǎn)[F]向下平移[1]個(gè)單位，向右平移[3]個(gè)單位得到點(diǎn)[F3，-a，] 作點(diǎn)[D]關(guān)于直線[l]的對(duì)稱點(diǎn)[D1，a-1.]

當(dāng)點(diǎn)[F，N，D]三點(diǎn)共線時(shí)，[FN+ND]取得最小值，即[FD]的長(zhǎng).

由[3-12+1-2a2=210，]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

把[Nm+3，-1]代入[FD]的解析式[y=3x-132，]

解得[m=-76.]

所以[m+3=116.]

所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-76，0，] 點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[116，-1.]

如圖13，若作點(diǎn)[F]關(guān)于直線[l]的對(duì)稱點(diǎn)[F，] 問題可同理解決.

平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換，變換前后的兩個(gè)圖形全等，只是改變了圖形的位置. 我們可以選擇不同的方式，也可以不拘泥于變換的先后順序，可以把[FM]“接”到[DN]上，也可以把[DN]“接”到[FM]上，其問題實(shí)質(zhì)是相同的. 下面的圖14和圖15分別給出了兩種情形（解答過程略）.

4. 化歸直角三角形，利用勾股定理

若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為[a，b，] 斜邊長(zhǎng)為[c，] 那么[a2+b2=c2，] 則[c=a2+b2.]

對(duì)于直角坐標(biāo)系中的斜線段，可以用勾股定理表示它的長(zhǎng). [FM]可以看作是分別以[-m，1-a]為直角邊的直角三角形的斜邊，而[DN]可以看作是分別以[m+2，-a]為直角邊的直角三角形的斜邊，由此可得[FM=][-m2+1-a2，DN=m+22+-a2.] 進(jìn)而得到下述解法6.

解法6：因?yàn)閇-m+m+2=2，] 所以考慮構(gòu)造如圖16所示的[Rt△PAT]和[Rt△QBT，] 其中[AB=2，] 點(diǎn)[T]在線段[AB]上，[AT=-m，BT=m+2.] 點(diǎn)[P，Q]在線段[AB]的兩側(cè)，[PA=1-a，BQ=-a.]

當(dāng)[P，T，Q]三點(diǎn)共線時(shí)，[PT+TQ]取得最小值，即[PQ]的長(zhǎng).

由[PQ=PE2+EQ2，]

得[22+1-2a2=210.]

解得[a1=-52，a2=72]（舍）.

由[△PAT]∽[△QBT，]

得[ATTB=PAQB.]

解得[m=-76].

所以[m+3=116.]

所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-76，0，] 點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[116，-1.]

5. 啟示后的再探索

對(duì)問題本質(zhì)進(jìn)行深入地理性思考，就會(huì)產(chǎn)生思想認(rèn)識(shí)上的飛躍. 遵循全等變換的宗旨，以“變換線段的位置，構(gòu)建基本幾何圖形”為問題解決的基本策略，我們思考旋轉(zhuǎn)線段[DN，] 將其與線段[FM]首尾相連地“接”在一起，是否可以解決問題呢？如圖17，點(diǎn)[E]為線段[FD]的中點(diǎn)，則點(diǎn)[E]的坐標(biāo)為[E12，-a.] 將線段[DN]繞著點(diǎn)[E]旋轉(zhuǎn)[180°]得到[FN，] 則可得點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[N-m-2，1-2a.] 點(diǎn)[N]為點(diǎn)[N]關(guān)于[y]軸的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[Nm+2，1-2a.] 因?yàn)閇FM+DN=FM+NF≥NM，] 所以當(dāng)[N，F(xiàn)，M]三點(diǎn)共線時(shí)，[FM+][NF]取得最小值，即[NM]的長(zhǎng). 于是有[m+2-m2+1-2a2=210，] 問題得解.

四、教學(xué)思考，歸納解決問題的方法

1. 理解問題本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想

最短路徑問題的相關(guān)知識(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)得較零散，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足. 在教學(xué)時(shí)，首先，教師要讓學(xué)生具備解決最短路徑問題的知識(shí)基礎(chǔ)，回歸基本原理、理解問題本質(zhì). 明確借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換來研究問題，體會(huì)這些變換的“橋梁”作用，促使學(xué)生能通過變換手段化同為異、化曲為直，將實(shí)際情境問題轉(zhuǎn)化為基本最短路徑問題. 其次，要讓學(xué)生理解為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過變換實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，確保學(xué)生能夠通過推理證明所求路徑最短，做到“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”，從而提高學(xué)生的推理能力，突出數(shù)學(xué)的理性思維.

例如，“造橋選址”問題中的最短路徑是這樣證明的：如圖18，我們不妨在直線[b]上另外任意取一點(diǎn)[N，]過點(diǎn)[N]作[NM⊥a，] 垂足為點(diǎn)[M.] 連接[AM，] 以[AM，][MN]為鄰邊構(gòu)造[?AMNA，] 連接[AB，NB.] 在[△ANB]中，因?yàn)閇AN+BN>AB，] 所以[AM+BN>AN+BN.] 所以[AM+MN+BN>AM+MN+BN，] 即[AM+MN+][BN]為[A]到[B]的最短路徑.

2. 掌握基本策略，注重通性、通法

對(duì)于數(shù)學(xué)專項(xiàng)問題，要深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步掌握解決問題的基本策略和基本方法，幫助學(xué)生提煉解決問題的基本規(guī)律，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，盡可能從源頭找方法、找依據(jù)，重視通性、通法，并通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握使用核心知識(shí)的基本技能，提升解決數(shù)學(xué)問題的水平. 例如，消元、化歸的思想在解方程組的過程中具有指導(dǎo)作用，消元是基本策略，代入消元、加減消元只是不同的消元過程;又如，在“圖形與幾何”領(lǐng)域，有必要將一些常用的、簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)圖形結(jié)論化、模式化、方法化，確保學(xué)生熟練基本圖式的問題解決過程，反思提煉基本圖形的思想方法，將基本圖式運(yùn)用到解決復(fù)雜圖形中去，發(fā)揮基本圖形的導(dǎo)航作用，為新問題的解決提供指導(dǎo)和幫助.

要解決上述中考試題的第（3）小題，將其轉(zhuǎn)化為基本圖形才是根本，正所謂萬變不離其宗、殊途同歸.

3. 用好幾何直觀，培育核心素養(yǎng)

一些數(shù)學(xué)內(nèi)容具有“雙重性”，我們可以從數(shù)與形兩個(gè)方面去認(rèn)識(shí). 幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知. 借助幾何直觀可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、生動(dòng)，有助于探索解決問題的思路. 直觀是想象的基礎(chǔ)，使得數(shù)學(xué)思考與邏輯推理成為有源之水、有本之木. 能夠把相對(duì)抽象的對(duì)象“圖形化”，由數(shù)到形，展開形象思維，形成幾何直觀能力，培育直觀想象素養(yǎng). 正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 將抽象問題具體化、形象化，代數(shù)問題幾何化. 教學(xué)時(shí)，教師要充分利用坐標(biāo)系、函數(shù)、乘法公式、勾股定理等內(nèi)容，教會(huì)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，逐漸養(yǎng)成在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的意識(shí)，借助數(shù)的精確來認(rèn)識(shí)圖形的細(xì)微之處、特殊之處，借助形的位置及性質(zhì)來推理數(shù)量關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系和直觀圖形結(jié)合起來，整體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的作用，學(xué)會(huì)這種數(shù)學(xué)的思考方式和學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)結(jié)論的過程中獲得數(shù)學(xué)思想，就要發(fā)揮基本幾何圖形的工具作用和導(dǎo)向作用，使學(xué)生在思想、方法、經(jīng)驗(yàn)積累等方面得到培養(yǎng). 求解幾何最值問題，想要做到從附加條件的、復(fù)雜的、陌生的圖形中分離或構(gòu)建出基本圖形，除了反思總結(jié)基本圖形的解題思路、思想方法，更要牢牢把握轉(zhuǎn)化與化歸這一“制勝法寶”，一切解題策略的出發(fā)點(diǎn)均在于轉(zhuǎn)化，化難為易、化新為舊、化繁為簡(jiǎn). 在解題中，回到原始圖形中去，才能體會(huì)到題目與基本圖形思路相同、解法類似，實(shí)現(xiàn)多解歸一. 豐富了解題經(jīng)驗(yàn)，才能做到融會(huì)貫通、舉一反三、遷移運(yùn)用. 這無疑會(huì)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展、解決問題能力的提升和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育具有十分重要的意義.

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