透析初中數(shù)學折疊問題的特點和方法

吳貴霞

【摘要】 折疊問題是初中數(shù)學學習的一個重要專題，也是近幾年中考的考試熱點，此類型題目是屬于圖形變換中軸對稱變換的有關(guān)問題，不僅能考查學生的抽象思維能力，而且能考查學生對數(shù)學知識的轉(zhuǎn)化能力，更重要的是培養(yǎng)學生綜合分析問題的能力。

【關(guān)鍵詞】 折疊 軸對稱變換 基本活動經(jīng)驗

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）06-029-01

瀏覽一下近幾年浙江各地的中考試題，可以看到有關(guān)翻折或旋轉(zhuǎn)的試題在各種考題中頻頻出現(xiàn)，可見圖形變換在中考中的地位是非常重要，一些專家的講座中也多半利用圖形的變換設計例題進行講解。在初中的幾何學習中，學生往往對折疊的實質(zhì)理解不透徹，導致對這類問題失分嚴重，本文通過初中數(shù)學中經(jīng)常涉及的幾種折疊的典型問題的剖析，從中概括出基本圖形的規(guī)律，找到解決的常規(guī)方法。

一、折疊圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀和大小不變，是全等圖形，所以有對應邊相等，對應角相等

1. 如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC邊的中點，將C點折疊至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ，則PQ= _________.

2.如圖，在一張長方形的紙片ABCD中，AD=25cm，AB=20cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點.現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH的大小及EG的長（精確到0.1cm）。

解題策略：以上兩小題都是比較基礎的題目，通過折疊中全等圖形對應邊和對應角相等的知識就能很快解出題目的答案，如（1）中由折疊可得△BNP≌△BCQ，可得BP=BC=2BN，所以∠BPN=30°，∠PBN=60°，∠QBC=∠PBQ=30°，所以PQ=CQ=BC*tan30°；（2）中由折疊可得△AFG≌△ABH，可得AB=AG=2AF，所以∠GAB=60°，∠BAH=30°，∠DAH=60°，EG=EF-GF=25-10*1.732=7.7.

二、折疊問題求線段可以用設所求的線段為x，運用勾股定理列方程思想求解

1.如圖，一張矩形紙片ABCD的長AD=8 cm，寬AB=4 cm，現(xiàn)將其折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，求BE的長是 cm，折痕EF的長是 cm.

解題策略：設BE=x，則AE=8-x，在RT△ABE中用勾股定理列出方程求解即可。

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F.連接DE，求DF的長度為 。

解題策略：先證AF=CF，設DF=x，則AF=4-x，在RT△ADF中用勾股定理列出方程求解。

三、在矩形（紙片）折疊問題中，重疊部分是一個等腰三角形，底角相等可以由角平分線和平行線性質(zhì)得出

1. 如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F.連接DE，（1）判斷△ACF是什么三角形，并說明理由；（2）求證：DE//AC.

解題策略：由折疊可得∠BAC=∠FAC，由AB//CD可得∠DCA=∠BAC，所以∠FAC=∠DCA，可證AF=CF，△ACF是等腰三角形；由（1）得AF=CF，AE=CD，所以DF=EF，可得DF：CF=EF：AF，又因為∠AFC=∠DFE，所以△ACF與△DEF相似，繼而得出∠ACF=∠EDF，所以DE//AC.

四、折疊問題實質(zhì)上是軸對稱變換，折痕就是對稱軸，對稱軸是對稱點的連線的垂直平分線

1.如圖AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直線AD折疊，點C落在點C`處，連結(jié)BC`，那么BC`的長為_____________。

解題策略：連結(jié)CC`交于O，則折痕AD垂直平分CC`，OD為△BCC`的中位線，BC`=2OD=CD=3.

2. 如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE. （1）求證：（1）四邊形AFCE是菱形； （2）若AB=8cm，BC=16，求△ABF的周長。

解題策略：方法一，由等角對等邊可證AF=AE，同理CF=CE，可證AF=FC=CE=AE，四邊形AFCE是菱形；方法二，因為折痕EF垂直平分AC，而AE=AF，由等腰三角形三線合一可證AC也垂直平分EF，所以四邊形AFCE是菱形。

以上是筆者在這一輪初三復習中總結(jié)概括的一些特點和方法，雖然列舉的是小題目，但是可以以小見大，從小題目中積累的方法同樣適用大題目，在講解折疊問題的時候，仔細分析發(fā)現(xiàn)學生做不出來的原因大多是對折疊的特點了解不透徹，學生動手能力和空間想象能力差，繼而就不敢大膽的猜想和論證，這些方面的原因，其實受傳統(tǒng)的“以教師的講解為主、以題練題”的數(shù)學教學思想影響，所以我認為在中考復習方法的探究上，對學生在解題方法的引導和總結(jié)時更重要的是讓學生來總結(jié)和分享。

總之，在解決折疊問題時，首先要對圖形折疊有一定準確定位，借助方程思想和構(gòu)造直角三角形的思想，把握對稱的性質(zhì)，抓住圖形之間的軸對稱變換，進一步挖掘圖形的數(shù)量關(guān)系，折疊問題就能輕松解決。

[參考文獻]

[1] 全日制義務教育數(shù)學課程標準.

[2] 欒春霞.數(shù)學課程論與數(shù)學課程教材改革.教育部師范教育司組織評審.