從恩格斯的無限小量的概念看經(jīng)典微積分存在的問題

四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

一、恩格斯的無限小量的概念

在我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實(shí)集合論”中提出了超實(shí)變量和無限小量的概念?，F(xiàn)在把超實(shí)變量和無限小量的定義引述如下：如果有實(shí)變量x，就有超實(shí)變量X=x+dx，與超實(shí)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)為超實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為超實(shí)數(shù)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為超實(shí)函數(shù)。對(duì)于超實(shí)變量X=x+dx，其中實(shí)變量x表示超實(shí)變量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，dx為無限小量，它表示超實(shí)變量X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度。無限小量dx對(duì)應(yīng)的無限小數(shù)是實(shí)數(shù)之外的新數(shù)，它小于任何正實(shí)數(shù)，但是不等于0，并且遵守算術(shù)公理。這里要注意的是，無限小量dx和經(jīng)典微積分的微分dx有本質(zhì)的區(qū)別。

這里還有一點(diǎn)需要注意，即在上述定義中，超實(shí)變量、超實(shí)數(shù)、超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)是客觀實(shí)際存在的變量、數(shù)、點(diǎn)和函數(shù)，為了和現(xiàn)在人們稱呼的實(shí)變量、實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)點(diǎn)和實(shí)函數(shù)互相區(qū)別而稱呼為超實(shí)變量、超實(shí)數(shù)、超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)。

我們把恩格斯的無限小量的概念引述如下，恩格斯在他的“自然辯證法”一書中有如下一段札記：“同一和差異在微分學(xué)已經(jīng)存在的辯證關(guān)系，在那里dx是無限小量，然而是起作用的，并且是無所不能的?！?/p>

首先，恩格斯所說的微分學(xué)指的是萊布尼茨的微分學(xué)，所說的無限小量指的也是萊布尼茨微積分的無限小量，并且它是實(shí)無窮概念下的無限小量。而在經(jīng)典微積分里，極限理論被看作是微積分的理論基礎(chǔ)，只有極限理論才是無所不能的，而且經(jīng)典微積分的無窮小，只是潛無窮。由此可見，恩格斯關(guān)于無限小量的論述一方面是對(duì)萊布尼茨微積分的肯定，另一方面是對(duì)萊布尼茨微積分中的無限小量給出一個(gè)辯證法的解釋。

關(guān)于恩格斯上述的無限小量的概念為什么是對(duì)萊布尼茨微積分中的無限小量給出了一個(gè)辯證法的解釋，根據(jù)我個(gè)人的理解做如下說明，如果有不當(dāng)之處，請(qǐng)批評(píng)指正。

首先，對(duì)于任何一個(gè)具體事物，根據(jù)唯物辯證法都具有同一和差異的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，而且這個(gè)辯證統(tǒng)一的關(guān)系與具體事物的質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系密切相關(guān)。例如水具有特定的性質(zhì)，但是它又為特定的量，即溫度所規(guī)定。當(dāng)溫度在0o～100°以內(nèi)，水的基本性質(zhì)保持不變，這就體現(xiàn)了水的同一性。在實(shí)際生活中，我們會(huì)體會(huì)到，5℃、40℃和90℃的水是不同的，這就是水的差異性。任何事物都是這種同一和差異的辯證統(tǒng)一，或者稱之為同一和差異的辯證法。

而在恩格斯關(guān)于無限小量的概念中，同一和差異的辯證法，當(dāng)然指的是量存在的同一和差異的辯證法。這又如何解釋呢？根據(jù)質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，量也具有質(zhì)的方面。例如根據(jù)辯證法，陰和陽(yáng)是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，因此陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰；所以量也具有質(zhì)的方面，并且這個(gè)質(zhì)的方面也必然為與它所對(duì)應(yīng)的量所規(guī)定，顯然，規(guī)定量所具有的質(zhì)的方面的量就是超實(shí)變量X=x+dx中的無限小量dx。當(dāng)無限小量dx在一定的范圍內(nèi)變化時(shí)，超實(shí)變量X就存在，它的基本性質(zhì)也就保持不變，這就是超實(shí)變量的同一性。在等式X=x+dx中，當(dāng)X在一個(gè)特定的點(diǎn)上，無限小量dx是變量，實(shí)變量x是常量，因此X也是變量。也就是說，由于無限小量dx的變化，超實(shí)變量X在任何一個(gè)特定的點(diǎn)上也存在差異，這個(gè)差異就是兩個(gè)不同的無限小量的值的差，這個(gè)差仍然是一個(gè)無限小量。這也就是說，超實(shí)變量或者客觀實(shí)際存在的變量自身存在差異，而這個(gè)差異就是一個(gè)無限小量，這就是量的同一與差異的辯證法。這里恩格斯所強(qiáng)調(diào)的是客觀實(shí)際存在的變量既是同一的，也是自身存在差異的，而這個(gè)差異本身就是一個(gè)無限小量。也正如恩格斯所說：“同一和差異在微分學(xué)中已經(jīng)存在的辯證關(guān)系，dx是無限小量，然而是起作用的，并且是無所不能的。”

現(xiàn)在還有一點(diǎn)要說明，就是德國(guó)著名的唯心主義哲學(xué)家黑格爾在200 多年前也給出了無限小的定義，這個(gè)定義是：無限小量就是量的質(zhì)的量的規(guī)定性，它的含義前面已經(jīng)作了簡(jiǎn)短的敘述，關(guān)于黑格爾的無限小量定義，我將在另文中給出詳細(xì)的論述。這里要指出的是，黑格爾的無限小量的定義是從量和質(zhì)的辯證統(tǒng)一的關(guān)系中得到的，是和恩格斯的無限小量的概念一致的，并且是互相補(bǔ)充的。他們都是根據(jù)辯證法的原理，從對(duì)量的本質(zhì)的分析中得到無限小量的定義或者概念。這也就表明了，在黑格爾和恩格斯看來，微積分的真正基礎(chǔ)是無限小量的理論，我們將根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)經(jīng)典微積分存在的問題，并且根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)萊布尼茨的微積分理論，同時(shí)也要根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)來建立新的微積分理論。

二、根據(jù)恩格斯的無限小量的概念試評(píng)價(jià)萊布尼茨微積分

面對(duì)人們對(duì)萊布尼茨的無限小量的批評(píng)，萊布尼茨指出：“然而一個(gè)過度的狀態(tài)或者一個(gè)消失的狀態(tài)是可以設(shè)想的，其中實(shí)際上仍然沒有出現(xiàn)完全的相等或者靜止而是進(jìn)入這樣一種狀態(tài)，即差小于任何指定的量，在這種狀態(tài)中還剩余一些差、一些速度、一些角度，但是它們每個(gè)都是無限小。”

在上述的萊布尼茨關(guān)于無限小量的概念中指出了，變量自身存在的差異就是無限小量本身，這一觀點(diǎn)和恩格斯的無限小量的概念是一致的，萊布尼茨根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)給出了微積分的理論。萊布尼茨的無限小量的理論也是實(shí)無窮的理論。因此對(duì)于萊布尼茨的微積分應(yīng)該給以肯定，他創(chuàng)造了微積分的輝煌時(shí)代，他的微積分理論的方向是正確的。當(dāng)然，萊布尼茨微積分也有它的缺陷，萊布尼茨沒有指出為什么變量自身會(huì)存在差異，而這個(gè)差異就是無限小量。也就是說，對(duì)于無限小量的概念，萊布尼茨解決了是什么的問題，同時(shí)也解決了應(yīng)用的問題，但是沒有解決為什么的問題。再有，萊布尼茨的微積分仍然使用實(shí)數(shù)來表示變量，因?yàn)閷?shí)數(shù)本身是不存在差異的，例如5-5=0。因此，人們認(rèn)為萊布尼茨微積分存在所謂的貝克來悖論而被否定了。

三、從恩格斯的無限小量的概念來看經(jīng)典微積分存在的問題

首先，經(jīng)典微積分僅僅根據(jù)貝克來悖論就完全的否定了萊布尼茨微積分是片面的和錯(cuò)誤的，萊布尼茨微積分存在的缺點(diǎn)我們一定要丟掉，但是萊布尼茨關(guān)于變量自身存在差異，并且認(rèn)為這個(gè)差異就是無限小量，并且根據(jù)這個(gè)無限小量的概念給出了微積分的理論，它體現(xiàn)了微積分理論發(fā)展的正確方向，這一點(diǎn)必須給以肯定。

再有，根據(jù)超實(shí)變量的理論完全可以給出微積分的理論（對(duì)于這個(gè)工作，在我的論文超實(shí)函數(shù)理論與微積分新理論的創(chuàng)新中就已經(jīng)基本完成了），沒有必要使用極限的概念。而對(duì)于經(jīng)典微積分的潛無窮的概念，根據(jù)黑格爾的無限小量的定義和恩格斯的無限小量的概念，無限小量是客觀實(shí)際存在，是實(shí)實(shí)在在的實(shí)無窮；所以經(jīng)典微積分的潛無窮的概念是違背客觀事實(shí)的錯(cuò)誤思想。因此，根據(jù)黑格爾的無限小量的定義和恩格斯的無限小量的概念，經(jīng)典微積分存在原則性的錯(cuò)誤，至少是存在問題的。