習題靈活變式 實現(xiàn)融會貫通

高海軍

摘? ?要：借助對一道練習題的解答情況進行深度分析和變式拓展，讓學生感受一題多變、多解歸一、建構(gòu)模型、思想內(nèi)化等解題策略，促進學生深度思考，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的綜合能力，進而提升學生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：等邊三角形;共點;變式;模型

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2021）32-0053-03

解題是數(shù)學學習的核心內(nèi)容和最基本的思維活動形式，貫穿于整個數(shù)學學習的始終。本文借助一道教材課后習題解答的深度分析，挖掘內(nèi)在本質(zhì)，靈活變式條件，激發(fā)學生數(shù)學解題思維，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、題目呈現(xiàn)

已知 如圖1，△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證DC=BE.

本題是新人教版八年級下冊《數(shù)學》第十三章平行四邊形復習題鞏固綜合運用第12題，是學生學習了全等三角形、軸對稱、等腰三角形、等邊三角形知識后的一道綜合運用題，需要學生靈活運用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定條件來解決，中等難度。

（一）解決策略

思考：如何證明DC=BE，圖形結(jié)構(gòu)上有什么特點？

基本思路：利用學生已掌握的等邊三角形性質(zhì)，以及圖形特點，容易得到三角形全等的條件，再證明△ADC、△ABE全等即可。

規(guī)范解答：

（二）拓展問題

結(jié)合圖形進一步思考，挖掘新問題讓學生計算∠BPC的度數(shù)，培養(yǎng)學生解決問題的基本能力。

分析：計算∠BPC的度數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為計算∠DPB的度數(shù)，由三角形全等可獲得∠ADC=∠ABE，又有對頂角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可以推出∠DPB=∠DAB=60°，從而算出∠BPC=120°.

二、共線共頂點變式

如圖2，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和△BCE，連接AE交DC于點M，連接BD交CE于點N，連接MN.

反思：此環(huán)節(jié)是學生在已掌握基本思維和方法的基礎上，通過三個問題的設計，進一步鞏固加強學生對圖形變換后解決問題和分析問題的能力培養(yǎng)，有助于學生內(nèi)化為自己的邏輯思維.

三、能力提升變式

如圖3 若BD與AE相交于點P，連接CP，判斷下列結(jié)論正確與否，對的打“√”，錯的打“×”。

此環(huán)節(jié)設計的意圖是：對基本圖形進行簡單變換，挖掘更深層次的問題，可以很大程度提高學生分析問題、解決問題的能力，激發(fā)學生創(chuàng)造性思維和好奇心。通過前面的講解，學生容易把①②③④⑤問題判斷出來， 問題⑥重點考查學生的綜合能力，通過三角形全等可推理得到面積相等，由AE=BD可得這兩條邊上的高相等，再結(jié)合角平分線的判定定理，可以證明出CP平分∠APB .

四、共點等腰三角形變式

如圖4，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，

AD、BE相交于點H，連接CH.

求證：（1）AD=BE;（2）HC平分∠AHE;

（3）求∠AHE的度數(shù)（用含α的式子表示）.

（1）證明：

此題設計意圖：發(fā)掘共性問題，由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，可進一步提升學生的思維能力，圖形意識。

五、小試身手 學以致用

六、反思解題過程，內(nèi)化數(shù)學經(jīng)驗，探尋共性問題

由教材的習題入手，深入挖掘問題本質(zhì)，通過條件、問題、圖形進行變式，發(fā)現(xiàn)它們的共性。它們的本質(zhì)就是共頂點、等線段，全等圖形之間的旋轉(zhuǎn)變換，都可以看成一個三角形旋轉(zhuǎn)得到另一個三角形，這一類問題所凸顯出來的共同問題是都可以用邊角邊定理判定兩個三角形全等。在教學中，我們學要會讓學生抓基礎圖形，探索已知條件和問題之間的關(guān)系，結(jié)合圖形的基本性質(zhì)，幫助學生分析問題和解決問題，從而提高學生的幾何邏輯推理能力。

七、結(jié)語

解題教學不能就題講題，泛泛而談，應努力挖掘題目背景所承載的知識、思想、經(jīng)驗，以及數(shù)學核心素養(yǎng)。我們在分析問題時，要重視數(shù)學思想方法的引領(lǐng)作用，在解題過程的反思中，讓學生真正參與深度思考和交流，不斷地提煉、整合、內(nèi)化活動經(jīng)驗，形成優(yōu)化的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，然后將這種經(jīng)驗遷移到變式的問題中進行檢驗、應用，從而提高學生的學習效率，提升學生的核心素養(yǎng)。