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    如何提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益

    2020-12-24 07:56林祖燦
    關(guān)鍵詞:主導(dǎo)提高效益

    林祖燦

    【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是以學(xué)生為主體,以教師為主導(dǎo)的.教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思考的過(guò)程中,師生可以互相討論,互相交流,互相切磋,產(chǎn)生思維碰撞,共同探究知識(shí)間的來(lái)龍去脈以及知識(shí)的形成過(guò)程,學(xué)生從中構(gòu)建自己的知識(shí)體系,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想、方法,掌握解題思路、技巧,總結(jié)解題規(guī)律,舉一反三,融會(huì)貫通,靈活運(yùn)用,達(dá)到“做一題通一類”的目的,進(jìn)而提高課堂教學(xué)效益.

    【關(guān)鍵詞】主體;主導(dǎo);思考;運(yùn)用;提高;效益

    數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要以高考考點(diǎn)為主線,以數(shù)學(xué)問(wèn)題為導(dǎo)向,以問(wèn)題形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生及形成過(guò)程.教師通過(guò)對(duì)同一考點(diǎn)的考題進(jìn)行變式講解,

    引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題積極思考,

    有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握.師生可以互相討論,互相交流,促學(xué)促進(jìn),共同提高,共同探究知識(shí)間的來(lái)龍去脈,學(xué)生從中形成自己的知識(shí)體系,從而掌握所學(xué)的知識(shí)及方法.下面,結(jié)合下面教學(xué)實(shí)際談?wù)勅绾翁岣邤?shù)學(xué)課堂教學(xué)效益.

    一、加強(qiáng)“雙基”教學(xué),進(jìn)行變式訓(xùn)練

    教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,加強(qiáng)“雙基”教學(xué),進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練,指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)把已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論,再把數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為求解問(wèn)題,使學(xué)生領(lǐng)會(huì)解題方法與技巧,并對(duì)題目的已知條件與求解問(wèn)題中產(chǎn)生的一些可能變化情況進(jìn)行探究,一題多變,一題多解,變式訓(xùn)練,從而達(dá)到“做一題通一類”的目的,這樣可以勝過(guò)做大量習(xí)題,并可以使學(xué)生更好地掌握知識(shí)點(diǎn),熟練解題方法,達(dá)到意想不到的效果.

    例1(2003年河南高考題第20題改編)已知c>0,設(shè)命題A:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減,命題B:不等式x2-x+12c>0的解集為R,如果命題A和B都正確,求c的取值范圍.

    解析由已知可得,命題A為真,則012.畫出數(shù)軸可知,如果命題A和B都是真命題,那么12

    例2(2013江西高考題理科第17題改編)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn2-(n2-1)Sn-n2=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

    解析由已知Sn2-(n2-1)Sn-n2=0得,(Sn-n2)(Sn+1)=0.由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,Sn>0,Sn=n2.于是a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.綜上,數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n-1.如果把已知條件進(jìn)行變換,見(jiàn)例3.

    例3已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:an2-(n2-1)an-n2=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

    解析根據(jù)題意得,(an-n2)(an+1)=0,

    ∵an>0,∴an=n2.

    例4(2019全國(guó)1高考題理科第21題改編)為了治療某種傳染病,研制了A,B兩種新藥.要了解哪種新藥更有效,進(jìn)行了果蠅動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只果蠅對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只果蠅,隨機(jī)選一只施以A藥,另一只施以B藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的果蠅比另一種藥治愈的果蠅多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便說(shuō)明問(wèn)題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以A藥的果蠅治愈且施以B藥的果蠅未治愈,則A藥得1分,B藥得-1分;若施以B藥的果蠅治愈且施以A藥的果蠅未治愈,則B藥得1分,A藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.A,B兩種藥的治愈率分別記為m和n,一輪試驗(yàn)中A藥的得分記為ξ.求ξ的分布列.

    解析ξ的所有可能取值為-1,0,1,P(ξ=1)=m(1-n),P(ξ=0)=(1-m)(1-n)+mn,P(ξ=-1)=(1-m)n.如果把題設(shè)與結(jié)論進(jìn)行變換,進(jìn)行一題多變,一題多練,變式訓(xùn)練,那么能達(dá)到靈活應(yīng)變的目的.

    例5(2008全國(guó)1高考題理科第20題改編)已知5只果蠅動(dòng)物中有1只患有某種傳染病,需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的果蠅動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病果蠅動(dòng)物,呈陰性的即沒(méi)患病.下面是兩種化驗(yàn)方法:方案A:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病果蠅動(dòng)物為止.方案B:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽(yáng)性,則表明患病果蠅動(dòng)物為這3只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病果蠅動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性,則在另外2只中任取1只化驗(yàn).X表示依方案B所需化驗(yàn)次數(shù),求X的分布列.

    解析X的可能取值為2,3.P(B1)=C34C35+C24C35·C13=35,P(B2)=25,P(X=2)=P(B1)=35,P(X=3)=P(B2)=25,

    所以EX=2×35+3×25=125=2.4(次).對(duì)于同一類題的解題套路是完全相同的.教師在課堂教學(xué)時(shí),應(yīng)當(dāng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練,運(yùn)用類比的方法,弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系,以一變應(yīng)萬(wàn)變,舉一反三,融會(huì)貫通.抓基礎(chǔ)知識(shí)就是抓好數(shù)學(xué)課本習(xí)題的變式訓(xùn)練,抓基本技能就是抓好將數(shù)學(xué)已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論.在課堂教學(xué)中,要讓學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)解題方法與技巧,這對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是至關(guān)重要的.

    二、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),滲透數(shù)學(xué)思想

    教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,要抓住教材中的知識(shí)點(diǎn),將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái),使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)去解題,總結(jié)解題規(guī)律,掌握解題套路,引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈,從而形成自己的知識(shí)體系,學(xué)會(huì)在面對(duì)不同的題型時(shí)采用不同的解題方法.

    例1若函數(shù)f(x)=sin2x+mcos2x的圖像關(guān)于直線x=-π8對(duì)稱,則m=.

    解析依題意得,取f(0)=f-π4,則m=-1.本題利用對(duì)稱的知識(shí)選擇特殊值進(jìn)行解題,避免了煩瑣的計(jì)算,而且不容易出錯(cuò).解題時(shí),學(xué)生應(yīng)根據(jù)題目的已知條件選擇合適的特殊值,因題而異,舉一反三,觸類旁通,達(dá)到“豁然開(kāi)朗”的目的.

    例2(陜西高考12改編)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有().

    A.x+23=[x]B.[-x]=-[x]

    C.[x]+x+23=[3x]

    D.[3x]=3[x]

    解析取特殊數(shù)值x=13,排除A,B,D,故選C.

    例3(北京高考6改編)已知{an}為等比數(shù)列,下列結(jié)論正確的是().

    A.若a1=a3,則a1=a2

    B.若a3>a2,則a4>a3

    C.a1+a3≥2a2

    D.a21+a23≥2a22

    解析取特殊數(shù)列-1,1,-1,1,…,排除A,C,取特殊數(shù)列1,-2,4,-8,…,排除B,故選D.

    例4過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若AF,BF的長(zhǎng)分別為a,b,則1a+1b=().

    A.14pB.4p

    C.2pD.2p

    解析取特殊位置線段AB為通徑時(shí),則a=b=p,故選D.

    例5(湖南高考6改編)已知e1,e2是單位向量,e1·e2=0,若向量a滿足|a-e1-e2|=1,則|a|的取值范圍是().

    A.[1,2+2]

    B.[1,2+1]

    C.[2-1,2+2]

    D.[2-1,2+1]

    解析取特殊向量e1=(0,1),e2=(1,0),則|a-(1,1)|=1,轉(zhuǎn)化為a=(x,y)在以(1,1)為圓心,以1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng),而|a|表示圓周上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,故選D.

    高考試題具有設(shè)置巧妙、計(jì)算量不大、“秒殺”時(shí)易錯(cuò)的特點(diǎn).對(duì)于容易題可以用直接法;對(duì)于與幾何圖形有關(guān)的題,應(yīng)先畫出圖形,再用數(shù)形結(jié)合的方法或者幾何法;對(duì)于難度比較大的題,經(jīng)常使用一些解題技巧,同時(shí)注意結(jié)合圖形,多思少算.高考試題減少了計(jì)算量,增加了學(xué)生的邏輯思維與推理能力的考查,考查學(xué)生觀察、分析、判斷、比較的能力.這類題采用特殊值法比較容易計(jì)算,如果用一般解法就要通過(guò)繁雜計(jì)算.但采用特殊值法解題時(shí)應(yīng)注意:(1)所采用的特殊值要方便計(jì)算,而且要符合題目的已知條件;(2)特殊只能用于否定一般,不能用于肯定一般;(3)用特殊值法解選擇題時(shí),當(dāng)選取某一特殊值出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的答案都正確時(shí),要根據(jù)已知條件再選一個(gè)特殊值代入驗(yàn)證,直到找到正確唯一的答案為止.解答選擇題、填空題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的已知條件與求解問(wèn)題,選擇合適的特殊值,這是解答選擇題、填空題的基本方法.在課堂教學(xué)時(shí),教師應(yīng)有意識(shí)地根據(jù)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)編寫題目,進(jìn)行有的放矢的訓(xùn)練,這樣學(xué)生不僅鞏固了知識(shí)點(diǎn),而且掌握了方法,從而有效提高課堂教學(xué)效益.

    三、倡導(dǎo)通性通法,淡化解題技巧

    高考試題一般有多種解題方法,但千變?nèi)f化都離不開(kāi)通性通法.教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)立足于通性通法,淡化解題技巧.高考試題最大的特點(diǎn)是靈活且新穎,可適當(dāng)選擇分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等來(lái)解題.在數(shù)學(xué)課堂中,學(xué)生應(yīng)根據(jù)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)題型,歸納解題方法,進(jìn)行一題多變,一題多練,變式訓(xùn)練,從而掌握不同題型的不同解題套路.

    例1(湘教版高中數(shù)學(xué)選修1-1課本第79頁(yè)19題改編)設(shè)直線l與拋物線y2=mx(m>0)交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),其中y1>y2,(1)若OM·ON=0,MN·Ox=0,求l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)l經(jīng)過(guò)P時(shí),總有OM·ON=0成立?

    解析(1)根據(jù)對(duì)稱性,M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,由題意得,x1=x2,y1=-y2,x1=y1=m,l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(m,0),(2)存在定點(diǎn)P(m,0),使得當(dāng)l經(jīng)過(guò)P時(shí),總有OM·ON=0成立,設(shè)l:x=ty+m,與拋物線y2=mx(m>0)聯(lián)立得:y2-mty-m2=0,由韋達(dá)定理得:y1+y2=mt,y1y2=-m2,

    ∴OM·ON=x1x2+y1y2=(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=(t2+1)y1y2+mt(y1+y2)+m2=0.因此存在P點(diǎn).學(xué)生通過(guò)對(duì)同一類題的變式訓(xùn)練,不僅掌握了知識(shí)點(diǎn),而且還明白了解題套路.

    例2(2004重慶高考題21改編)設(shè)直線my=x-4與拋物線y2=4x交于相異兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓C(C為圓心),試證:拋物線頂點(diǎn)在圓C的圓周上,并求m的值,使圓C的面積最小.

    例3(2005北京高考題18改編)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P(4,0)且斜率為k的直線l交拋物線y2=4x于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),(1)寫出直線l的方程,(2)求x1x2與y1y2的值,(3)求證:OM⊥ON.

    這類題解題思路完全相同,都運(yùn)用了拋物線的重要結(jié)論:設(shè)直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),若直線l過(guò)點(diǎn)(2p,0),則OM⊥ON.其逆命題也成立.因此,在數(shù)學(xué)課堂中,學(xué)生應(yīng)多留心課本中的一些重要結(jié)論,這樣解題時(shí)就能得心應(yīng)手,穩(wěn)操勝券.同時(shí),學(xué)生平時(shí)應(yīng)多閱讀高考試題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),做到推理有據(jù),環(huán)環(huán)相扣,規(guī)范書寫過(guò)程,避免“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的情形,做到“顆粒歸倉(cāng)”,達(dá)到“會(huì)而全對(duì),對(duì)而得滿分”的目的.

    總之,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師應(yīng)加強(qiáng)“雙基”教學(xué),對(duì)學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練.學(xué)生通過(guò)一題多變,一題多練,變式訓(xùn)練,鞏固所學(xué)的知識(shí)點(diǎn),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,弄清知識(shí)間的來(lái)龍去脈,形成自己的知識(shí)體系,總結(jié)不同題型的不同套路,歸納解題方法,從而達(dá)到熟練的程度.教師要提倡通性通法,淡化解題技巧,引導(dǎo)學(xué)生把已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)論,再把數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為求解問(wèn)題,這樣題目就迎刃而解了.教師要有目的地講解,給學(xué)生講明如何將題目的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式,再把數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為所求結(jié)論,從而達(dá)到求解目的,起到舉一反三,融會(huì)貫通的作用,做到考試時(shí)能夠快速而準(zhǔn)確的答題,從而提高課堂教學(xué)效益.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]鐘山.專題全解:高中數(shù)學(xué)思想與方法[M].北京:現(xiàn)代教育出版社,2009.

    [2]林新建.數(shù)學(xué)高考解題的“三化四策八關(guān)注”[M].廈門:廈門大學(xué)出版社,2015.

    [3]王欽敏.教材邊上好數(shù)學(xué)[M]福州:福建人民出版社,2014.

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