高中數(shù)學(xué)新舊教材“函數(shù)的概念與性質(zhì)”內(nèi)容比較分析及教學(xué)策略

杜小平 郭紹

摘 要：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，它蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)起著重要的作用。對人教A版新舊教材“函數(shù)的概念和性質(zhì)”內(nèi)容進(jìn)行比較分析，并提出教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：新舊教材;函數(shù)概念;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);分析比較

一、問題的提出

從2020年9月起，廣東省高中數(shù)學(xué)啟用人教版2019年審核通過的《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》A版（簡稱新教材）。此前，學(xué)生使用的是人教版2004年初審核通過的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》A版（簡稱舊教材）。

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每個(gè)人應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教材作為高中重要的課程資源之一，是課程理念的重要載體。那么，新教材有何特色？體現(xiàn)怎樣的教學(xué)理念？面臨困惑，只有深入分析教材，才能對教材有深刻的理解。

二、新舊教材函數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)分析比較

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位舉足輕重，它蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、方法，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基本工具。下文比較人教A版新舊版本“函數(shù)”部分內(nèi)容。

1.函數(shù)整體編排分析比較

舊教材函數(shù)內(nèi)容在必修系列中共設(shè)置四章14節(jié)。在數(shù)學(xué)1學(xué)習(xí)集合、函數(shù)概念和基本性質(zhì)，形成研究函數(shù)的通法，再研究基本初等函數(shù);感悟函數(shù)與方程之間的聯(lián)系;在數(shù)學(xué)4學(xué)習(xí)三角函數(shù)。

新教材的設(shè)計(jì)有較大不同。第一冊核心為函數(shù)知識，共設(shè)置五章24節(jié)。首先，新教材的內(nèi)容處理既“瞻前”又“顧后”。它設(shè)置兩章高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)備知識，為學(xué)生做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式及方法、技能上的準(zhǔn)備，完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡和銜接，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和認(rèn)知水平，體現(xiàn)“以生為本”的理念。

其次，新教材的編排是運(yùn)用集合與對應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)概念，研究函數(shù)的性質(zhì);學(xué)習(xí)冪函數(shù)后學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，再學(xué)習(xí)三角函數(shù)。較之，新教材突出主題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從整體把握知識，形成知識的結(jié)構(gòu)框架和研究的通法。

此外，新教材在基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)順序中，把冪函數(shù)置前。編者的意圖是：一是立足學(xué)生的知識背景。因?yàn)閮绾瘮?shù)中有學(xué)生熟悉的函數(shù)，如y=■、y=x、y=x2等;二是形成方法的類比。顯然，新教材在舊教材的編排邏輯上，精選數(shù)學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主題教學(xué)，注重知識的整體性、連貫性和系統(tǒng)性。

2.“函數(shù)的概念及其性質(zhì)”章節(jié)分析比較

新舊教材“函數(shù)的概念與性質(zhì)”在設(shè)置欄目上，結(jié)構(gòu)大致相同（見表1）。新教材對“函數(shù)的概念及其表示”表達(dá)更精準(zhǔn);每一小節(jié)分課時(shí)進(jìn)度;新舊版練習(xí)題大致相同。較之，新教材題目設(shè)置更體現(xiàn)分層性和階梯性。

3.“函數(shù)的概念”內(nèi)容分析比較

對教材整體編排及章節(jié)形成清晰脈絡(luò)后，教材如何建構(gòu)函數(shù)的概念？現(xiàn)以“函數(shù)的概念”為例分析教材，以期管中窺豹悟出教學(xué)啟示。

（1）情境設(shè)置分析

舊教材開篇直接指出將學(xué)什么內(nèi)容后，給出三個(gè)實(shí)例。新教材則以兩個(gè)問題（判斷是否是同一函數(shù)）搭建學(xué)習(xí)支架，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突;舊教材在情境設(shè)置上分別對應(yīng)函數(shù)的表示法列舉三個(gè)實(shí)例;再引導(dǎo)學(xué)生分析例子變量間關(guān)系的共同點(diǎn)，歸納函數(shù)的概念;接著，引導(dǎo)學(xué)生從集合間的對應(yīng)關(guān)系再次認(rèn)識已學(xué)的函數(shù);再引導(dǎo)思考：如何用函數(shù)的定義描述反比例函數(shù)。新教材則以4個(gè)問題引入。其中，設(shè)置問題1、2為判斷函數(shù)是否相等埋下了伏筆。接著，引導(dǎo)學(xué)生歸納例子的共同特點(diǎn)，概括函數(shù)概念的特征。

新舊教材皆立足于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)良好的生活情境。所用的情境實(shí)例均來源于生活，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活及生產(chǎn)實(shí)踐的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的工具。

（2）函數(shù)概念形成分析

舊教材在初中“變量說”的基礎(chǔ)上，從實(shí)例中歸納變量間關(guān)系的共同點(diǎn)，理解對應(yīng)關(guān)系，概括函數(shù)概念。舊教材把諸如實(shí)例中變量的關(guān)系統(tǒng)一描述為函數(shù)。但對大多數(shù)學(xué)生而言，理解函數(shù)概念和發(fā)現(xiàn)其三要素，尤其是用集合語言和對應(yīng)關(guān)系表達(dá)概念是比較困難的?；诖?，新教材用概念形成和概念同化相結(jié)合的方式完成函數(shù)概念的抽象。在學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上，利用開篇“判斷函數(shù)是否相同”和用問題1的變式引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生體會需要重新定義函數(shù)的必要性，然后遵循“具體—抽象—具體”的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、比較中，歸納函數(shù)的共同特征，構(gòu)建完整的概念即“對應(yīng)說”，再利用新知認(rèn)識舊知，升華對函數(shù)的認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)。

（3）函數(shù)概念辨析分析

在概念的辨析上，舊教材通過：用新知重新認(rèn)識一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和判斷兩函數(shù)是否相等（例2）兩個(gè)辨析活動，理解函數(shù)的三要素。新教材在此基礎(chǔ)上，增加學(xué)生構(gòu)建問題情境（例1），讓學(xué)生從抽象的解析式回到實(shí)際情境，體會函數(shù)的概念。通過3個(gè)環(huán)節(jié)，用新知解釋舊知，進(jìn)一步加深對概念的理解;利用數(shù)學(xué)知識解釋實(shí)際問題，體會函數(shù)的工具性;透過現(xiàn)象看本質(zhì)，形成良好的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。

（4）例題、練習(xí)分析比較

如果說主干知識打造了教材的“筋骨”，那么例題、習(xí)題就是填充其中的“血肉”。新教材設(shè)置例題1，要求創(chuàng)設(shè)問題情境，使變量關(guān)系可用y=x（10-x）描述。問題設(shè)計(jì)較新穎，可以看出編者的意圖，讓學(xué)生經(jīng)歷具體到抽象、抽象到具體的過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究能力;同時(shí)滲透應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生生成一雙慧眼：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

新教材第一課時(shí)增加4道練習(xí)，其中練習(xí)1是由舊教材的情境實(shí)例改編而成。練習(xí)4則與例1（構(gòu)建問題情境）同類型。第二課時(shí)練習(xí)與舊教材同。較之，新教材重點(diǎn)考查對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，著力發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。

三、結(jié)論與教學(xué)建議

舊教材在初高中的知識銜接上，不故特別說明。但它注重知識的邏輯性和生成過程，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和思維能力。通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、分析、歸納，構(gòu)建函數(shù)的概念。新教材則承舊啟新，將課程內(nèi)容進(jìn)行整合，突出單元教學(xué)的整體性;將初高中知識進(jìn)行銜接，構(gòu)建函數(shù)研究框架，形成研究思路，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;通過問題情境啟發(fā)學(xué)生思考，增強(qiáng)學(xué)生的問題意識和創(chuàng)新意識;展示知識生長過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解，關(guān)注用數(shù)學(xué)知識為生活服務(wù);發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng);發(fā)揮了數(shù)學(xué)的育人功能，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的發(fā)展。

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教育要以生為本，落實(shí)立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育?；诖死砟?，通過分析比較教材的差異，提出以下教學(xué)建議。

（1）教學(xué)目標(biāo)要突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！八幕保ɑA(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)）是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土。而數(shù)學(xué)素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，更是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。因此，教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何與知識技能有機(jī)融合，幫助學(xué)生掌握知識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（2）教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境啟發(fā)學(xué)生思考。問題是數(shù)學(xué)的心臟，教師要設(shè)計(jì)問題情境，搭建問題支架，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，并促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。

（3）采取多種方式培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。教學(xué)中“教”與“學(xué)”并重。教師要樹立“以生為本”的理念，摸索促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生采用自主學(xué)習(xí)、動手實(shí)驗(yàn)、小組合作等學(xué)習(xí)方式;教學(xué)中善于將信息技術(shù)與學(xué)科巧妙融合，把數(shù)學(xué)變得“看得見”“摸得著”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加深對知識的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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編輯 張佳琪