探討高中數(shù)學(xué)拋物線的解題方法與技巧

趙冬梅

摘 要：數(shù)學(xué)作為一門重要學(xué)科，其中的拋物線知識在高考中占據(jù)較大比例，尤其是拋物線問題，其可以與其他數(shù)學(xué)知識進(jìn)行充分結(jié)合，形成難度較大的綜合題，如果一部分學(xué)生基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，就不會解決這類題型。所以針對高中數(shù)學(xué)拋物線中相關(guān)的解題方法與技巧進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);拋物線;解題方法;具體技巧

拋物線的定義與性質(zhì)，有關(guān)坐標(biāo)軸交點(diǎn)、方向與幾何結(jié)合的問題，一直是高考中的重難點(diǎn)，也是出錯率比較高的一部分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。為了使這部分課程教學(xué)取得更好的效果，本文重點(diǎn)對數(shù)學(xué)拋物線解題方法與技巧進(jìn)行研究，據(jù)此展開討論。解題方法的掌握是提升學(xué)生數(shù)學(xué)成績的基礎(chǔ)，我們在教學(xué)過程中要予以重視。

一、定義

若拋物線存在一個頂點(diǎn)，命名為F，且隨之形成的定直線就被稱為拋物線的準(zhǔn)線，而點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離，則被稱為焦準(zhǔn)距。用字母p來進(jìn)行表示，其中p>0。

拋物線既可以用參數(shù)進(jìn)行表示，又可以以標(biāo)準(zhǔn)方程的形式呈現(xiàn)，這種呈現(xiàn)性質(zhì)是由圓錐面以及其平行于某條母線的平面相截取得到。在相應(yīng)條件下，拋物線本身也可以看作是二次函數(shù)的圖象。

二、常見參數(shù)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

向右開口的方程表示為：y2=2px（p>0）;向左開口的方程表示為：y2=2px（p<0）;向上開口的方程表示為：y2=（p>0）;向下開口的方程表示為：y2=（p<0）。在二次函數(shù)中，公式的表示方法如下：y=ax2+bx+c（a不等于0）。

若a>0，則開口方向向上;若a<0，則開口方向向下。當(dāng)a的絕對值逐漸增大時，那么二次函數(shù)圖象的橫縱坐標(biāo)數(shù)值也就越大，而圖象與y軸之間的夾角也就越小;當(dāng)a的絕對值逐漸減小時，則其相應(yīng)的函數(shù)圖象的橫縱坐標(biāo)數(shù)值也就越小，而圖象與y軸之間的夾角也就越大。

函數(shù)圖象與x軸之間的交點(diǎn)情況，取決于Δ=b2-4ac的取值，若b2-4ac>0，則表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為2個，若b2-4ac=0，則表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)數(shù)為1個，若b2-4ac<0，則表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c的圖象與x軸不存在任何交點(diǎn)。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸x=-，a>0且b>0時或者a<0且b<0時，圖象對稱軸在原點(diǎn)左邊，a>0且b<0時或者a<0或者b>0時，圖象對稱軸在原點(diǎn)右邊。我們也可以用“左同右異”的口訣來幫助學(xué)生進(jìn)行識記。

三、解題方法與技巧

例題1：存在動點(diǎn)M到F（8，0）的距離較之它到直線x+10=0的距離短2，求M點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程式。

通過對題目的閱讀和理解，可將動點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)為（x，y），由此可知，動點(diǎn)M到F（8，0）的距離可以由解得，由題目中的等量關(guān)系，我們可以分析出=x+10-2，通過化簡法，我們可以將題目中的距離不等看作是距離相等，那么由拋物線的定義就可以求出方程。

解題過程：

前面已經(jīng)設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），按照題意可知，點(diǎn)M軌跡是F（8，0），是交點(diǎn)，因?yàn)?8，>0，所以p=16，又因?yàn)榻裹c(diǎn)F（8，0）在x軸正半軸上，所以綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程為y2=32x.

解題經(jīng)驗(yàn)和審題思維是學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中最需要具備的技能，學(xué)生既要充分掌握拋物線中的各項(xiàng)知識點(diǎn)，又要審好題目，對癥下藥進(jìn)行解題。

例題2：如下圖所示，總面積18的等腰直角△OAB的三條邊中，其中一條直角邊OA在x軸上，二次函數(shù)：y=ax2+bx+c（a不等于0）的圖象分別經(jīng)過了原點(diǎn)、A點(diǎn)以及位于斜邊OB上的終點(diǎn)M，根據(jù)以上條件需要求出該二次函數(shù)的具體解析方程式以及對稱軸，應(yīng)怎么解答。

解題過程：

因?yàn)镾△OAB=18且△OAB為等腰直角三角形，所以O(shè)A=OB=6，又因?yàn)镸是斜邊OB的中點(diǎn)，因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以表示為（6，0），點(diǎn)M可以表示為（3，3）。

設(shè)y=ax2+bx+c（a不等于0）

得36a+6b+c=09a+3b+c=0c=0

解得

因此，該函數(shù)解析式可以表示為y=-x2+2x。

而對稱軸則可用如下方程式來表示x=-=3。

分析：我們可以從上述求解過程中看出以下思路，其將拋物線與幾何性質(zhì)進(jìn)行結(jié)合，難度并不是很高，學(xué)生只需要對相關(guān)知識內(nèi)容有所理解就可以輕松解得結(jié)果，但是這一類題型也可以進(jìn)一步展開。

如下題：根據(jù)上圖所示，觀察分析坐標(biāo)軸上是否存在P點(diǎn)，滿足ΔPMA中PA與PM相等的條件。如果存在，則求出P點(diǎn)的值，如不存在，則說明原因所在。

展開后，題目難度就有所加大，這時也需要學(xué)生對題目條件進(jìn)行全面審查，否則在大題中如果出現(xiàn)條件遺漏就等于做無用功，解不出正確答案，所寫內(nèi)容也不得分。對于這一類型的題目，知己知彼才能有勝算，否則寧愿放棄。如果這類題型不能做到全部正確，基本等于在考場上浪費(fèi)時間。

四、結(jié)語

由此可見，從數(shù)學(xué)課程教學(xué)的角度上來說，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙虒W(xué)取得效果的關(guān)鍵因素。只有在正確的方法指導(dǎo)下，學(xué)生才能獲得正確的結(jié)果，才會在成績上體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的效果。

參考文獻(xiàn)：

郭可欣.探討高中數(shù)學(xué)拋物線的解題方法與技巧[J].課程教育研究，2017（11）：147-148.

編輯 馮志強(qiáng)