靜定結(jié)構(gòu)受力分析中約束力換算公式與二力桿的妙用1)

汪 珍 舒開鷗

(九江學(xué)院建筑工程與規(guī)劃學(xué)院，江西九江332005)

在力學(xué)教學(xué)中，靜定結(jié)構(gòu)的受力分析這一內(nèi)容由于較為簡單而通常忽視了計算的簡化與分析方法的研究。靜定結(jié)構(gòu)的受力特征是，未知力 (約束力)的個數(shù)等于獨立平衡方程的個數(shù)，即僅通過平衡方程就能求解所有未知力，因此在教學(xué)時，教師往往重點在于教學(xué)生列出足夠的平衡方程，而忽視了對這些平衡方程求解的難易程度分析。當(dāng)未知力較多時，最理想的情形是一個方程求解一個未知力，這樣就能避免聯(lián)立方程解方程組的麻煩。相關(guān)文獻(xiàn)[1-2]已經(jīng)指出，對于滿足兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則的簡單靜定結(jié)構(gòu)，用平衡方程進(jìn)行受力分析時，必可做到一個方程解一個未知力。本文將對這一結(jié)論做出簡單證明，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出能簡化計算的二力桿轉(zhuǎn)化思路及約束力換算公式。

1 平衡方程與幾何組成的關(guān)系

對于按兩剛片規(guī)則構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu)，由于連接兩剛片的三根鏈桿既不相互平行也不匯交，因此將這三根鏈桿截斷，取其中一剛片研究，即可逐一求出三鏈桿的受力(剛片的約束力)。

對于按三剛片規(guī)則構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu)，三剛片若用三個虛鉸 (實鉸的情形比虛鉸要簡單，故不再證明)兩兩連接，如圖1。求各鏈桿受力時，可以做到一個方程解一個未知力，證明過程如下。

圖1

為求出各鏈桿的受力，可先把鏈桿1～4截開，取剛片 I和 II組成的整體 (以下簡稱整體)，先將四個未知力分別向兩虛鉸A和B滑移，再向AB(x)方向與垂直AB(y)方向分解，如圖 2，由∑MB=0?FAy；再取剛片I，如圖3，這是一個含有三個既不相互平行又不匯交的未知力FAx、F5和F6的平面一般力系，可做到列一個方程解一個未知力；最后回到整體，只剩下FBx和FBy，顯然可逐一解出。若桿3與桿4平行，可將與F3垂直方向設(shè)為x方向，由 ∑Fx=0?FAx；若桿5與桿 6平行，在求出FAy(或FAx)后，研究剛片I，仍然是一個含有三個既不相互平行又不匯交的未知力FAx(或FAy)、F5和F6的平面一般力系。綜上所述，滿足三剛片規(guī)則的靜定結(jié)構(gòu)，各鏈桿的受力計算可做到一個平衡方程解一個未知力。

圖2

圖3

在一個平衡方程解一個未知力的原則下，求簡單靜定結(jié)構(gòu)的約束反力時，需要注意以下問題：(1)選取剛片I和II組成的整體研究與選取剛片III研究是等效的，同理選取剛片I研究與選取剛片II和III組成的整體研究也是等效的，視計算的難易程度靈活選取研究對象，但地面及含地面的整體不作為研究對象；(2)若連接剛片的鏈桿在兩結(jié)點以外部分上承受外力，可將外力向兩結(jié)點平移，并將附加力偶轉(zhuǎn)化為作用在結(jié)點上的一對等值反向的平行力，則鏈桿變?yōu)槎U，具體做法見例1。

例1求圖4靜定結(jié)構(gòu)中AB桿的約束反力。

解：(1)結(jié)構(gòu)滿足兩剛片規(guī)則，AB桿與地面是兩剛片，其余三根鏈桿是聯(lián)系(約束)，將作用在三根鏈桿上的外力向端點平移，并將附加力偶轉(zhuǎn)化為一對作用于兩端點的等值反向的平行力，如圖5。

圖4

圖5

(2)研究AB桿，如圖6，易得三根鏈桿給其的約束反力，不再贅述。

圖6

2 約束力換算公式與二力桿的轉(zhuǎn)化

2.1 約束力換算公式

在圖2中，逐一求出的約束力FAx和FAy并不是各鏈桿1和2的軸力，為能方便地求出鏈桿的軸力，可采用約束力換算公式。如圖7，組成虛鉸A的鏈桿1和2的軸力F1和F2，與它們在虛鉸A處分別沿x和y方向的分量之和FAx及FAy，可用以下公式換算

圖7

例2求圖8靜定桁架中各桿的軸力。

圖8

解：(1)BD桿與地面由鏈桿AD與支座鏈桿B組成的虛鉸連接，剛片CEG與地面由鏈桿AE與支座鏈桿C組成虛鉸連接，BD桿與剛片CEG由鏈桿DE與鏈桿BG組成虛鉸連接，三個虛鉸不共線，故為靜定桁架。

(2)研究BD桿與剛片CEG組成的整體，如圖9。將FAD和FB向虛鉸O滑移并沿x(OC)和y方向分解后疊加得FOx和FOy，同理將FAE和FC轉(zhuǎn)化為FCx和FCy

圖9

(3)研究BD桿，如圖10

再由整體

圖10

(4)由約束力換算公式(1)可得鏈桿AD和AE的軸力及支座B和C的反力

其余各桿的軸力利用結(jié)點法很容易逐一求出。

2.2 二力桿的轉(zhuǎn)化思路

若某剛片用兩鉸(或虛鉸)與其他剛片連接，則此剛片可視為端點在兩鉸處的鏈桿(或虛鏈桿[3])，如圖2中的剛片Ⅰ。此時若該剛片上除兩鉸處的其他部分不受力，則可將其視作二力桿，如圖 11，剛片Ⅰ在虛鉸A處的約束力可合成為一個沿AC連線的力FAC，于是剛片Ⅰ和Ⅱ組成的整體僅有三個未知力FAC，F(xiàn)3及F4，可逐一求出F3和F4，再回到將剛片Ⅰ轉(zhuǎn)化為二力桿之前的受力圖，便可逐一求出F1和F2；若剛片I上除兩鉸處的其他部分受力，可參照例1先把這些力向兩鉸A和C處轉(zhuǎn)化，則剛片I變?yōu)槎U。

圖11

例3求圖12靜定桁架中各桿的軸力[4-5]。

解：(1)剛片ADJI與CGJE用鉸J連接，剛片ADJI與地面用交于O點(虛鉸)的鏈桿BI和支座鏈桿A連接，剛片CGJE與地面用交于K點(虛鉸)的鏈桿BE和支座鏈桿C連接，點J，O和K不共線，滿足三剛片規(guī)則。

圖12

(2)截開鏈桿BI，BE取上部研究，作受力圖如圖13。

圖13

將剛片ADJI上作用于H點的力F向虛鉸O及鉸J轉(zhuǎn)化，把該剛片變?yōu)槎U，則過O點各力可合成為力FOJ，如圖 14，列平衡方程求FBE和FC

再由圖13，列平衡方程計算FBI和FA

其余各桿的軸力利用結(jié)點法很容易逐一求出。例 2也可用此法計算，讀者可自行嘗試。

圖14

3 結(jié)語

本文對 “滿足兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則的靜定結(jié)構(gòu)的受力分析，必可做到一個方程解一個未知力”這一結(jié)論做出了簡明證明，并給出了利用這一結(jié)論進(jìn)行受力分析的計算思路與注意要點。在此基礎(chǔ)上提出了方便計算鏈桿軸力的約束力換算公式及剛片轉(zhuǎn)化為二力桿的方法，使得靜定結(jié)構(gòu)的受力分析得到進(jìn)一步簡化。基于本文的研究成果，在結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)甚至是理論力學(xué)教學(xué)中對于靜定結(jié)構(gòu)或靜定問題，應(yīng)提倡力爭做到一個平衡方程解一個未知力，其目的不僅是簡化計算，還能使學(xué)生更好掌握平衡方程及其應(yīng)用技巧、更深刻認(rèn)識結(jié)構(gòu)幾何組成分析的意義及作用，從而達(dá)到夯實學(xué)生力學(xué)基礎(chǔ)、鍛煉學(xué)生思維能力等教學(xué)目標(biāo)。