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    巧構(gòu)圖,生解法,悟啟示

    2021-01-05 03:35:35徐強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:折疊思路分析

    徐強(qiáng)

    [摘? 要] 文章通過(guò)對(duì)2020南通中考數(shù)學(xué)試卷第24題的分析與“十四種”解法思路的探究,感悟出如下啟示:“折疊”類幾何綜合題,教學(xué)時(shí)要“以題固知,關(guān)注折疊之不變;以題強(qiáng)能,關(guān)注折疊之變;以題展思,關(guān)注折疊之設(shè)計(jì)”.

    [關(guān)鍵詞] 折疊;分析;思路;教學(xué)

    “折疊”類幾何綜合題一直是全國(guó)各地中考的必考試題,這類問(wèn)題往往以三角形或四邊形為背景,涉及特殊三角形(四邊形)的性質(zhì)與判定、圖形折疊的規(guī)律、全等(相似)三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),主要考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、幾何直觀、推理等思想與方法,核心體現(xiàn)圖形與幾何中“算”與“證”的本質(zhì),即“算”是“運(yùn)”的過(guò)程、“計(jì)”的方法,“證”是推理中的“尋道”、聯(lián)想中的“發(fā)現(xiàn)”. 本文結(jié)合2020南通中考數(shù)學(xué)試卷第24題,嘗試從不同角度探究“折疊”類問(wèn)題的解法,以及對(duì)日常教學(xué)的啟示.

    試題分析

    試題? (2020南通中考)在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,折疊矩形ABCD,使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,折痕為DE.

    (1)如圖1,若點(diǎn)P恰好在邊BC上,連接AP,求的值;

    (2)如圖2,若E是AB的中點(diǎn),EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,求BF的長(zhǎng).

    分析 本題以矩形為背景,巧妙地把軸對(duì)稱變換融入其中. 從題目呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)看,(1)問(wèn)是解決(2)問(wèn)的基礎(chǔ)和梯子,能為(2)問(wèn)的解答提供更多路徑. 對(duì)于(1)問(wèn),學(xué)生容易上手,即先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到相關(guān)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,再根據(jù)互余角間的關(guān)系得到相似的判定條件,該問(wèn)絕大多數(shù)學(xué)生能得分. 對(duì)于(2)問(wèn),解答的方法很多,學(xué)生答題時(shí)選擇的余地較大,從而能考查學(xué)生的思維能力、理解能力、思辨能力,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

    從題目考查的核心來(lái)看,一是能發(fā)現(xiàn)折疊前后線、角、圖形之間的聯(lián)系;二是能靈活運(yùn)用矩形性質(zhì)、相似(全等)三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、角平分線性質(zhì)等知識(shí);三是熟悉常規(guī)的幾何模型,并能遷移、構(gòu)造,這對(duì)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等能力要求較高. 下面以(2)問(wèn)為例進(jìn)行剖析.

    解法賞析

    解法1 如圖3,分別延長(zhǎng)FE,DA交于點(diǎn)G. 易證△AEG≌△BEF,所以AG=BF,GE=EF. 由∠BEF=∠GEA=∠GDP,可證△GEA∽△GDP. 于是===. 設(shè)BF=AG=x,則GP=3x,GE=3x-4,GD=3(3x-4). 所以3(3x-4)=x+12,解得x=3. 所以BF=3.

    解法2 如圖4,分別延長(zhǎng)DE,CB交于點(diǎn)G,連接AP,BP. 可證△APB為直角三角形,BG=AD=12,GE=DE=4,又△ABP∽△DEA,所以AP=3BP. 所以BP=. 又△BPF∽△GEF,所以===,解得BF=3.

    評(píng)析 解法1和解法2以中點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn),構(gòu)造全等三角形,實(shí)現(xiàn)了等線段的轉(zhuǎn)移,結(jié)合折疊獲取的線與角之間的關(guān)系,利用相似,列出方程解決問(wèn)題.

    解法3 如圖5,分別延長(zhǎng)DE,CB交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作PH∥CG交DG于點(diǎn)H. 易證BG=AD=12. 因?yàn)椤螦DE=∠PDE,所以可證PD=PH=12. 又△EHP∽△EGF,所以==. 設(shè)EF=x,則GF=3x,BF=3x-12. 于是在Rt△EBF中運(yùn)用勾股定理,有16+(3x-12)2=x2,解得x=5或x=4(舍去),所以EF=5,BF=3.

    解法4 如圖6,分別延長(zhǎng)DC,EF交于點(diǎn)G. 根據(jù)翻折和平行線的性質(zhì)可證GE=GD. 設(shè)GE=GD=x,則PG=x-4. 在Rt△DPG中,運(yùn)用勾股定理,有x2=122+(x-4)2,解得x=20. 所以CG=12. 又△EBF∽△GCF,所以可求得BF=3.

    解法5 如圖7,過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC,分別交PD,CD于點(diǎn)G和點(diǎn)H. 可證△EPG≌△DHG,于是得EG=DG. 設(shè)PG=x,則EG=12-x. 在Rt△EPG中運(yùn)用勾股定理,得42+x2=(12-x)2,解得x=. 又△EBF∽△GPE,所以可求得BF=3.

    評(píng)析 解法3至解法5,基于折疊過(guò)程中折痕即為角平分線,聯(lián)想構(gòu)造等腰三角形或全等三角形,獲取等線段,設(shè)元后利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理建立方程,從而得解.

    解法6 如圖8,過(guò)點(diǎn)P作GH∥AD,分別交AB,DC于點(diǎn)G和點(diǎn)H. 可證△PHD∽△EGP,得===. 設(shè)EG=x,則PH=3x,HD=4+x,GP=. 于是有+3x=12,解得x=. 再由△EGP∽△EBF,可求得BF=3.

    解法7 如圖9,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)M,使BM=4,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)N,使CM=4,連接MN,延長(zhǎng)EF交MN于點(diǎn)G,連接DG. 易證四邊形AMND為正方形,△DPG≌△DNG. 設(shè)MG=x,則NG=12-x=PG. 所以EG=16-x. 在Rt△EMG中運(yùn)用勾股定理,得82+x2=(16-x)2,解得x=6. 再由△EBF∽△EMG,可求得BF=3.

    解法8 如圖10,連接AP,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB,垂足為G,則△APG∽△DEA. 所以=. 設(shè)GP=x,則AG=3x,EG=3x-4. 在Rt△EGP中運(yùn)用勾股定理,得42=x2+(3x-4)2,解得x=或x=0(舍去). 又由△EGP∽△EBF,可求得BF=3.

    解法9 如圖11,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB,垂足為G,PH⊥AD,垂足為H,連接AP,則△AGP∽△DAE. 于是有=. 設(shè)GP=x,則AG=3x=PH,HD=12-x. 在Rt△PDH中運(yùn)用勾股定理,得(3x)2+(12-x)2=122,解得x=或x=0(舍去). 所以PH=,HD=. 所以tan∠HDP=tan∠BEF=. 所以BF=3.

    解法10 如圖12,分別延長(zhǎng)DP,AB交于點(diǎn)G,則△GPE∽△GAD. 所以==. 設(shè)PG=x,則AG=3x,EG=3x-4,DG=3(3x-4). 于是3(3x-4)=12+x,解得x=3. 又△EPG≌△EBF,所以BF=PG=3.

    解法11 如圖13,延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)G,連接EG. 可證△EBG≌△EPG,于是tan∠BEG=tan∠ADE=,所以BG==PG,GC=. 所以GD=. 又△GPF∽△GCD,所以=,解得GF=. 所以BF=3.

    解法12 如圖14,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF交AD于點(diǎn)G,則EG∥DP. 可證EG=DG,設(shè)EG=DG=x,則AG=12-x. 在Rt△AEG中運(yùn)用勾股定理,得x2=42+(12-x)2,解得x=. 所以AG=. 又△GAE∽△EBF,所以=. 所以BF=3.

    評(píng)析 解法6至解法12,由矩形的特殊性、折疊產(chǎn)生直角,以及對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線,構(gòu)造“K”形、“十字架”形、“斜交”形等相似模型,為邊角溝通架構(gòu)橋梁,解決問(wèn)題.

    解法13 如圖15,連接DF,設(shè)BF=x,PF=y,則CF=12-x. 在Rt△BEF中運(yùn)用勾股定理得x2+42=(4+y)2,在Rt△PFD和Rt△CFD中運(yùn)用勾股定理得y2+122=(12-x)2+82,解得x=0(舍去)或x=3. 所以BF=3.

    評(píng)析 解法13通過(guò)直接設(shè)元,以直角三角形為載體,利用勾股定理建立方程,凸顯方程思想.

    解法14 如圖16,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,8),D(12,8),E(0,4),直線DE的解析式為y=x+4. 所以直線AP的解析式為y=-3x+8. 可求得兩直線的交點(diǎn)為,,所以P,. 所以直線EF的函數(shù)解析式為y=-x+4. 所以F(3,0). 所以BF=3.

    評(píng)析 解法14借助平面直角坐標(biāo)系解題,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美轉(zhuǎn)化,線段長(zhǎng)通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.

    縱觀以上解法可以發(fā)現(xiàn),問(wèn)題解決的關(guān)鍵是挖掘邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系,重在考查學(xué)生從形的角度突破,從數(shù)的角度解決問(wèn)題的基本技能和基本路徑. 當(dāng)然,解決本題時(shí),重在圖形的構(gòu)造,那如何構(gòu)造呢,關(guān)鍵是抓住題眼,如中點(diǎn)的聯(lián)想、折痕的本質(zhì)、矩形中直角的價(jià)值等.

    教學(xué)啟示

    1. 以題固知,關(guān)注折疊之不變

    解決折疊類幾何綜合題是建立在足夠的知識(shí)積累基礎(chǔ)上的,因此,教學(xué)時(shí)要以題固知,關(guān)注折疊之不變;要依托題目不斷進(jìn)行相關(guān)重點(diǎn)知識(shí)、規(guī)律、基本圖形、常用輔助線的再回顧與鞏固,這樣才能具備聯(lián)想轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ),才能厚積薄發(fā).

    如教學(xué)本題時(shí),首先可以結(jié)合條件觀察圖形,并設(shè)置引導(dǎo)性問(wèn)題“圖中有哪些熟悉的基本圖形(模型)”“圖中哪些線段已知,哪些線段可求” 等,從而依托題目回顧并鞏固學(xué)生在初中幾何學(xué)習(xí)中涉及的重點(diǎn)知識(shí),如“翻折”是全等變換,而折疊的本質(zhì)是軸對(duì)稱,所有對(duì)應(yīng)的元素滿足軸對(duì)稱性質(zhì);相似的基本圖形;倍長(zhǎng)中線等.

    其次,不管折疊的背景如何變化,要讓學(xué)生感知折疊之不變,尤其是對(duì)稱軸在折疊過(guò)程中體現(xiàn)的幾何性質(zhì)——角平分線與中垂線性質(zhì). 以此為基礎(chǔ),滲透方法:①標(biāo)(相關(guān)等線段、角),②表(未知線段)(設(shè)參數(shù),用工具,如相似、勾股定理、三角函數(shù)等),③求(建立方程,同時(shí)關(guān)注基本幾何模型構(gòu)造,如等腰三角形、“十字架”模型等). 由此抓住圖形變化過(guò)程中的本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

    2. 以題強(qiáng)能,關(guān)注折疊之變

    折疊類幾何綜合題中題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系往往較為隱蔽,因此教學(xué)時(shí)要以題強(qiáng)能,關(guān)注折疊之變,注重讀題、析圖能力的培養(yǎng)與強(qiáng)化,這是關(guān)鍵.

    教學(xué)時(shí),首先要關(guān)注學(xué)生如何讀題思考,讓他們學(xué)會(huì)審題. 如本題教學(xué)時(shí)可以設(shè)置“由折疊這一條件,你可以得到哪些結(jié)論”“由中點(diǎn)這一條件,你想到了什么”等引導(dǎo)性問(wèn)題,從而有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生抓熟悉的圖形、特定條件聯(lián)想、類比對(duì)應(yīng)模型的思維方法,尋找“新”問(wèn)題與“舊”模型之間的關(guān)聯(lián).

    其次,要不斷地滲透解決此類問(wèn)題的最佳路徑,即讓學(xué)生真正體會(huì)到折疊之變的規(guī)律:一變折疊對(duì)象,不能局限于矩形、正方形,實(shí)際上三角形、圓、其他規(guī)則圖形中都可以設(shè)計(jì)出折疊問(wèn)題;二變折痕位置,通過(guò)折痕位置的變化,構(gòu)造出不同的折疊后圖形,從而形成不同形式的問(wèn)題鏈;三變折疊次數(shù),進(jìn)一步豐富圖形組合. 教學(xué)過(guò)程中,若能緊抓“三變”,必能讓學(xué)生把理解的知識(shí)、形成的基本技能遷移到不同的情境中,促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、方法的進(jìn)一步內(nèi)化.

    3. 以題展思,關(guān)注折疊之設(shè)計(jì)

    折疊問(wèn)題類型眾多,具有“一題多解、多變”的特點(diǎn),教學(xué)時(shí)可以“以題展思”,關(guān)注折疊之設(shè)計(jì),持續(xù)關(guān)注思維方式方法的拓展,這是核心.

    首先,既要注重變中的不變,也要注重變化中的聯(lián)系.

    如本題,毫無(wú)疑問(wèn),從(1)問(wèn)到(2)問(wèn),從圖1到圖2,兩者之間肯定有密切的聯(lián)系. 所以,教學(xué)時(shí)我們不妨讓學(xué)生先比較一下兩個(gè)圖形的變化和聯(lián)系,找一找兩個(gè)問(wèn)題的共性. 容易發(fā)現(xiàn),如圖17,連接AP,線段AP依然可求;過(guò)點(diǎn)P作GH∥BC,分別交AB,CD于點(diǎn)G和點(diǎn)H,依然有“一線三等角”模型;∠GEP依然等于∠ADP;很多三角形之間的關(guān)系依然存在……

    當(dāng)然,圖形的變化也帶來(lái)了一些新的關(guān)系、模型. 當(dāng)學(xué)生對(duì)圖形和問(wèn)題已經(jīng)熟悉后,我們就可以引導(dǎo)學(xué)生有序地從多方面尋求解決問(wèn)題的思路和方法了. 如求線段的長(zhǎng)度可以從勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等方面入手.

    其次,要注重學(xué)生的自主變式設(shè)計(jì). 好的思維方法應(yīng)該像“鹽”,但不能光吃“鹽”,最好的方式是將“鹽”溶解到各種食物中自然而然地吃. 在教學(xué)中,若能開展折疊問(wèn)題探究,那對(duì)折疊問(wèn)題的本質(zhì)理解必能事半功倍. 教學(xué)時(shí)可從以下幾個(gè)角度來(lái)實(shí)施:一是給出折疊圖形,讓學(xué)生添加條件解決問(wèn)題;二是給定折痕,讓學(xué)生思考折疊后對(duì)應(yīng)點(diǎn)落的位置變化;三是改變問(wèn)題形式,由求線段的長(zhǎng)走向問(wèn)題的多樣性. 真正讓學(xué)生獲取折疊問(wèn)題思考的“序”,從而獲取解決問(wèn)題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

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