*《小問題》2020-3解答*

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2020-4如圖 1所示，三根質量均為m、長均為l的勻質細桿鉸接后成一直線靜止于光滑水平面上，今在AB桿的質心G處作用一垂直于桿的水平沖量I。試用沖擊問題的拉格朗日方程，(1)證明沖擊后AB桿、BC桿、CD桿的初始角速度之比為4:3:-1；(2)求沖擊后系統(tǒng)的動能。(供稿：張孝祖，江蘇大學)

圖1

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問題：如圖1所示，質量為M的方塊以速度U與靜止的質量為m的方塊相撞。然后質量為m的方塊與側壁相撞，等等。整個過程完全彈性。求證：當M/m?1時，總碰撞次數(shù)N與圓周率π之間有漸近關系式

(當M/m=102k(k=1，2，···)時，計算表明，N就是π之小數(shù)點向后移k位所得之整數(shù)。)(問題及以下答案供稿：岳曾元)

圖1 初始狀態(tài)

證明：

將M與m的速度分別記為V1和V2。整個過程完全彈性，總動能守恒，故有

令

得到用上標′和′′表示碰撞前和碰撞后的量。對于m與M之間的碰撞，總動量在碰撞前后不變

其無量綱形式為

對于m與側壁之間的碰撞，有

即

圖 2顯示了M/m=100時的整個碰撞過程。(ξ，η)從初始狀態(tài)(-1，0)開始，依次輪流進行m與M之間和m與側壁之間的碰撞。每條斜線的上端和下端分別代表m與M之間碰撞的碰撞前和碰撞后狀態(tài)，每條鉛直線的下端和上端分別代表m與側壁之間碰撞的碰撞前和碰撞后狀態(tài)。所有斜線具有共同的斜率。斜線與鉛直線所夾銳角

在M/m→∞(ε→0)過程中，θ越來越小，鉛直線越來越密 (參見圖 3，其中M/m=10000)，相鄰鉛直線間的距離δ有漸近式

圖2

圖3

當δ充分小，在滿足

的Δξ中包含的鉛直線根數(shù)為

因此，鉛直線總數(shù)為

令

得到

每根鉛直線代表兩次碰撞。因此，碰撞總數(shù)為

特別，當M/m=102k(k=1，2，···)時，計算表明，N就是圓周率 π之小數(shù)點向后移k位所得之整數(shù)。