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    簡(jiǎn)析中考題探索線段長(zhǎng)度問(wèn)題的求解策略

    2020-12-24 07:56趙福
    關(guān)鍵詞:中考題線段

    趙福

    【摘要】在初中的數(shù)學(xué)學(xué)科中,關(guān)于幾何部分,學(xué)生主要學(xué)習(xí)平面圖形,而線段是構(gòu)成平面圖形的要素,因此解析初中幾何時(shí),學(xué)生必須熟練掌握線段長(zhǎng)度的解決方法.在中考中,幾何計(jì)算占比較大,屬于重點(diǎn)得分項(xiàng).本文就中考題中解析線段長(zhǎng)度的方法進(jìn)行分析,旨在為今后的教學(xué)提供幫助.

    【關(guān)鍵詞】中考題;線段;求解

    在初中階段,平面幾何為數(shù)學(xué)中的重點(diǎn),在考試中占比較大.而解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)最常見(jiàn)的是求解線段長(zhǎng)度.因此,本文就線段長(zhǎng)度的求解方式總結(jié)出以下方法.

    一、在一條線段上同時(shí)存在多條線段

    例1如圖1所示,已知線段AB的長(zhǎng)度為20,AC的長(zhǎng)度為7,求BC的長(zhǎng)度.

    分析這道題屬于平面幾何中最簡(jiǎn)單的求線段長(zhǎng)度問(wèn)題.通過(guò)觀察線段,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)C在AB上,AC+BC=AB,因此BC=AB-AC.解這類(lèi)題的關(guān)鍵就在于讀圖,確定點(diǎn)與線段的位置[1].

    二、求解三角形的邊長(zhǎng)或高

    例2如圖2所示,在直角三角形ABC中,已知AB長(zhǎng)度為10,AC長(zhǎng)度為8,求BC的長(zhǎng)度.

    分析在直角三角形中,已知斜邊長(zhǎng)與一條直角邊長(zhǎng),求另一條直角邊長(zhǎng),學(xué)生可以果斷利用勾股定理進(jìn)行求解.這類(lèi)題的解析思路是依據(jù)圖形的性質(zhì).

    例3如圖3所示,在等腰三角形中,AC長(zhǎng)度為6,AB長(zhǎng)度為10,求三角形AB邊上的高.

    分析解析這道題需要根據(jù)圖形性質(zhì).因?yàn)樗堑妊切?,所以AC=BC=6,且AB上的高將三角形ABC分為兩個(gè)完全一樣的直角三角形.因此,AB2是分割后小直角三角形的一條直角邊.因?yàn)橐阎边呴L(zhǎng),所以學(xué)生可以利用勾股定理算出高.

    三、將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形求解

    例4如圖4所示,在△ABC中,∠A=30°,tanB=13,BC=10,求AB的長(zhǎng).

    解過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,這樣就構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形.在△BCD中,tanB=CDBD,所以DB=3CD.由勾股定理,得CD=1,BD=3,在△ACD中,易求AD=3,所以AB=3+3.

    此題為作輔助線引出直角三角形的線段長(zhǎng)度問(wèn)題,在中考中十分常見(jiàn),如學(xué)生不能有效利用轉(zhuǎn)換思維,將無(wú)法求得這道題的答案,因此教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)給予學(xué)生引導(dǎo),幫助學(xué)生掌握輔助線應(yīng)如何建立.

    四、利用基本圖形定理求出結(jié)果

    例5如圖5所示,已知四邊形ABCD為正方形,DF垂直于CE,且DF=10,求CE.

    分析解決這類(lèi)題時(shí),學(xué)生如果對(duì)基本圖形定理的知識(shí)掌握不清晰,就無(wú)從下手,因?yàn)轭}目表面所給出的數(shù)據(jù)少得可憐.在掌握定理后,解題要容易很多.本題中,已知三角形BCE與三角形CDF為直角三角形,且DF垂直于CE,因此可以利用“AAS”定理證明這兩個(gè)三角形全等,那么CE的長(zhǎng)度就可以輕松求出了.

    通過(guò)這道題我們可以看出基本圖形定理對(duì)于線段的長(zhǎng)度的求解有至關(guān)重要的幫助,如果掌握不清,就難以下手[2].

    五、利用幾何直觀性確定已知量關(guān)系

    幾何直觀性是將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)直觀圖形進(jìn)行展示.幾何直觀性的具體應(yīng)用在于將幾何圖形與代數(shù)問(wèn)題相結(jié)合,從而使數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化,讓線段長(zhǎng)度的抽象問(wèn)題變得清晰化,進(jìn)而使問(wèn)題更容易解決.幾何直觀性思想的應(yīng)用可以有效提高學(xué)生對(duì)線段知識(shí)的理解能力,可以幫助學(xué)生

    熟練掌握

    課堂教學(xué)中有關(guān)線段長(zhǎng)度的重點(diǎn)知識(shí).

    例6如圖6所示,點(diǎn)C分線段AB為5∶7,點(diǎn)D分線段AB為5∶11,若CD=10cm,求AB.

    分析觀察圖形可知DC=AC-AD,根據(jù)已知的線段比的關(guān)系,AC,AD均可用所求量AB表示,這樣通過(guò)已知量DC,即可求出AB.

    解因?yàn)辄c(diǎn)C分線段AB為5∶7,點(diǎn)D分線段AB為5∶11,

    所以AC=512AB,AD=516AB,

    所以DC=AC-AD=512

    AB-516AB=548AB,

    又因?yàn)镃D=10cm,所以AB=96cm.

    在教學(xué)中遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí),教師可以通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何直觀性的引導(dǎo),使學(xué)生學(xué)會(huì)利用幾何直觀性的思想將線段視為圖像與代數(shù)的組合,這樣解題會(huì)變得更加簡(jiǎn)便.因此,利用幾何直觀性可以有效提高學(xué)生的圖形拼接解題能力,使學(xué)生形成固定的解題規(guī)律.通過(guò)在解題中有效應(yīng)用幾何直觀性思想,學(xué)生對(duì)線段長(zhǎng)度知識(shí)的掌握得到了有效提高.

    六、利用線段中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行長(zhǎng)度變換

    傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)線段長(zhǎng)度問(wèn)題整體教學(xué)內(nèi)容較為“抽象”,且整體概括性較強(qiáng),學(xué)生難以通過(guò)傳統(tǒng)的教學(xué)深入理解教學(xué)內(nèi)容.學(xué)生習(xí)慣于用慣性思維來(lái)思考所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題,這樣導(dǎo)致了學(xué)生逐漸出現(xiàn)“數(shù)學(xué)思維障礙”.而且初中數(shù)學(xué)線段長(zhǎng)度問(wèn)題的內(nèi)容通?;逎y懂,學(xué)生更習(xí)慣從問(wèn)題的表面理解問(wèn)題,以習(xí)慣的認(rèn)知來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,這樣的情況導(dǎo)致學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)思維能力.學(xué)生在接受新知識(shí)的過(guò)程中,長(zhǎng)期缺乏系統(tǒng)性認(rèn)知,從而導(dǎo)致存在知識(shí)認(rèn)知差異,這樣給提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維帶來(lái)了影響.因此,教師在中考線段長(zhǎng)度習(xí)題教學(xué)中應(yīng)利用線段中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行長(zhǎng)度變換,以此使抽象的線段知識(shí)變得更加直觀.

    例7如圖7所示,已知線段AB=80cm,M為AB的中點(diǎn),P在MB上,N為PB的中點(diǎn),且NB=14cm,求PA的長(zhǎng).

    分析從圖形可以看出,線段AP等于線段AM與MP的和,也等于線段AB與PB的差,所以,欲求線段PA的長(zhǎng),只要能求出線段AM與MP的長(zhǎng)或者求出線段PB的長(zhǎng)即可.

    解因?yàn)镹是PB的中點(diǎn),NB=14cm,

    所以PB=2NB=2×14=28(cm),

    又因?yàn)锳P=AB-PB,AB=80cm,

    所以AP=80-28=52(cm).

    提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是當(dāng)前時(shí)期教學(xué)改革的整體目標(biāo),因此在例題解答和課堂教學(xué)中,教師應(yīng)為學(xué)生提供相關(guān)的數(shù)學(xué)示例,然后讓學(xué)生分組或獨(dú)立分析這些示例以找出所需的數(shù)學(xué)元素,學(xué)生可以通過(guò)分析示例獲得相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和定律.在此類(lèi)線段問(wèn)題的幾何計(jì)算中,教師的解答和教學(xué)必須要結(jié)合圖形中已知線段和所求線段的位置關(guān)系,且習(xí)題解答必須按照步驟進(jìn)行.

    七、利用方程求解線段長(zhǎng)度

    例8如圖8所示,O為弧CD所在圓的圓心,CD長(zhǎng)度為600,E在弧CD上,OE垂直于CD,垂足為F,EF的長(zhǎng)度為90,求CO.

    分析已知三角形OCF為直角三角形,CD=600,F(xiàn)點(diǎn)為垂足,則CF=DF=300,OF=CO-90.有了這些數(shù)據(jù)就可以列出方程了,設(shè)CO為x,則OF=x-90.根據(jù)勾股定理可得x2=3002+(x-90)2,解出x的值即可.

    八、利用相似三角形求解線段長(zhǎng)度

    相似三角形擁有對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)特征,所求線段是其中一個(gè)三角形的一條邊,然后在另一三角形中找到相似的邊元素,依此羅列出計(jì)算等式,最后求出線段的具體長(zhǎng)度.

    例9如圖9所示,AB為圓的直徑,BC為圓的切線,D是圓上一點(diǎn),并且AD平行于CO,AB=6,BC=4,求線段AD的長(zhǎng)度.

    分析在本題中,所求線段AD為三角形ABD的一條邊,已知三角形ABD一條邊AB長(zhǎng)度為6,三角形OBC一條邊BC長(zhǎng)度為4,AB為圓的直徑,因此可得:OB=12AB=3,∠ADB=90°.由BC是圓的切線,可得∠OBC=90°,利用勾股定理可以得出OC的長(zhǎng)度:OC2=OB2+BC2=32+42=25,OC=5.由AD平行于OC,可知∠DAB=∠BOC,因此可得三角形ABD∽三角形OCB,可以得出ADOB=ABOC,在這個(gè)等式中,其他三項(xiàng)都是已知元素,只有AD一個(gè)未知元素,運(yùn)算即可得出AD=3.6.

    利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度,這是很常見(jiàn)的方法之一,難點(diǎn)在于找到所求線段和已知線段是屬于哪兩個(gè)三角形的邊,再找出證明這兩個(gè)三角形相似的條件,即可求出線段的長(zhǎng)度.

    九、根據(jù)圖形已知條件,利用方程方法求解

    興趣是最好的老師,興趣同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本動(dòng)力,因此教師可以利用這一點(diǎn)在課前首先提出問(wèn)題讓學(xué)生思考,建立相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)吸引學(xué)生的注意力,利用活動(dòng)內(nèi)容的豐富性提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,這樣可以使學(xué)生伴著愉快的心情參與到數(shù)學(xué)課堂中來(lái).

    例10如圖10,C,D,E將線段AB分成2∶3∶4∶5四部分,M,P,Q,N分別是AC,CD,DE,EB的中點(diǎn),且MN=21,求PQ的長(zhǎng).

    分析教師可以根據(jù)學(xué)生的興趣將線段想象為其他事物,如尺子等進(jìn)行解題.根據(jù)線段比及中點(diǎn)性質(zhì),可以設(shè)AC=2x,則AB上每一條短線段都可以用含x的代數(shù)式表示.觀察圖形,MN=MC+CD+DE+EN,學(xué)生可以將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的方程,先求出x,再求PQ的長(zhǎng).

    解若設(shè)AC=2x,則CD=3x,DE=4x,EB=5x,MC=x,EN=52x,于是根據(jù)MN=MC+CD+DE+EN得到21=x+3x+4x+52x,解得x=2.所以PQ=PD+DQ=12(CD+DE)=72x=7.

    在習(xí)題解答完成后,教師可以為學(xué)生講授方程法的由來(lái),使學(xué)生加深對(duì)方程法的印象,進(jìn)而有效掌握此類(lèi)習(xí)題的解答方式.

    由于初中學(xué)生年齡較小且自控能力差,天生活潑好動(dòng),因此如何集中學(xué)生注意力是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)問(wèn)題.在線段長(zhǎng)度教學(xué)的準(zhǔn)備上,教師需要多費(fèi)心思,努力提升學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣,進(jìn)而使學(xué)生可以將注意力全部放在課堂學(xué)習(xí)中.

    結(jié)語(yǔ)

    求解線段的長(zhǎng)度其實(shí)有很多方法,以上只是筆者歸納總結(jié)的常見(jiàn)的幾種方法.對(duì)于一些中考常見(jiàn)的重點(diǎn)題型,老師務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生去練習(xí).學(xué)生只有掌握越來(lái)越多的技巧,對(duì)于幾何學(xué)習(xí)的邏輯思維程度才會(huì)越來(lái)越高,解題的靈活性也會(huì)越來(lái)越好.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]周麗芳.建立數(shù)學(xué)模型思想,提升問(wèn)題解決能力——以初中數(shù)學(xué)線段和的最值問(wèn)題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2018(16):88-90.

    [2]王霞.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中一類(lèi)線段最值問(wèn)題的快速求解方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2018(17):79-80.

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