理想彈性壓桿臨界撓度的確定

劉榮剛 邊文鳳 李素超 劉 偉 金松波

*(哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程系，山東威海264209)

?(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天科學(xué)與力學(xué)系，哈爾濱150001)

壓桿穩(wěn)定是材料力學(xué)課程中重要的基本內(nèi)容[1-2]。盡管人們對壓桿穩(wěn)定的研究與應(yīng)用已經(jīng)十分成熟，但是卻存在著一個長期爭議的問題，就是細(xì)長壓桿臨界力作用下的撓度能否確定的問題[3-7]。有文獻(xiàn)認(rèn)為撓度的不確定源自在推導(dǎo)臨界力公式的時候使用的是撓曲線近似微分方程[2-3]，而如果使用精確的撓曲線微分方程[8]就可以確定撓度。但是這一觀點(diǎn)受到了諸多質(zhì)疑[5-7]。小變形假設(shè)是材料力學(xué)中的基本假設(shè)之一，在處理問題的時候具有足夠高的精度，并且理論本身也是完備的，因此撓曲線近似微分方程對于小變形情況是完全適用的，那么對問題的解答也應(yīng)該是完備的。也就是說，不會出現(xiàn)撓度不確定的問題。事實(shí)上，出現(xiàn)問題混亂的原因有兩條：(1)處理問題的時候邊界條件給的不夠合理；(2)臨界力的定義缺乏數(shù)學(xué)與力學(xué)的嚴(yán)格對應(yīng)。下面本文分別使用撓曲線近似微分方程方法和能量法給出較為嚴(yán)格的壓桿穩(wěn)定臨界力的定義。

1 撓曲線近似微分方程方法

考慮兩端鉸支細(xì)長壓桿 (見圖 1)，在微彎狀態(tài)下，撓曲線近似微分方程

其中k2=F/(EI)，EI為壓桿的抗彎剛度。微分方程的通解為

圖1 兩端鉸支細(xì)長壓桿受力示意圖

利用桿件兩端嚴(yán)格的邊界條件

我們可以得到壓桿的撓曲線方程為

其中δ是壓桿中點(diǎn)的撓度，微彎狀態(tài)下載荷F與水平位移Δ的關(guān)系為

式(5)即為小變形條件下，載荷F與水平位移Δ的一般關(guān)系式。注意這一狀態(tài)不是臨界狀態(tài)，對于理想彈性壓桿，如果逐漸減小載荷，微彎狀態(tài)可以完全退回到直線狀態(tài)，而這一直線狀態(tài)就是最合理的臨界狀態(tài)，所對應(yīng)的力就是臨界力。所以，臨界力的嚴(yán)格定義就是對式(5)取極限，即

此極限過程描寫了微彎狀態(tài)下的壓桿回歸到直線狀態(tài)，此狀態(tài)即為唯一的臨界狀態(tài)，所以臨界力作用下壓桿中點(diǎn)的撓度是完全確定的，也即等于0。

2 能量法

在小變形情況下，壓桿的撓曲線滿足式(4)，利用能量關(guān)系

可求出

另一方面，利用幾何關(guān)系

我們可以得到

其中

所以臨界力定義為

顯然，能量法給出的結(jié)果式(10)與采用撓曲線近似微分方程方法得到的式(5)完全一致，因此用式(6)和式(12)定義的壓桿臨界力是等價(jià)的。

下面我們對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行簡要的分析。從式(11)可以看出，在小變形情況下，Δ=π2δ2/(4l)，即水平位移Δ是壓桿中點(diǎn)撓度δ的二階小量。再由式(5)或式(10)可知，在小變形情況下，隨著桿件中點(diǎn)撓度δ的微幅增加，載荷F的大小幾乎不發(fā)生變化。因此，考慮水平位移Δ的邊界條件，與傳統(tǒng)材料力學(xué)教材[1]中不考慮Δ的邊界條件，對臨界力的表述幾乎沒有差別。但是如果不考慮水平位移Δ的邊界條件，將導(dǎo)致臨界力的定義不夠嚴(yán)格和清晰，并且會導(dǎo)致臨界力作用下壓桿中點(diǎn)撓度不確定問題。

應(yīng)該指出，在小變形條件下，材料力學(xué)形成了一整套嚴(yán)整的理論體系，并且在理論的推導(dǎo)和計(jì)算中，一些小量完全可以忽略。然而壓桿穩(wěn)定問題，在材料力學(xué)中可以說是一個特有的現(xiàn)象，只有在考慮水平位移Δ的邊界條件下，通過極限過程才可以得到臨界力的嚴(yán)格定義，并且可以解決長期爭議的壓桿中點(diǎn)撓度的不確定問題[3-7]。

通過以上的計(jì)算和討論，我們可以對理想彈性細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性做如下定義：當(dāng)載荷F＞Fcr時，在無擾動的情況下，壓桿可以處于直線平衡狀態(tài)，在有擾動的情況下，壓桿將處于微彎的曲線平衡狀態(tài)，并且撤去干擾后桿件無法恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿此時處于的狀態(tài)稱為失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)載荷F＜Fcr時，在擾動作用下壓桿發(fā)生微彎，撤去干擾后，桿件仍然可以恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿此時處于的狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)載荷F=Fcr時，壓桿處于的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。需要指出的是，此處壓桿穩(wěn)定性的定義基礎(chǔ)源自上文嚴(yán)格的極限狀態(tài)分析，從而保證了壓桿穩(wěn)定理論對問題描述的完備性。

3 結(jié)論

本文從當(dāng)前細(xì)長壓桿穩(wěn)定存在的爭議問題展開討論，指出壓桿中點(diǎn)撓度δ的不確定源自于兩點(diǎn)：一是失穩(wěn)的定義不夠準(zhǔn)確；二是邊界條件給的比較粗糙。分析結(jié)果表明，對于小變形的理想彈性細(xì)長壓桿，載荷F與壓桿中點(diǎn)撓度δ存在一一映射的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)載荷F＞Fcr時，如果理想彈性細(xì)長壓桿處于微彎狀態(tài)，此時若將載荷逐漸減小，壓桿可以逐漸恢復(fù)到臨界力Fcr對應(yīng)的直線狀態(tài)，因此臨界力作用下壓桿中點(diǎn)的撓度等于0。在此基礎(chǔ)上，本文給出了壓桿臨界失穩(wěn)載荷的嚴(yán)格定義，并重新定義了臨界狀態(tài)，得到了自洽和完備的壓桿穩(wěn)定理論。