基于等幾何方法的壓電功能梯度板動(dòng)力學(xué)及主動(dòng)振動(dòng)控制分析

劉 濤，汪 超，劉慶運(yùn)，胡文鋒，胡曉磊

(1. 安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山243002；2. 上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海200072)

壓電智能結(jié)構(gòu)因其具有自診斷、自適應(yīng)和自修復(fù)的性能被廣泛應(yīng)用于航空航天、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。其是將壓電材料粘貼(或埋置)于梁、板、殼等結(jié)構(gòu)的表面(內(nèi)部)。當(dāng)外部環(huán)境發(fā)生變化時(shí)，它能夠根據(jù)其自身的物理特性和形狀變化做出響應(yīng)。伴隨著先進(jìn)制造技術(shù)的革新，壓電智能結(jié)構(gòu)形式更加多樣化、復(fù)雜化。因此，研究不同形式的壓電智能結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，具有重要科學(xué)和工程意義。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開(kāi)展了相關(guān)的靜力學(xué)[1]、動(dòng)力學(xué)[2]、主動(dòng)控制[3?5]、非線(xiàn)性[6?7]等問(wèn)題的研究。

壓電智能板結(jié)構(gòu)是壓電智能結(jié)構(gòu)最基本的結(jié)構(gòu)形式之一，就其數(shù)值建模方法來(lái)看，構(gòu)造層合板單元常采用三維彈性理論、疊層層合理論以及包含經(jīng)典板理論(CPT)、一階剪切變形理論(FSDT)、高階剪切變形理論(HSDT)的等效單層理論。其中，等效單層理論所耗費(fèi)的計(jì)算量相對(duì)較少。因此，許多學(xué)者將等效單層理論與多種數(shù)值方法相結(jié)合用于壓電智能板結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究。

基于有限單元法(FEM)，He 等[3]與Liew 等[4?5]研究了表面粘貼有壓電層的功能梯度板(壓電功能梯度板)在機(jī)-電-熱載荷下的靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)特性和主動(dòng)振動(dòng)控制等問(wèn)題。Wang 等[8]分析了壓電智能層合板的主動(dòng)振動(dòng)控制與動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，并提出將傳感器層和驅(qū)動(dòng)器層粘貼于中間層的同一方向，以解決當(dāng)傳感器層和驅(qū)動(dòng)器層分布于中間層的上下表面、且中間基層的鋪設(shè)角度為[?45°/45°/?45°/45°]時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定的問(wèn)題[9]?；趶V義C0連續(xù)的高階剪切變形理論，Nguyen 等[10]利用多邊形有限單元法分析了壓電梯度多孔板非線(xiàn)性靜態(tài)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及帶有壓電層的石墨烯增強(qiáng)的功能梯度金屬泡沫板[11]的主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題。Phung-Van 等[12]基于單元光滑有限元方法(CS-FEM)對(duì)壓電智能層合板的力學(xué)性能進(jìn)行了研究。在CSFEM 中，其先將每個(gè)母三角形單元?jiǎng)澐譃槿齻€(gè)子三角形單元，并在每個(gè)子三角單元中利用離散剪切間隙法消除剪切自鎖[13]；然后在整個(gè)母三角形單元上運(yùn)用應(yīng)變光滑技術(shù)解決三角形單元在FEM 計(jì)算中偏“剛性”的缺陷[14?15]。利用這種方法，Nguyen-Quang 等[16]則針對(duì)壓電功能梯度板的靜力學(xué)和主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。結(jié)合HSDT和馮·卡爾曼方程，F(xiàn)akhari和Ohadi[17]研究了熱環(huán)境下壓電功能梯度板的非線(xiàn)性主動(dòng)振動(dòng)控制等問(wèn)題。Wang 等[18]利用FEM 和改進(jìn)的非支配排序遺傳算法提出了一種用于壓電智能層合板形狀控制的設(shè)計(jì)方法。其主要目的是通過(guò)同時(shí)優(yōu)化基板(層合板)和執(zhí)行器(壓電材料)使板的靜態(tài)形狀控制達(dá)到最大化。Tzou 和Tseng[19]利用恒增益和恒振幅兩種負(fù)速度反饋控制方法，分析了表面粘貼有多片分布式壓電材料的智能壓電復(fù)合板的主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題。

無(wú)網(wǎng)格法克服了有限元法對(duì)網(wǎng)格的依賴(lài)[20]，在涉及網(wǎng)格畸變、網(wǎng)格移動(dòng)問(wèn)題時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)[21]。這也使得它成為壓電智能結(jié)構(gòu)主要的研究方法之一。Li 等[22]用雙向B樣條有限點(diǎn)法，研究了表面粘貼有壓電層的層合板(壓電智能層合板)的靜力分析、靜態(tài)變形控制和材料參數(shù)識(shí)別。Selim 等[23]基于Reddy[24]的三階剪切變形理論和IMLS-Ritz 方法研究了兩種不同結(jié)構(gòu)的壓電功能梯度板的主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題?；趶较螯c(diǎn)插值方法，Liu 等[25]分析了壓電智能層合板的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)形狀控制，Nourmohammadi 等[26]則分析了壓電功能梯度板的幾何非線(xiàn)性響應(yīng)。

上述研究工作大多采用有限單元法或無(wú)網(wǎng)格法，盡管利用這些方法對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的成果已經(jīng)較為豐富。但就上述的數(shù)值方法而言，它們也存在各自的弊端。例如：FEM會(huì)因?yàn)閱卧儗?dǎo)致計(jì)算精度降低[27]；無(wú)網(wǎng)格法由于沒(méi)有明確統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，且不同構(gòu)造體系下的參數(shù)也呈現(xiàn)不確定狀態(tài)，使其不易形成通用性集成化程序[28]。為解決這些問(wèn)題，Hughes等[29]提出一種新的數(shù)值方法?等幾何分析(Isogeometric analysis,IGA)。其基本思想是將計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(Computer aided design,CAD)的非均勻有理B樣條(NURBS)作為計(jì)算機(jī)輔助工程(Computer aided engineering,CAE)的形函數(shù)，這樣既避免了如有限元使用拉格朗日多項(xiàng)式插值函數(shù)帶來(lái)的逼近誤差，又獲得了力學(xué)數(shù)值方法所需的高階性。

目前，已有少部分學(xué)者將IGA 引入到壓電智能結(jié)構(gòu)的分析中。如，Phung-Van 等利用高階剪切變形理論分析了壓電智能層合板的線(xiàn)性[30]、非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制[31]。在壓電智能結(jié)構(gòu)中，功能梯度板因其材料具有應(yīng)力緩和的獨(dú)特性能，若采用其作為基體，可通過(guò)控制材料梯度變化，并結(jié)合壓電層電場(chǎng)大小，產(chǎn)生預(yù)期的變形及運(yùn)動(dòng)。基于等幾何分析，少量學(xué)者研究了壓電功能梯度板在機(jī)-電-熱負(fù)載下的幾何非線(xiàn)性瞬態(tài)響應(yīng)[32]以及表面粘貼有壓電層的石墨烯增強(qiáng)的功能梯度多孔板的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)[33]。

上述文獻(xiàn)研究的結(jié)構(gòu)大多為壓電層對(duì)稱(chēng)分布于功能梯度材料板的上、下表面(結(jié)構(gòu)A：圖1(a))，并沒(méi)有考慮此類(lèi)結(jié)構(gòu)用于振動(dòng)控制時(shí)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。此外，功能梯度材料常被應(yīng)用于熱環(huán)境當(dāng)中，此類(lèi)壓電層對(duì)稱(chēng)分布的結(jié)構(gòu)使得總會(huì)有一側(cè)的壓電材料暴露于高溫壞境中，而溫度會(huì)對(duì)壓電材料的彈性模量、介電常數(shù)等產(chǎn)生較大的影響[34]，最終影響智能結(jié)構(gòu)的性能。若將兩層壓電材料分布于功能梯度材料的同一側(cè)(低溫測(cè)，結(jié)構(gòu)B：圖1(b))，則會(huì)有效地減少溫度對(duì)于壓電材料性能的影響。針對(duì)結(jié)構(gòu)A 和結(jié)構(gòu)B兩種壓電功能梯度板，Selim等[23]研究了它們的主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題，但其只分析了兩種結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制效果。目前，有關(guān)兩種結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及在主動(dòng)控制中的傳感器、驅(qū)動(dòng)器的電壓響應(yīng)的研究工作較為鮮見(jiàn)。而這些問(wèn)題恰恰對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用有著重要的影響。如：兩種板結(jié)構(gòu)的剛度有何不同、在振動(dòng)控制過(guò)程中傳感器、驅(qū)動(dòng)器的電壓響應(yīng)存在何種差異。這些問(wèn)題直接影響著結(jié)構(gòu)本身、控制器以及控制硬件(如功率放大器)的設(shè)計(jì)。

圖1 壓電功能梯度板Fig.1 Piezoelectric functionally graded plate

因此，本文基于等幾何分析方法與Reddy 的三階剪切變形理論，并引入物理中面的概念，研究如圖1 所示的兩種不同結(jié)構(gòu)的壓電功能梯度板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題。文中重點(diǎn)分析兩種結(jié)構(gòu)在不同機(jī)械載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、振動(dòng)控制效果以及傳感器和驅(qū)動(dòng)器的電壓響應(yīng)，旨在為壓電智能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用提供參考。

1 壓電功能梯度板模型

定義壓電功能梯度板的長(zhǎng)為a，寬為b。功能梯度材料層由金屬和陶瓷組成，其厚度為hf。每層壓電材料的厚度均為hp，板的總厚度為ht=hf+2hp。本文研究的兩種結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。忽略各層之間的膠粘層，在結(jié)構(gòu)A 中，功能梯度層的上、下表面均覆蓋有一層壓電材料。其中，上壓電層極化方向向下，下壓電層極化方向向上；在結(jié)構(gòu)B中，功能梯度層的上表面覆蓋兩層極化方向均向上的壓電層。

1.1 功能梯度層的體積分?jǐn)?shù)

在功能梯度層中，定義金屬材料的體積分?jǐn)?shù)含量沿厚度方向呈冪函數(shù)分布。

對(duì)于結(jié)構(gòu)A：

式中：下標(biāo)c和m 分別代表非金屬和金屬；z代表厚度方向上的坐標(biāo)，對(duì)于結(jié)構(gòu)A：z∈[?hf/2,hf/2]，對(duì)于結(jié)構(gòu)B：z∈[?ht/2,ht/2?2hp]；n為功能梯度指數(shù)n∈[0,∞]；Pc和Pm分別為非金屬和金屬的相關(guān)材料屬性，如密度、彈性模量或者泊松比等。

1.2 三階剪切變形理論

為消除非均勻復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題中拉伸-彎曲耦合效應(yīng)，本文引入物理中面的概念[35]，結(jié)合三階剪切變形理論，可得到壓電功能梯度板內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移為：

1.3 本構(gòu)方程

式中：D為電位移向量；e和g分別為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣及介電常數(shù)矩陣

對(duì)于結(jié)構(gòu)B，式(22)中積分區(qū)域要做修改。

1.4 等幾何分析

在壓電功能梯度板中，本文采用NURBS基函數(shù)對(duì)機(jī)械位移場(chǎng)與電勢(shì)場(chǎng)分別進(jìn)行離散化。

1.4.1 NURBS 基函數(shù)

對(duì)于二維平面問(wèn)題，NURBS 基函數(shù)由兩個(gè)方向的一維B樣條基函數(shù)的張量積構(gòu)成[37]：

2 閉環(huán)控制分析

如圖2所示，在結(jié)構(gòu)A 的閉環(huán)控制中，上壓電層作為驅(qū)動(dòng)器，下壓電層作為傳感器。結(jié)構(gòu)在機(jī)械載荷作用下產(chǎn)生機(jī)械變形時(shí)，傳感器層感知結(jié)構(gòu)的變形而產(chǎn)生相應(yīng)的輸出電壓。通過(guò)反饋控制原理，該感應(yīng)電壓通過(guò)控制器控制增益放大后，作為驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓。驅(qū)動(dòng)器由于逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生相應(yīng)的反驅(qū)動(dòng)力抑制結(jié)構(gòu)的變形，從而達(dá)到控制結(jié)構(gòu)變形的目的。對(duì)于結(jié)構(gòu)B，上壓電層作為傳感器，下壓電層作為驅(qū)動(dòng)器。

圖2 帶有壓電驅(qū)動(dòng)器和傳感器的功能梯度板的主動(dòng)控制示意圖Fig.2 Diagram of the active control of the FGPwith surfacebonded a piezoelectric actuator and sensor

根據(jù)上述分析，在閉環(huán)控制中，式(37)可改寫(xiě)為：

3 數(shù)值算例

本節(jié)，首先通過(guò)分析壓電智能結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)與靜態(tài)彎曲響應(yīng)，驗(yàn)證了本文所提等幾何分析方法的正確性和有效性；其次，利用模態(tài)疊加技術(shù)與Newmark-β 直接積分法，分析了兩種不同結(jié)構(gòu)的壓電功能梯度板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及在主動(dòng)控制中的振動(dòng)、電壓響應(yīng)。

文中所有數(shù)值算例的網(wǎng)格密度均采用16×16、NURBS基函數(shù)階次均取為p=q=3。機(jī)械邊界條件簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)支(S)，固支(C)，自由(F)。如未特殊說(shuō)明，材料參數(shù)可查閱表1。

3.1 驗(yàn)證性分析

3.1.1壓電功能梯度板固有頻率分析

如圖1(a)所示，一個(gè)四邊簡(jiǎn)支的壓電功能梯度板的尺寸為：a=b= 400 mm,hf= 5 mm,hp= 0.1 mm。其功能梯度層材料為T(mén)i-6A1-4V 與aluminum oxide、壓電層材料為PZT-G1195N。表2列舉了板的第1階、2階、4階、6階、8階固有頻率。通過(guò)與文獻(xiàn)[39]的解析解結(jié)果比較，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

表2 四邊簡(jiǎn)支(SSSS)PFGP 的固有頻率/Hz Table2 Natural frequencies for an SSSSPFGP

3.1.2懸臂壓電雙晶梁靜態(tài)彎曲響應(yīng)分析

如圖3所示，以一個(gè)懸臂壓電雙晶梁為例，對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲響應(yīng)進(jìn)行分析。梁的尺寸為100 mm×5 mm×1 mm，其上、下層壓電材料采用極化方向相反的PVDF材料(上層極化方向向下，下層極化方向向上)。材料參數(shù)為E11=E22=2.0 GPa,G12=1.0 GPa,ν12=0,e31=e32=0.046 C/m2,k11=k22=k33=0.1062×10?9F/m。當(dāng) 對(duì) 上、下 壓 電層施加外電場(chǎng)時(shí)，梁因逆壓電效應(yīng)而產(chǎn)生彎曲變形。

表3 為不同電壓下梁末端(x=a,y=b/2)的撓度值?？梢钥闯?，本文所提方法對(duì)于分析含壓電材料的智能結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲行為的有效性。

3.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

定義四種時(shí)變機(jī)械載荷為：

圖3 壓電雙晶梁示意圖[22]Fig.3 Geometry of a piezoelectric bimorph beam[22]

表3 同電壓載荷下壓電雙晶梁的末端撓度值/(1×10?6 m)Table 3 Tip deflectionsof the cantilever piezoelectric bimorph beam with different voltages

式中，q0=?15 MPa，F(xiàn)(t)如圖4所示，其表達(dá)式為：

在正弦橫向載荷(Sinusoidal load)作用下，一個(gè)長(zhǎng)度為200 mm、厚度為10 mm 的四邊簡(jiǎn)支的功能梯度(Al/Al2O3)方板在n= 1 時(shí)，其中心點(diǎn)的無(wú)量綱化撓度=w/h如圖5所示。該結(jié)果與文獻(xiàn)[33]的結(jié)果基本一致。

圖4 四種時(shí)變機(jī)械載荷F(t)Fig.4 Four different time-varying loads F(t)

圖5 n= 1時(shí)，四邊簡(jiǎn)支的功能梯度板中心點(diǎn)的無(wú)量綱化撓度Fig.5 Dimensionlessdeflection of center poin for an SSSSFGPwith n=1

在此基礎(chǔ)上，對(duì)結(jié)構(gòu)A、結(jié)構(gòu)B兩種壓電功能梯度板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。兩種結(jié)構(gòu)的機(jī)械邊界條件均為四邊固支。壓電層是厚度為2 mm 的PZT-G1195N 材料。功能梯度層是厚度為20 mm的Ti-6A1-4V/aluminum oxide 材料。板的尺寸為200 mm ×200 mm(a×b)。式(64)與式(65)中的均布載荷q0=?10 000 N/m2，γ=330 s?1，t1=0.003 s。

圖6與圖7分別為兩種板結(jié)構(gòu)的中心點(diǎn)在四種不同橫向機(jī)械時(shí)變載荷下的動(dòng)態(tài)撓度?？梢钥闯觯?)當(dāng)功能梯度指數(shù)n增加時(shí)，板中心點(diǎn)撓度的振幅和周期隨之減小。這是由于n增加時(shí)，板的陶瓷成分也逐漸增加，板的剛度隨之增強(qiáng)；2)結(jié)構(gòu)A 的動(dòng)態(tài)撓度振幅大于結(jié)構(gòu)B的。但隨著n的增加，這種差距逐漸減??；3) 在相同的材料及尺寸條件下，結(jié)構(gòu)B的剛度大于結(jié)構(gòu)A。

3.3 主動(dòng)振動(dòng)控制分析

本節(jié)，首先利用速度反饋控制方法，研究了兩種不同結(jié)構(gòu)的懸臂壓電功能梯度板的主動(dòng)振動(dòng)控制，驗(yàn)證了該方法的有效性。其次，分析了結(jié)構(gòu)A 與結(jié)構(gòu)B在自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)時(shí)的主動(dòng)振動(dòng)控制、傳感器層電壓響應(yīng)、驅(qū)動(dòng)器層電壓響應(yīng)。

算例1.懸臂壓電功能梯度板

圖6 板結(jié)構(gòu)A 中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)撓度Fig.6 Dynamic deflection of center point of plate structure A

板的尺寸為300 mm ×300 mm (a×b)，功能梯度層是厚度為5 mm 的Ti-6A1-4V/aluminum oxide材料。壓電層是厚度為0.1 mm 的PZT-G1195N 材料。僅在此算例中，PZT-G1195N 的壓電應(yīng)力常數(shù)e31=e32=6.1468 C/m2。

圖7 板結(jié)構(gòu)B中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)撓度Fig.7 Dynamic deflection of center point of plate structure B

圖8 n=1時(shí)，懸臂板的末端撓度Fig.8 Tip deflection of a cantilevered plate with n=1

因此，在動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制分析中，本文采用物理中面來(lái)消除拉彎耦合效應(yīng)對(duì)于結(jié)構(gòu)A 的影響，從而使系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖9與圖10為速度反饋增益Gv對(duì)兩種板結(jié)構(gòu)末端節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)撓度的控制效果?？梢钥闯?，結(jié)構(gòu)A 與結(jié)構(gòu)B均可有效地實(shí)現(xiàn)功能梯度板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制。

算例2.四邊固支的壓電功能梯度板

板的材料及尺寸均與3.2節(jié)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析中的壓電功能梯度板相同。式(65)中，t1=0.002 s。引入瑞利阻尼，在四種機(jī)械載荷作用下，兩種板結(jié)構(gòu)中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)撓度的控制效果如圖11和圖12所示。通過(guò)對(duì)比可知：1)Gv=0時(shí)，由于板的結(jié)構(gòu)阻尼，動(dòng)態(tài)撓度的振幅逐漸減?。?)隨著速度增益Gv的增大，主動(dòng)阻尼C=GvKφφa Kφ?φ1sKφus隨之增大，強(qiáng)迫振動(dòng)階段和自由振動(dòng)階段動(dòng)態(tài)撓度的振幅均減小的越快；3)與本節(jié)算例1類(lèi)似，兩種結(jié)構(gòu)在不同時(shí)變機(jī)械載荷作用下，板的動(dòng)態(tài)撓度響應(yīng)控制效果均較好。

圖13與圖14分別為兩種結(jié)構(gòu)的傳感器層中心點(diǎn)的動(dòng)態(tài)電壓?？梢钥闯觯?)Gv=0時(shí)的動(dòng)態(tài)電壓的振幅大于Gv≠ 0時(shí)的振幅；2)結(jié)構(gòu)A 與結(jié)構(gòu)B傳感器層的輸出電壓響應(yīng)方向相反，且結(jié)構(gòu)B電壓的振幅大于結(jié)構(gòu)A。這是由于在計(jì)算結(jié)構(gòu)A 的機(jī)電耦合剛度矩陣Kφus時(shí)，矩陣e?(式(45))中的第2項(xiàng)(z?z0)eTm、第三項(xiàng)(z3?c0)eTm在z方向(z∈[?ht/2,?hf/2])積分后為負(fù)所造成的。

圖9 結(jié)構(gòu)A：板末端動(dòng)態(tài)撓度控制效果Fig.9 Structure A:thetip transient deflectionof a cantilevered plate

圖10 結(jié)構(gòu)B：板末端動(dòng)態(tài)撓度控制效果Fig.10 Structure B:the tip transient deflection of a cantilevered plate

圖15與圖16分別為兩種結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)器層中心點(diǎn)的動(dòng)態(tài)電壓。通過(guò)對(duì)比可知：1)Gv的值越大，傳感器層動(dòng)態(tài)電壓的振幅也越大，這是由式(58)決定的；2)在驅(qū)動(dòng)器層，結(jié)構(gòu)B抑制振動(dòng)所需的驅(qū)動(dòng)電壓振幅大于結(jié)構(gòu)A，且兩者方向相反。這是由于結(jié)構(gòu)A 與結(jié)構(gòu)B的驅(qū)動(dòng)器層位置不同、且極化方向相反；3)由于結(jié)構(gòu)B驅(qū)動(dòng)器所需電壓高于結(jié)構(gòu)A，若選用結(jié)構(gòu)B此類(lèi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，更應(yīng)考慮其電退極化效應(yīng)[34]。

圖11 結(jié)構(gòu)A：板中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)撓度控制效果Fig.11 Structure A: the central transient deflection of a full clamped plate

圖12 結(jié)構(gòu)B：板中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)撓度控制效果Fig.12 Structure B: the central transient deflection of a full clamped plate

圖13 結(jié)構(gòu)A：傳感器層中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)電壓Fig.13 Structure A:dynamic voltage at the center of sensor layer

由上述分析可知，通過(guò)速度反饋控制方法可有效地抑制板的振動(dòng)，達(dá)到主動(dòng)控制的目的。在工程應(yīng)用中，可根據(jù)實(shí)際的需求設(shè)計(jì)反饋增益Gv的大小，實(shí)現(xiàn)板振蕩時(shí)間及幅度的控制。

圖14 結(jié)構(gòu)B：傳感器層中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)電壓Fig.14 Structure B:dynamic voltageat the center of sensor layer

圖15 結(jié)構(gòu)A：驅(qū)動(dòng)器層中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)電壓Fig.15 Structure A:dynamic voltage at the center of actuator layer

圖16 結(jié)構(gòu)B：驅(qū)動(dòng)器層中心點(diǎn)動(dòng)態(tài)電壓Fig.16 Structure B:dynamic voltage at the center of actuator layer

4 結(jié)論

本文結(jié)合等幾何分析與三階剪切變形理論為壓電功能梯度板的動(dòng)力學(xué)及主動(dòng)振動(dòng)控制分析提供了一個(gè)新的高精度數(shù)值分析方法。研究了兩種不同結(jié)構(gòu)的壓電功能梯度板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題，并得到了以下結(jié)論：

(1)通過(guò)對(duì)兩種結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的分析可知，相同尺寸及材料條件下，結(jié)構(gòu)B(壓電層均粘貼于中間功能梯度層的同一側(cè))的剛度大于結(jié)構(gòu)A 的(壓電層分別粘貼于中間功能梯度層的上、下表面)。隨著功能梯度指數(shù)n的增加，差距逐漸較小。

(2)利用速度反饋控制增益Gv可有效地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)A、結(jié)構(gòu)B的主動(dòng)振動(dòng)控制，且控制效果良好。

(3)結(jié)構(gòu)B傳感器層因壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電壓振幅大于結(jié)構(gòu)A，且兩者方向相反。在驅(qū)動(dòng)器層，結(jié)構(gòu)B 抑制振動(dòng)所需的驅(qū)動(dòng)電壓振幅也大于結(jié)構(gòu)A，且兩者方向相反。