簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換及其在結(jié)構(gòu)可靠度分析中的應(yīng)用

秦 琪，張玄一，盧朝輝，趙衍剛

(北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京100024)

結(jié)構(gòu)可靠度分析的一個(gè)核心問題是求解結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠指標(biāo)。因隨機(jī)變量常是多維的，失效概率的理論求解需要進(jìn)行多重積分，計(jì)算難度極大往往無法實(shí)現(xiàn)。為提高可靠度分析的計(jì)算效率，前人發(fā)展了一系列結(jié)構(gòu)可靠度近似分析方法并加以應(yīng)用，如一階可靠度分析方法(First order reliability method, FORM)[1?3]、二階可靠度分析方法(Second order reliability method, SORM)[4?9]、蒙特卡洛分析方法(Monte Carlo Simulation, MCS)[10?14]和響應(yīng)面法(Response surface method,RSM)[15?16]等。上述方法均需假設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布或邊緣概率分布及相關(guān)系數(shù)矩陣已知，從而基于Rosenblatt 變換[11]或Nataf 變換[12]將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換至相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行可靠度分析。由于實(shí)際工程中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往不足以準(zhǔn)確評(píng)估其概率分布，Rosenblatt 變換或Nataf變換不能有效進(jìn)行，從而上述可靠度分析方法無法準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。

由于隨機(jī)變量的前三階中心矩含有大量統(tǒng)計(jì)信息，具有近似擬合隨機(jī)變量概率分布的能力。因此，可以基于隨機(jī)變量前三階矩實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量分布未知條件下的可靠度分析。該類方法大致包含了兩種途徑：第一種為基于隨機(jī)變量的前三階矩?cái)M合其邊緣概率分布[17?18]，并利用隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行Nataf 變換，從而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量分布未知條件下的可靠度分析；第二種方法為基于隨機(jī)變量的前三階矩和相關(guān)系數(shù)矩陣建立多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型[19?22]，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量的擬正態(tài)變換(包括正態(tài)變換和逆正態(tài)變換)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量分布信息未知條件下的可靠性分析。由于第二種途徑避免了對隨機(jī)變量概率分布的擬合，相比第一種途徑減少了分析步驟，計(jì)算相對簡單。因此本文著重對第二種途徑進(jìn)行研究，其核心為基于隨機(jī)變量前三階矩的擬正態(tài)變換模型。

針對相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，Zhao和Ono[19]提出了三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型的準(zhǔn)確表達(dá)式。雖然該模型具有顯式解析表達(dá)式，但其系數(shù)的求解需要計(jì)算反三角函數(shù)，較為復(fù)雜，影響了其在實(shí)際工程中應(yīng)用的效率。為考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的影響，Lu 等[22]提出了相關(guān)隨機(jī)變量的三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型，使用多項(xiàng)式模型實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的轉(zhuǎn)換。該模型具有明確的解析表達(dá)式，無需使用隨機(jī)變量的邊緣概率分布或聯(lián)合概率分布即可實(shí)現(xiàn)任意相關(guān)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量間的相互轉(zhuǎn)換，具有廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的潛力。但由于三階矩多項(xiàng)式變換模型本身求解的復(fù)雜性，Lu 模型在使用過程中不可避免的存在計(jì)算效率較低的問題。同時(shí)，Lu 模型未給出相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換公式的適用范圍，這給實(shí)際工程應(yīng)用造成了一定的困難。

針對上述問題，本文首先基于Zhao-Ono模型發(fā)展了獨(dú)立隨機(jī)變量的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型。根據(jù)簡化模型，本文建立了相關(guān)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換模型，并提出了相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換模型的簡明適用范圍，從而實(shí)現(xiàn)了相關(guān)隨機(jī)變量的三階矩?cái)M正態(tài)變換。隨后，本文將提出的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型與一階可靠度分析方法(FORM)相結(jié)合，發(fā)展了隨機(jī)變量分布未知條件下的可靠度分析方法，并分別采用獨(dú)立隨機(jī)變量和相關(guān)隨機(jī)變量的數(shù)值算例對所發(fā)展的可靠度分析方法進(jìn)行了驗(yàn)證。研究表明，本文提出的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型具有較高的準(zhǔn)確性和適用性，通過與一階可靠度分析方法結(jié)合，能夠?qū)崿F(xiàn)在隨機(jī)變量分布條件未知情況下的結(jié)構(gòu)可靠度分析計(jì)算。

1 相互獨(dú)立隨機(jī)變量的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換

1.1 三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換準(zhǔn)確模型

1.2 簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型

將式(6)代入式(3)，由反正切函數(shù)的值域|θi|≤π/2，假定反余弦函數(shù)只取單值，則其值域?yàn)閇0,π/2)，同時(shí)考慮到同一個(gè)變量的反正弦函數(shù)arcsin(·)與反余弦函數(shù)arccos(·)之和為π/2，可得到α3i的連續(xù)函數(shù)如下：

圖1 簡化公式與準(zhǔn)確值對比示意圖Fig.1 Comparison of the exact and simplified coefficients

觀察圖1和圖2可知：

1)當(dāng)?2≤α3i≤2時(shí)，本文提出的簡化公式計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值基本吻合。對于α3i的取值范圍大致在?2到2之間的實(shí)際工程[23]，可以認(rèn)為簡化公式具有較高的準(zhǔn)確性。

2)系數(shù)a2i簡化公式的誤差變化趨勢與系數(shù)a3i簡化公式的誤差變化趨勢相反，且a3i的誤差值比a2i的誤差值大。當(dāng)?2≤α3i≤2時(shí)，簡化公式得到的a2i和a3i與準(zhǔn)確值之間的相對誤差分別在0.8%和5%之內(nèi)，均滿足實(shí)際工程準(zhǔn)確性的容差要求。

將簡化公式代回式(1)和式(2)中，可得到三階矩?cái)M正態(tài)變換簡化模型定義如下：

圖2 簡化公式系數(shù)與準(zhǔn)確值間的相對誤差Fig.2 Relative error between simplified and exact coefficients

可以看出，簡化后的三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)分布系數(shù)公式去掉了三角函數(shù)與反三角函數(shù)，將系數(shù)a3i、a2i分別以隨機(jī)變量偏度α3i的一元線性方程和一元平方方程來替代計(jì)算，如此既簡化了計(jì)算過程又統(tǒng)一了公式中的變量，可以直接明了地表現(xiàn)出隨機(jī)變量的概率特征及系數(shù)結(jié)果隨特征值的變化情況。

2 相關(guān)隨機(jī)變量的三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換

2.1 三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換準(zhǔn)確模型

當(dāng)隨機(jī)變量X的相關(guān)性不可忽略時(shí)，通過三

式中，L0為對Z的相關(guān)系數(shù)矩陣R Z進(jìn)行Cholesky分解后得到的下三角矩陣?；陔S機(jī)變量前三階矩得到的R Z有可能出現(xiàn)非正定的情況。為了解決這一問題，Ji等[24]提出了一種使用較小的正值(如0.001)代替R Z原對角特征矩陣中負(fù)值的近似分析方法。

將式(15)代入式(13)和式(14)可得相關(guān)隨機(jī)變量X的擬正態(tài)變換模型：

根據(jù)式(3)和式(5)可知，a3i和a3j的準(zhǔn)確求解需要進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算，因此ρij和ρ0ij間轉(zhuǎn)換關(guān)系的確定需進(jìn)行較復(fù)雜的計(jì)算。同時(shí)，式(18)～式(20)的適用范圍尚未明確，這給三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型在實(shí)際工程計(jì)算中的應(yīng)用造成了一定程度的影響。

2.2 簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型

為簡化相關(guān)隨機(jī)變量的三階矩?cái)M正態(tài)變換計(jì)算過程，本文首先將提出的簡化系數(shù)(式(8)和式(9))代入2.1節(jié)的準(zhǔn)確公式中得到：

對任意隨機(jī)變量和相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)間的轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行化簡。結(jié)果如下：

將式(23)～式(25)與式(15)～式(17)聯(lián)立，即為相關(guān)隨機(jī)變量的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型。式(23)～式(25)將ρij和ρ0ij間的轉(zhuǎn)換公式定義為與偏度相關(guān)的簡單運(yùn)算公式。與需要進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算的理論公式相比降低了計(jì)算難度，從而提高了運(yùn)算效率，使三階矩?cái)M正態(tài)變換更適用于實(shí)際工程。

為提出相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換公式的適用范圍，下面對式(23)～式(25)進(jìn)行深入探討。觀察式(24)可知，由ρij向ρ0ij進(jìn)行轉(zhuǎn)換存在一定的前提條件。同時(shí)考慮到相關(guān)系數(shù)的定義，ρ0ij應(yīng)滿足?1≤ρ0ij≤1和ρij·ρ0ij≥0。故可解得ρij的簡明取值范圍如表1所示。通過表1，可以對相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換公式適用范圍進(jìn)行確定，從而直接判斷三階矩?cái)M正態(tài)變換模型是否適用于某工程實(shí)際問題。

3 基于簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型的一階可靠度分析方法

對于隨機(jī)變量分布已知的情況，一階結(jié)構(gòu)可靠度分析方法(FORM)[1]具有計(jì)算簡單適用范圍較廣等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的可靠度分析中。該方法采用一維線性函數(shù)對結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)進(jìn)行模擬，將結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)定義為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)原點(diǎn)到極限狀態(tài)平面的最短距離。分析過程中，常規(guī)FORM需要基于隨機(jī)變量的分布使用Rosenblatt 變換或Nataf 變換將任意空間中的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換至標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間。

對于隨機(jī)變量分布未知的情況，可以基于隨機(jī)變量的前三階矩使用簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型進(jìn)行隨機(jī)變量的正態(tài)及逆正態(tài)變換。從而實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量分布未知條件下的FORM分析?；诤喕A矩逆正態(tài)變換模型的FORM 流程如下：

1)首先獲得原始變量X前三階矩與相關(guān)系數(shù)；

2)將X劃分為分布已知的隨機(jī)變量X1和分布未知的隨機(jī)變量X2，分別采用Rosenblatt/Nataf 變換和簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型對X1和X2進(jìn)行正態(tài)變換，將任意隨機(jī)變量X表示的功能函數(shù)G(X)轉(zhuǎn)化為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量表示的g(U)；

表1 簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換中ρ0ij 的表達(dá)式及其適用范圍Table 1 Expressionsand applicable rangesof ρ0ij in the simplified TMNT

3)定義初始可靠度指標(biāo)β0=0和初始驗(yàn)算點(diǎn)U0=[0,0,···,0]；

4)計(jì)算U0處功能函數(shù)g(U)對U的導(dǎo)數(shù)；

5)計(jì)算靈敏度系數(shù)αi，

8)將新的可靠指標(biāo)β 和新驗(yàn)算點(diǎn)U1代回步驟3)，重復(fù)步驟3)～步驟8)，直至|β?β0|≤容許誤差，β 即為所求得的可靠指標(biāo)。

綜上所述，基于簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型的FORM分析流程與隨機(jī)變量分布已知條件下的FORM 流程一致，僅在進(jìn)行變量正態(tài)變換的時(shí)候與常規(guī)FORM采用的模型不同。因此，基于簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換的FORM無需額外的計(jì)算步驟，確保了可靠度分析的高效性。

4 結(jié)構(gòu)可靠度分析算例

4.1 隨機(jī)變量相互獨(dú)立條件下可靠度分析算例：屋頂結(jié)構(gòu)可靠度

為驗(yàn)證本文提出方法的準(zhǔn)確性和適用性，本算例對一跨長為l，受均布垂直荷載為qr的屋頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析。本算例中屋頂結(jié)構(gòu)的受力圖和計(jì)算簡圖分別如圖3(a)和圖3(b)所示。該結(jié)構(gòu)的頂弦和壓桿材料為混凝土，彈性模量為Ec，橫截面面積為Ac。底部繩索和拉桿材料為鋼材，彈性模量為Es，橫截面面積為As。在屋頂結(jié)構(gòu)計(jì)算分析中，均布垂直荷載qr近似簡化為三個(gè)節(jié)點(diǎn)集中荷載P=qrl/4。結(jié)構(gòu)的使用極限狀態(tài)設(shè)定為結(jié)構(gòu)最大豎向位移等于容許豎向位移ua的情況，相應(yīng)功能函數(shù)為[25?27]：

圖3 屋頂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the roof structure

本算例中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)信息如表2所示，假設(shè)各變量間相互獨(dú)立。為驗(yàn)證基于簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型的FORM的準(zhǔn)確性和適用性，本算例分別使用基于三階矩?cái)M正態(tài)變換簡化模型和準(zhǔn)確模型的FORM法、基于隨機(jī)變量分布信息的FORM法和MCS法對比研究。

表2 算例1的隨機(jī)變量分布及前三階矩Table 2 Distributionsand first three momentsof random variablesfor example 1

圖4 隨機(jī)變量相互獨(dú)立條件下β 隨ua 變化示意圖Fig.4 Changesof β with ua considering independent random variables

使用不同方法得到可靠度指標(biāo)β 隨容許豎向位移ua的變化規(guī)律如圖4所示。其中，細(xì)實(shí)線、粗虛線以及點(diǎn)劃線分別表示基于三階矩?cái)M正態(tài)變換準(zhǔn)確模型、三階矩?cái)M正態(tài)變換簡化模型、以及基于隨機(jī)變量分布信息的FORM 得到的可靠指標(biāo)，圓圈符號(hào)為MCS法計(jì)算得到的可靠指標(biāo)。

由圖4可知，隨著容許豎向位移的增加，結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)有明顯的上升趨勢。在本算例考慮的允許位取值范圍內(nèi)，簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)分布與MCS法和基于隨機(jī)變量分布信息的FORM法誤差滿足工程容許值5%。從而證明了本文提出的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換在隨機(jī)變量相互獨(dú)立條件下的準(zhǔn)確性和適用性。

4.2 考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠度分析算例：CRTSII 型板式無砟軌道可靠度

為進(jìn)一步分析簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型在隨機(jī)變量相關(guān)性不可忽略條件下的準(zhǔn)確性和適用性，本算例擬采用該方法對高速鐵路CRTSII型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行分析。

連續(xù)鋪設(shè)的橋梁地段CRTSII型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)，其鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在服役期間達(dá)到一定的溫度條件后，會(huì)產(chǎn)生巨大的溫差壓力，這種由軌道板整體溫度升高引起的壓力極易造成軌道板與砂漿層的剝離，因此需要對其穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)估[28]。假設(shè)CRTSII型軌道板與CA 砂漿層因?yàn)樯郎貙?dǎo)致完全剝離，軌道板失穩(wěn)的功能函數(shù)近似表示為[29? 31]：

式中：λCA為臨界失穩(wěn)壓力提高系數(shù)，表征CA 砂漿層粘結(jié)力對軌道板位移的限制作用；λcr為考慮了軌道板初始偏心等各不利條件引入的折減系數(shù)；Ftk為由軸向溫度作用產(chǎn)生的應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)值。臨界壓力Pcr[31]和軸向溫度作用Ftk[28]計(jì)算公式分別為：

式中：ΔT為軸向溫度；Ec為軌道板彈性模量取為35.5 GPa；I為軌道板慣性矩取0.0017 m4；L為計(jì)算長度取我國高鐵橋梁常用箱梁長32 m；λc為軌道板彈性模量折減系數(shù)，一般取0.3～0.6，本例取0.4，線膨脹系數(shù)at=10?5℃?1，軌道板截面積Ag=0.51 m2。

本算例將參數(shù)λCA、λcr、ΔT看作隨機(jī)變量。由于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的缺乏，上述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)信息暫時(shí)無法準(zhǔn)確確定。為了對本文提出方法進(jìn)行驗(yàn)證，假設(shè)上述隨機(jī)變量的分布及相關(guān)性已知，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征值和兩兩之間的相關(guān)系數(shù)分別假定為表3和表4所示的數(shù)值。因?yàn)殡S機(jī)變量的分布信息已知，因此可以采用常規(guī)FORM 對CRTS II型無砟軌道板的縱向失穩(wěn)可靠度進(jìn)行分析。

表3 算例2的隨機(jī)變量分布及前三階矩Table 3 Distributions and first three moments of random variablesfor example2

表4 算例2的隨機(jī)變量間相關(guān)系數(shù)Table 4 Correlation coefficients between different random variables for example 2

本算例使用提出的可靠度分析方法對軌道板的縱向失穩(wěn)可靠度進(jìn)行了分析。并將得到的結(jié)果與基于三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換準(zhǔn)確模型的FORM 法、常規(guī)FORM法和MCS法得到的結(jié)果進(jìn)行對比。

考慮隨機(jī)變量相互獨(dú)立，使用不同方法得到β 隨軸向溫度ΔT均值μΔT、變異系數(shù)COVΔT和折減系數(shù)偏度α3λcr的變化趨勢如圖5～圖7所示?？紤]隨機(jī)變量相關(guān)，使用不同方法得到β 隨相關(guān)系數(shù)變化如圖8～圖9所示。其中，ρ12、ρ13和ρ23分別表示λCA與λcr、λCA與ΔT以及λcr與ΔT兩兩間的相關(guān)系數(shù)。圖8為單一相關(guān)系數(shù)的影響趨勢，考慮某一特定相關(guān)系數(shù)時(shí)其余值取固定值如表4所示。圖9為CRTSII無砟軌道板縱向失穩(wěn)可靠度隨ρ13和ρ23變化的三維示意圖。

由圖5～圖9可以看出：

1)對于所有情況，三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換簡化公式與準(zhǔn)確公式的計(jì)算結(jié)果基本一致。通過計(jì)算，相對誤差值普遍小于1%。這表明簡化公式具有較高的準(zhǔn)確性。

2)針對大多數(shù)情況，使用三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換與FORM結(jié)合得到的結(jié)果與基于分布的MCS及FORM 得到的結(jié)果高度吻合。但對于COVΔT較小、α3λcr>1.05以及ρ23較小的情況，基于隨機(jī)變量前三階矩得到的可靠指標(biāo)與基于隨機(jī)變量分布的MCS和FORM分析結(jié)果存在一定的誤差。前兩者可能是因?yàn)殡S機(jī)變量的非高斯性較強(qiáng)，前三階矩?zé)o法準(zhǔn)確描述功能函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型存在一定誤差。此時(shí)，可以使用基于隨機(jī)變量前四階矩的可靠度分析方法[25]提高計(jì)算精度。后者則可能因?yàn)槭褂肅holesky分解時(shí)存在負(fù)正定情況，直接替換會(huì)造成三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型存在誤差，計(jì)算可知，誤差值在容許范圍內(nèi)。

圖5 隨機(jī)變量相互獨(dú)立條件下β 隨μΔT 變化示意圖Fig.5 Changes of β with μΔT considering independent random variables

圖6 隨機(jī)變量相互獨(dú)立條件下β 隨COVΔT 變化示意圖Fig.6 Changesof β with COVΔT considering independent random variables

圖7 隨機(jī)變量相互獨(dú)立條件下β 隨α3λcr 變化示意圖Fig.7 Changesof β with α3λcr considering independent random variables

圖8 β 隨單一相關(guān)系數(shù)變化示意圖Fig.8 Changes of β with one correlation coefficient

圖9 β 隨ρ12和ρ23變化三維示意圖Fig.9 Changesof β with ρ12 and ρ23

3)CRTSII型無砟軌道板可靠指標(biāo)均隨變量的均值、變異系數(shù)和偏度增大而減小。這是因?yàn)楫?dāng)均值、變異系數(shù)和偏度升高時(shí)，功能函數(shù)的變異性增大，從而導(dǎo)致軌道板的可靠性降低。

4)當(dāng)相關(guān)系數(shù)較小時(shí)，CRTSII型無砟軌道板的縱向失穩(wěn)可靠指標(biāo)隨ρ12和ρ13的增加緩慢增大；當(dāng)ρ13取值較大(ρ13>0.85)時(shí)軌道板可靠指標(biāo)隨ρ13表現(xiàn)出輕微的下降趨勢。對于ρ23的所有取值，CRTSII 型無砟軌道板的縱向失穩(wěn)可靠指標(biāo)隨ρ23上升均呈現(xiàn)出明顯的下降趨勢。這表明λCA與λcr、λCA與ΔT間的相關(guān)性對軌道板的可靠性影響不大，而λcr與ΔT間的相關(guān)性越強(qiáng)軌道板的可靠性越弱。

5 結(jié)論

針對現(xiàn)有三階矩?cái)M正態(tài)變換模型較為復(fù)雜且適用范圍不明確的問題，本文發(fā)展了獨(dú)立及相關(guān)隨機(jī)變量的簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換模型，并提出了相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換模型的簡明適用范圍。隨后，通過與FORM分析方法結(jié)合，發(fā)展了隨機(jī)變量分布未知條件下的可靠度分析方法。研究表明：

(1)提出的簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型具有簡明的表達(dá)式，在實(shí)際工程中常見的偏度范圍內(nèi)與準(zhǔn)確模型結(jié)果吻合，具有較高的準(zhǔn)確性。

(2)提出的簡化三階矩多項(xiàng)式擬正態(tài)變換模型適用范圍具有簡明的顯式表達(dá)，簡明扼要地劃定了簡化三階矩?cái)M正態(tài)變換的適用范圍，便于實(shí)際工程應(yīng)用。

(3)提出的可靠度分析方法可用于隨機(jī)變量分布未知條件下的可靠度分析，在本文的數(shù)值算例和CRTSII 型軌道板算例中均表現(xiàn)出較高的準(zhǔn)確性和高效性。