圓的綜合題考法淺析

湖北省咸豐縣坪壩營(yíng)鎮(zhèn)楊洞中小學(xué)校 445605

如果說(shuō)函數(shù)的綜合運(yùn)用是初中數(shù)學(xué)所學(xué)內(nèi)容的全部的話，那么圓的綜合題就是初中所學(xué)幾何知識(shí)的全部。細(xì)讀近十年恩施州中考數(shù)學(xué)試題，除2011年出現(xiàn)在21題外，近九年的23題都是圓的綜合題，可以說(shuō)具有絕對(duì)的穩(wěn)定性，試題覆蓋了初中所學(xué)幾何的全部章節(jié)內(nèi)容。

試題有兩至三問(wèn)，但第一問(wèn)年年都是切線的證明，具有絕對(duì)的穩(wěn)定性，第二、三問(wèn)有求陰影部分面積的、角的度數(shù)的、證明線段相等的和求線段長(zhǎng)度的，但求線段長(zhǎng)度的居多。涉及到主要的知識(shí)點(diǎn)是：切線的性質(zhì)和判定、三角形全等、等邊（腰）三角形的性質(zhì)、圖形的面積、直角三角形兩銳角的關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論、三角函數(shù)、勾股定理、垂徑定理、相似三角形性質(zhì)、特殊的四邊形、平行線的性質(zhì)和判定等，基本上覆蓋初中階段所學(xué)幾何知識(shí)的全部。下面淺談一下切線的證明方法和線段長(zhǎng)度的求法。

一、切線的證明方法

近十年考題的切線證明都是根據(jù)切線的判定定理來(lái)證明的，及過(guò)半徑的外端，且垂直于這條直徑的直線就是圓的切線，解決問(wèn)題的途徑只有兩種。

途徑一：證明這條直線與半徑所成的角與另一直角相等，來(lái)證明這條直線是圓的切線。如：21.（2011·恩施 本小題滿分8分）如圖，已知AB為⊙的直徑，BD為⊙的切線，過(guò)B點(diǎn)的弦BC ⊥OD交⊙O于C點(diǎn)，垂足為M.

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）當(dāng)BC=BD，且BD=6cm時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果不取近似值）.

解決此題，可通過(guò)證明這條直線與半徑所成的角與圖中的直角相等，來(lái)得到這條直線是圓的切線。2013年中考的23題第一問(wèn)也可用此方法來(lái)解決。23.（2013·恩施 滿分10分）如圖11，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過(guò)C作CD垂直AB于D點(diǎn)，交AE于F點(diǎn)，過(guò)C作AE平行線交BA的延長(zhǎng)線于G點(diǎn).

(1)求證：GC是⊙O的切線.

(2)求證：AF=CF

(3)若∠EAB=30O，CF=2求GA的長(zhǎng).

途徑二：通過(guò)推理計(jì)算得出這條直線與半徑所成的角是直角，來(lái)證明這條直線是圓的切線。如：23.（2014·恩施州）如圖13，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB ⊥CD，垂足為E，連接AC、AD，延長(zhǎng)AB交過(guò)點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠DCP=∠DAC

（1）求證：PC是⊙O的切線

（2）若AC ＝5，CD ＝6，求PC的長(zhǎng)

此題就是直接計(jì)算這條直線與半徑所成的角是直角，從而得到PC是⊙O的切線。

二、線段長(zhǎng)度的求法

此類題求線段的長(zhǎng)度常綜合運(yùn)用到等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形性質(zhì)、特殊的四邊形的性質(zhì)來(lái)解決。下面以2014·恩施州中考數(shù)學(xué)試題23題來(lái)說(shuō)明（題圖見(jiàn)前）

此題就運(yùn)用了垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)（相似△的性質(zhì)）來(lái)解決。2013年中考題的23題第三問(wèn)也可用類似的方法來(lái)解決。