在思考中探索 在拓展中創(chuàng)新

丁素琴

[摘? 要] 解題能力的培養(yǎng)離不開科學(xué)有序的引導(dǎo)與拓展，這就要求教師在課堂教學(xué)過程中深挖教材所呈現(xiàn)的例題，通過思考、探究、拓展與創(chuàng)新等方式延伸知識(shí)點(diǎn)，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力與解題能力.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;拓展;延伸

伽利略曾經(jīng)說過：“科學(xué)是在思維角度的不斷變化中探索前進(jìn)的. ”對(duì)數(shù)學(xué)教材中一些經(jīng)典例題從多個(gè)角度進(jìn)行革新與拓展，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展與解題能力的培養(yǎng)具有意想不到的效果. 正如宋代朱熹所言：“問渠那得清如許，為有源頭活水來. ”初中數(shù)學(xué)教學(xué)的源頭就是教材，通過對(duì)教材例題的探索與研究，將例題進(jìn)行拓展與創(chuàng)新，可活化學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生解題能力與綜合素養(yǎng)的提升.

讀題審題，弄清題意

審題是解題的根本，只有審清題意才能清楚題中所包含的條件，根據(jù)題目所呈現(xiàn)的內(nèi)容分析與本題相關(guān)的公式、概念、法則、定理等，尤其是一些隱蔽的隱含條件，是審題的重點(diǎn)，這些隱含條件往往決定了解題的方向，因此決不能遺漏或自行添加任何條件，而應(yīng)客觀地讀題、審題并加以分析，這是提高解題能力最基本的措施.

我們?cè)谧x題、審題時(shí)應(yīng)做到“一看二讀三畫四思”，只有完整地遵循這四個(gè)步驟，才能徹底審清題意，避免各種奇葩錯(cuò)誤的發(fā)生. “一看二讀三畫四思”主要是指：（1）看. 這是審題最簡(jiǎn)單直接的方法，對(duì)于題中一些關(guān)鍵性的字、詞、句等可標(biāo)上著重號(hào)，找出題中的顯性條件與隱含條件，堅(jiān)決做到不漏看、不錯(cuò)看任何條件，保證看清、看準(zhǔn)題目. （2）讀. 只有逐字逐句地認(rèn)真讀過去，才能保證不多出或漏掉任何有價(jià)值的信息，讀的過程具有補(bǔ)救看錯(cuò)、看漏的重要作用. （3）畫. 數(shù)學(xué)文字一般偏抽象，光憑看和讀還不能完全理解一些關(guān)系，畫卻能將一些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成直觀的圖像符號(hào)，這也是突破解題思路的最佳方式，尤其是一些行程問題、幾何證明題等，畫能讓解題思路變得更加清晰. （4）思. 在完成以上三步之后，就需要快速、準(zhǔn)確地挖掘大腦所儲(chǔ)存的信息，分析問題的本質(zhì)和解決辦法.

不少學(xué)生在考試時(shí)失分在一些不可思議的地方，例如，題目要求選擇錯(cuò)誤選項(xiàng)，他偏偏選擇正確選項(xiàng);要求寫系數(shù)，他偏偏寫的是次數(shù)，等等. 究其主要原因就在于讀題、審題粗枝大葉，答非所問而導(dǎo)致漏洞百出，這也是學(xué)生之間拉開差距的主要原因之一. 因此，提高解題能力的首要因素是讀題、審題能力的培養(yǎng).

以教材為本，拓展原題，開拓解題思維

加里寧認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操. ”解題能力主要體現(xiàn)在解題思維的靈活性與創(chuàng)造性，富有創(chuàng)造性的思維能激發(fā)學(xué)生的解題思路，促進(jìn)學(xué)生解題能力的發(fā)展. 鑒于此，教師可在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展、延伸，以活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓展學(xué)生的解題思路. 筆者以執(zhí)教過程中教材的一道題目為例，談?wù)勅绾瓮卣乖}，開闊學(xué)生的解題思路，提升解題能力的具體辦法.

1. 原題呈現(xiàn)

若一圓柱體底面的周長(zhǎng)是20 cm，AB是該圓柱的高為4 cm，上底面的直徑為BC，若一只蝸牛以A點(diǎn)為起點(diǎn)沿著圓柱體側(cè)面進(jìn)行爬行，一直爬到點(diǎn)C（見圖1），請(qǐng)問這只蝸牛所爬的最短路程是多少？

分析：蝸牛在圓柱體的半個(gè)側(cè)面爬行，若展開這半個(gè)側(cè)面（見圖2），可得矩形ABCD，依照兩點(diǎn)之間，線段最短的原理，最短路程應(yīng)該是圖2中矩形對(duì)角線AC的距離.

？搖？搖解：如圖2所示，在Rt△ABC中，BC的長(zhǎng)度是圓柱體底面周長(zhǎng)的一半，即10? cm，根據(jù)勾股定理可得AC===≈10.77（cm）. 答：蝸牛所爬行的最短路程約為10.77 cm.

學(xué)生解決這個(gè)問題的難度系數(shù)并不大，只要審清題意，解題基本沒有問題. 教師為了拓展學(xué)生的解題思維，可在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與延伸，深化學(xué)生對(duì)勾股定理的掌握與運(yùn)用程度，提升學(xué)生對(duì)此類問題的解題能力.

2. 原題拓展

拓展1：原題條件不發(fā)生變化，把蝸牛爬行的路線從側(cè)面爬行到C點(diǎn)改為從表面爬行到C點(diǎn)，請(qǐng)問它所爬行的最短路程依然是矩形ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度嗎？

分析：蝸牛先是沿著母線AB爬行由點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，而后沿著上底面的直徑由點(diǎn)B爬到點(diǎn)C，路程是4+≈10.37<10.77. 因此，最短距離不是AC的長(zhǎng)度.

拓展2：把原題中的圓柱底面周長(zhǎng)這個(gè)條件由20 cm改成16 cm，若蝸牛依然是沿著表面進(jìn)行爬行，那么它所爬行的最短距離還是A→B→C這條路線嗎？

分析：根據(jù)題意得AC===≈8.94（cm）. 由點(diǎn)A到點(diǎn)B再到點(diǎn)C的長(zhǎng)度為4+≈9.09（cm），此時(shí)AC的長(zhǎng)度又明顯比A→B→C這條路線短.

不少學(xué)生在遇到拓展2的問題時(shí)，受拓展1的影響，省略掉了計(jì)算與分析環(huán)節(jié)，直接給出答案而出現(xiàn)了解題錯(cuò)誤. 因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)不能受思維定式的影響武斷地給出結(jié)論，而應(yīng)經(jīng)過分析、計(jì)算、對(duì)比等環(huán)節(jié)，讓客觀數(shù)據(jù)來判斷其距離的長(zhǎng)短.

3. 探索研究

以上兩種爬行方法，哪種方法的爬行路程更短？（說明：以下探究比較的都是兩種爬行方法的最短路程）

假設(shè)h為圓柱體的高，r為圓柱體的底面半徑，蝸牛沿著側(cè)面爬行的路線AC的長(zhǎng)度為l=;沿著表面爬行的路線A→B→C的長(zhǎng)度l=h+2r，因此，l=h2+π2r2，l=h2+4hr+4r2，假設(shè)Δd=l-l.

探究1：如果高h(yuǎn)是一個(gè)常數(shù)，那么Δd=（π2-4）r2-4hr. 此時(shí)，關(guān)于r的二次函數(shù)圖像與橫軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為（0，0）和，0. 因?yàn)閞>0，其函數(shù)圖像如圖3所示.

根據(jù)這個(gè)圖像可獲得以下結(jié)論：

①在r>時(shí)，Δd>0，l>l，即l>l，蝸牛沿著圓柱體表面爬行的路程比沿著側(cè)面爬行的路程短;

②在r=時(shí)，Δd=0，l=l，即l=l，蝸牛的兩種爬行路線的路程是一樣的;

③在0<r<時(shí)，Δd<0，l<l，即l<l，蝸牛沿著圓柱體側(cè)面爬行的路程比沿著表面爬行的路程短.

探究2：如果r是常數(shù)，Δd=-4rh+（π2r2-4r2），關(guān)于h的一次函數(shù)圖像與橫軸交于點(diǎn)，0，因?yàn)閔>0，其函數(shù)圖像如圖4所示.

①在0<h<時(shí)，Δd>0，l>l，即l>l，蝸牛沿著圓柱體表面爬行的路程比沿著側(cè)面爬行的路程短;

②在h=時(shí)，Δd=0，l=l，即l=l，蝸牛沿著圓柱體表面和側(cè)面爬行的路程一樣;

③在h>時(shí)，Δd<0，l<l，即l<l，蝸牛沿著圓柱體側(cè)面爬行的路程較比沿著表面爬行的路程短.

此探究主要是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的建模過程，通過對(duì)圓柱體表面展開所得的圖形，一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的探索，滲透了方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過對(duì)比分析，由淺入深地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生提高解題的靈活性，形成良好的探究力.

4. 延伸創(chuàng)新

延伸1：如圖5，正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)是3 m，蝸牛從A點(diǎn)出發(fā)，若沿正方體的外表面爬行到G點(diǎn)的最短距離是多少米？

正方體ABCD-EFGH的表面展開圖如圖6所示：

從“兩點(diǎn)之間，線段最短”的規(guī)律出發(fā)，想求的最短路程就是正方體ABCD-EFGH表面展開后AG的長(zhǎng)度. 其實(shí)，不論是路徑①的AG，或是路徑②的AG，或是路徑③的AG，以勾股定理為據(jù)，均等于==3（m）. 因此，蝸牛從正方體的A點(diǎn)出發(fā)，從外表面爬行到G點(diǎn)的最近路程為3m.

延伸2：如圖7所示，長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中AB的長(zhǎng)度為3 m，高BF是2 m，寬BC是1 m. 蝸牛從長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A點(diǎn)開始沿長(zhǎng)方體的外表面向頂點(diǎn)G爬行，試求最短路程的距離.

如圖8所示，展開長(zhǎng)方體ABCD-EFGH的表面后，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的規(guī)律可知距離最短的路程就是矩形對(duì)角線AG的長(zhǎng)度.

由勾股定理可得：①AG==（m）;②AG===3（m）;③AG===2（m）. 因?yàn)?<2<，所以蝸牛從A點(diǎn)爬到G點(diǎn)的最短路程是3m.

此延伸過程將圓柱體換成正方體與長(zhǎng)方體，既直接運(yùn)用了教材中所呈現(xiàn)的知識(shí)，又提升了學(xué)生的思維能力. 學(xué)生在一步步尋找最短路程的過程中，激發(fā)了求知的內(nèi)驅(qū)力，有效地拓寬了學(xué)生解題的思路.？搖？搖

總之，解題能力的培養(yǎng)需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，任何能力的提升都非一朝一夕就能完成的. 教師只有靜下心來認(rèn)真鉆研教材，挖掘例題的內(nèi)涵，通過對(duì)例題的探究與延伸，讓學(xué)生從根本上理解問題的本質(zhì)，達(dá)到做一題、通一類題的良好效果.