淺談幾何證明題中輔助線的“無中生有”

【摘要】輔助線對于剛接觸幾何的學(xué)生來說非常陌生，為什么需要添加輔助線？怎么添加輔助線？都是學(xué)生所困惑的地方，它不是從天而降，而是學(xué)生根據(jù)已有的研究“垂直的判定”的經(jīng)驗(yàn)以及“三線八角”的基本圖形內(nèi)化而來的，教師在教學(xué)過程中要最大限度地揭示該條輔助線產(chǎn)生的過程及必要性，讓學(xué)生體會(huì)輔助線怎樣在問題中“無中生有”，授人以魚不如授人以漁，彰顯這條輔助線的教育價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】輔助線、三線八角、基本圖形、教材整合.

【課題】

1.“基本圖形”在初中幾何教學(xué)中的滲透策略研究;課題號L/2018/250.

2.波力亞解題思想在初中幾何命題教學(xué)中的實(shí)踐和延伸;課題號L/2018/251.

筆者在南京市教研室組織的初中數(shù)學(xué)案例設(shè)計(jì)大賽的教學(xué)研究課展示活動(dòng)中，開設(shè)了研究課“平行線的判定”.本文對這節(jié)課的教學(xué)價(jià)值、教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)反思進(jìn)行梳理，目的是與同行交流.

一、基于價(jià)值判斷的教學(xué)分析

平行線的判定是平面幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，它是研究幾何圖形數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)簡單的邏輯推理的素材，也是后續(xù)學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)、三角形、四邊形等知識的基礎(chǔ).

平行線的判定有三種方法，其中“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”（以下簡稱判定方法1）是另外兩個(gè)判定方法的理論依據(jù)，所以判定方法1就顯得尤為重要.目前，在初中幾何學(xué)習(xí)的體系中，將判定方法1作為“基本事實(shí)”，符合初一學(xué)生的思維水平，但由于缺乏必要的邏輯說理，很難讓學(xué)生在平面幾何學(xué)習(xí)之初就形成“言之有理，落筆有據(jù)”的觀念，因此在教學(xué)的過程中應(yīng)更加注重得到這一基本事實(shí)的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力.另外，該方法中出現(xiàn)的第三條直線（輔助線）具有歷史性的意義，它是初中幾何中的第一條輔助線，輔助線對于剛接觸幾何的學(xué)生來說非常陌生，為什么需要添加輔助線？怎么添加輔助線？都是學(xué)生所困惑的地方，它不是從天而降，而是學(xué)生根據(jù)已有的研究“垂直的判定”的經(jīng)驗(yàn)以及“三線八角”的基本圖形內(nèi)化而來的，教師在教學(xué)過程中要最大限度地揭示該條輔助線產(chǎn)生的過程及必要性，讓學(xué)生體會(huì)輔助線怎樣在問題中“無中生有”，授人以魚不如授人以漁，彰顯這條輔助線的教育價(jià)值.

二、基于教學(xué)分析的活動(dòng)過程

1.同一平面內(nèi)的兩條直線

問題1 在同一個(gè)平面內(nèi)任意畫兩條直線.相交、垂直、平行.

追問1 如何判斷兩條直線垂直？

追問2 垂直的定義是什么？請完整敘述.90°（角的數(shù)量關(guān)系）——垂直（位置關(guān)系）

設(shè)計(jì)意圖：在畫圖的過程中，學(xué)生必然會(huì)調(diào)動(dòng)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫出“相交、垂直、平行”三種情形.一方面，可以自然出現(xiàn)本節(jié)課要研究的幾何對象——平行線;另一方面，畫垂直會(huì)用到三角板或量角器畫直角，這里其實(shí)就是用角的數(shù)量關(guān)系刻畫線的位置關(guān)系，再通過教師的提煉就可以形成一些數(shù)學(xué)化的認(rèn)識，為后期的研究埋下伏筆.垂直的定義既是判定也是性質(zhì)，也是我們研究幾何圖形的一般路徑.垂直定義語言敘述中要強(qiáng)調(diào)“兩直線相交所成的角中……”，重視“形結(jié)構(gòu)”的文字描述，亦為后續(xù)“平行判定”完整的文字?jǐn)⑹龃蛳路P.

2.探究平行線的判定方法

問題2 如何判斷兩條直線平行呢？

追問1 關(guān)于平行知道什么？可以用定義加以判斷嗎？

追問2 你會(huì)畫平行線嗎？（請學(xué)生上黑板演示，并將磁性三角板、直尺貼在黑板上，為后續(xù)教學(xué)做準(zhǔn)備.）

追問3 能說出用直尺和三角板推平行的依據(jù)嗎？

追問4 還有其他判斷方法嗎？

追問5 有判斷位置關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)嗎？

追問6 從數(shù)量關(guān)系來判斷兩直線是否平行可行嗎？兩條平行線有數(shù)量關(guān)系嗎？若有，請指出;若沒有可否“構(gòu)造”出數(shù)量關(guān)系？

追問7 對于新構(gòu)圖你熟悉嗎？與“三線八角”圖有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：對于平行，學(xué)生已知的有定義和平行線的畫法，定義作為判定“不可靠”，用三角板和直尺推平行還停留在操作層面上，學(xué)生說不清其中的道理，多數(shù)會(huì)提到平移，但有了“垂直判定方法”“三線八角”的鋪墊，學(xué)生不難想到添一條線“尋角”，從而解決問題，這里要注意小結(jié)“三線八角”與判定1的一般與特殊的關(guān)系.

追問8 你有什么發(fā)現(xiàn)？如何驗(yàn)證你的猜想？

追問9 改變截線的位置，結(jié)論仍然成立嗎？

追問10 用運(yùn)動(dòng)的眼光觀察“三線八角”圖會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：從猜想、驗(yàn)證到歸納，是一個(gè)合情推理的過程，可以打下伏筆課后嘗試是否可以演繹推理得到該結(jié)論，視學(xué)情而定.

追問11 能否書寫判定方法1的文字、圖形、符號語言？

追問12 用彩筆將同位角的兩邊描一描，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

追問13 圖中還有其他的同位角得到兩直線平行嗎？用彩筆描出.

追問14 彩筆描出的這些圖形有什么特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：在判定1的文字語言表達(dá)中重視“形結(jié)構(gòu)”敘述的完整性“兩條直線被第三條直線所截……”教會(huì)學(xué)生如何使用彩筆描角，關(guān)注基本圖形.

追問15 再回想剛剛用三角板和直尺驗(yàn)證平行的過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能說明“推平行”的正確性嗎？直尺、三角板都分別有著怎樣的作用？將畫圖過程留痕，你能發(fā)現(xiàn)它與判定1之間的關(guān)聯(lián)嗎？補(bǔ)圖試試.

追問16 此刻，作平行線還一定要用直尺和三角板去推嗎？只用三角板可以嗎？不用三角板呢？

作業(yè)：請畫出一組平行線，并寫出畫圖工具的名稱（至少兩種方案）.

設(shè)計(jì)意圖：回到問題的最初，做到首尾呼應(yīng)，明確直尺、三角形的作用，讓操作抽象化、合理化.留下作圖痕跡亦做到了基本圖形的分離、構(gòu)造.如果說從怎么“畫”平行線到怎么“判定”平行線，需要將基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)認(rèn)識，那么從怎么“判定”平行線到“再畫”平行線，是知識應(yīng)用、分析問題、解決問題能力的提升，也進(jìn)一步打開了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

問題3

還能找到其他數(shù)量關(guān)系也可得到兩直線平行嗎？

追問1 除了能利用“同位角”判定兩條直線平行，還有沒有別的辦法？

追問2 能不能分別用圖形語言（用彩筆把相應(yīng)的角點(diǎn)出來）、文字語言和符號語言將你的想法寫下來？

追問3 你能說明理由嗎？

追問4 對于所羅列的角的數(shù)量關(guān)系可以進(jìn)行恰當(dāng)?shù)氖崂?，需對所有角進(jìn)行討論嗎？為什么只需對∠1，∠4進(jìn)行討論？

追問5 哪些角的數(shù)量關(guān)系可以用文字語言表示？它們的符號語言呢？

追問6 能否寫出判定2完整的證明過程（包括推理依據(jù)）？在學(xué)習(xí)單上用彩筆描出相應(yīng)的基本圖形.

追問7 能否寫出判定3完整的證明過程（包括推理依據(jù)）？在學(xué)習(xí)單上用彩筆描出相應(yīng)的基本圖形.

追問8 剩下的角的數(shù)量關(guān)系與已得到的判定方法之間有什么關(guān)系？

追問9 以上的這些判定方法是孤立的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：獨(dú)立畫圖思考，而后再和小范圍合作交流，最后是全班展示討論，這樣的過程，達(dá)到了思考的高效.在每個(gè)學(xué)生提出方法時(shí)，關(guān)注文字語言的概括性、符號語言的規(guī)范性，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)范證明，體會(huì)三種角（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）的關(guān)聯(lián)性，融通三種判定方法，感受轉(zhuǎn)化的思想;對于角的數(shù)量關(guān)系的討論，絕大多數(shù)學(xué)生是“撞大運(yùn)”或是從自己熟悉的角出發(fā)，這樣并不一定能思考全面，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生先思再找，學(xué)會(huì)分析問題并注重方法的優(yōu)化;這當(dāng)中，也一定會(huì)有學(xué)生提出“外錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行”等觀點(diǎn)，教學(xué)中也無須回避，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到“外錯(cuò)角相等”等價(jià)于“內(nèi)錯(cuò)角相等”“同旁外角互補(bǔ)”等價(jià)于“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，故而在公理化體系中可以簡省.

3.小 結(jié)

（1）輔助線的閃亮登場不是憑空而降的，它并不是高不可攀，是以前解決問題的經(jīng)驗(yàn)（數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化）的遷移、未知到已知的轉(zhuǎn)化.

（2）從角度的數(shù)量可以得位置，是否可以從線的數(shù)量得位置，等到八年級我們將繼續(xù)研究.

4.課堂練習(xí)

例1 請?jiān)趫D中添加一對角的平分線及角的數(shù)量關(guān)系使直線AB∥CD.

設(shè)計(jì)意圖：平行線判定方法的直接應(yīng)用，并把前面所學(xué)的角平分線及垂直相結(jié)合.

例2 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？

讓學(xué)生嘗試著進(jìn)行“三段論”的書寫.

設(shè)計(jì)意圖：本題是判定1的特殊化，嘗試用波利亞的“怎樣解題”理論呈現(xiàn)思考過程，讓學(xué)生體會(huì)幾何解題的一般思路.用彩筆勾畫基本圖形.

三、基于教學(xué)活動(dòng)的反思

1.基于學(xué)情進(jìn)行合理的教材整合

蘇科版教材對于“平行線的判定”是分成兩個(gè)課時(shí)，判定1一個(gè)課時(shí)，判定2、3為一個(gè)課時(shí).判定1是從同位角出發(fā)，而課堂實(shí)踐中也有學(xué)生一開始就從內(nèi)錯(cuò)角或者同旁內(nèi)角著手，所以基于學(xué)情也可以在教學(xué)時(shí)做出教材整合的選擇.教材是教與學(xué)的基本依據(jù)和基礎(chǔ)載體，是最主要最重要的課程資源，它需要教師去“用”，教師既要尊重教材，又不應(yīng)拘泥于教材，要對教材進(jìn)行合理的整合，創(chuàng)造性地使用教材，有效地激活教材知識，真正體現(xiàn)“用教材教”[1].

2.關(guān)注學(xué)情用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)推動(dòng)思維的發(fā)展

學(xué)生有“垂直”的研究經(jīng)驗(yàn)作基石，不難想到由“數(shù)量關(guān)系”推得“位置關(guān)系”，再加上前一節(jié)課“三線八角”的學(xué)習(xí)也為本節(jié)內(nèi)容打下了知識基礎(chǔ)，在研究“平行線的判定”時(shí)是可以找到突破口的，本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐也得以驗(yàn)證.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是引導(dǎo)者與組織者，教師需要做的是更好地為主體服務(wù)，這就需要教師了解我們的主體，知道他們的“最近發(fā)展區(qū)”，加以引導(dǎo)，并擴(kuò)大他們的認(rèn)知圈，為推動(dòng)下一步的思維發(fā)展打下基礎(chǔ)[2].

3.重視基本圖形的積累、加強(qiáng)結(jié)論證明的書寫能力

筆者在本節(jié)課中用彩筆反復(fù)勾畫“三線八角”，同時(shí)不斷進(jìn)行幾何三種語言的互譯，這在幾何教學(xué)中都是非常重要的.基本圖形一般分為兩種： 平面幾何中的定義、基本事實(shí)及定理所對應(yīng)的圖形可以稱之為理論型基本圖形;重要的例題和習(xí)題所對應(yīng)的圖形可以稱之為經(jīng)驗(yàn)型基本圖形.前者所對應(yīng)的圖形往往是最基礎(chǔ)的基本圖形，為此教師必須十分重視，后者往往是由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡單的理論型基本圖形組合而成的，是以前者的積累為基石的.所以我們在教學(xué)中要不斷地幫助學(xué)生梳理、提煉基本圖形，也可以鼓勵(lì)學(xué)生自己去研究圖形，發(fā)現(xiàn)平面幾何的基本圖形，在學(xué)生的知識儲備中形成更大知識網(wǎng)，建構(gòu)其自己的圖形體系，進(jìn)而提高其分析問題的效率及學(xué)習(xí)興趣.在基本圖形的教學(xué)中要有意識地訓(xùn)練學(xué)生對基本圖形結(jié)論的“三段論”書寫，可稱為“幾何小定式”，提高他們的書寫能力，避免出現(xiàn)幾何語言表述的不完整、混亂，真正做到言之有理、落筆有據(jù)[3].

幾何證明中輔助線的添加在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一直是難點(diǎn)，但“授之以魚不如授之以漁”，學(xué)生一旦掌握了學(xué)習(xí)方法，將終身受益.掌握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法就能把握好數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)容，學(xué)習(xí)效果就會(huì)事半功倍[1].因此，作為一名數(shù)學(xué)教師，在平常的教學(xué)中應(yīng)教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生自我發(fā)展，掌握分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，這也是我們教師在教學(xué)中所期望的，在今后的教學(xué)中筆者將做更多的嘗試.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李燕，楊文君.活化教材，整合內(nèi)容，讓教材“活”起來：以《比的認(rèn)識》教學(xué)為例[J].教育觀察（下半月），2015（18）：53，57.

[2]秦曉.例談初中幾何證明中“輔助線的自然生成”[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（11）：42-44.

[3]孫莉.淺談基本圖形分析法在幾何證明題中的應(yīng)用：以2018南京中考第20題為例[J].