關于三角形相似模型的探究與思考

化劼

[摘? 要] “A”型模型是三角形重要的相似模型，利用模型的特征性質(zhì)可以快速構(gòu)建解題思路，提高解題效率. 文章解讀“A”型相似模型，結(jié)合實例開展應用強化，并進行總結(jié)反思，提升學生應用模型解題的能力，從而發(fā)展數(shù)學思維.

[關鍵詞] 相似三角形;“A”型模型;探究;應用;數(shù)學思維

幾何模型是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，合理利用典型模型的性質(zhì)和構(gòu)建思路可以簡化解題過程. 開展模型探究需要以教材為基礎，逐步深入探究，以形成相應的解題策略，因此模型探究建議采用“解讀認知→應用強化→反思總結(jié)”的架構(gòu). 相似三角形具有較多的模型，其中“A”型模型是常用的一種，下面對其展開探究.

模型解讀

模型解讀應從基本的模型結(jié)構(gòu)入手，總結(jié)常規(guī)類型、變式類型，同時關注模型的性質(zhì)，以及相應的構(gòu)建思路. 對于“A”型相似模型，基本類型有兩種，包括正“A”型（圖1）、反“A”型（圖2），另外，以反“A”型為基礎，向下平移C′B′，使點B′與點C重合，則有反“A”變形型（圖3）. 不同的類型具有相應的結(jié)構(gòu)特點，同時具有不同的相似關系，具體如下.

1. 正“A”型

正“A”型相似模型的特點為：共用一個頂點，底邊相互平行. 以圖1為例，△ABC∽△A′B′C′，兩個三角形共用頂點A（A′），同時BC∥B′C′，則對應性質(zhì)為 = = .

平行關系是模型最具代表性的特征，構(gòu)建時可借助兩線平行，利用平行性質(zhì)推得兩個三角形相似，然后利用模型的性質(zhì)來轉(zhuǎn)換線段比值關系. 基于上述分析，該模型的構(gòu)建有兩種策略：一，由兩線平行直接構(gòu)建;二，借助三角形的中位線性質(zhì)，即，若點B′和C′分別為AB，AC的中點，則由中位線的性質(zhì)也可推知兩線平行.

2. 反“A”型

反“A”型相似模型的特點為：共用一個頂點，其他兩頂點位置反向?qū)? 以圖2為例，△ABC∽△A′B′C′，點B的對應點B′在點B的對邊AC上，點C的對應點C′在點C的對邊AB上，對應性質(zhì)為 = = .

反“A”型相似模型的典型特征是頂點位置反向，實際構(gòu)建時需要采用等角轉(zhuǎn)化的方式，通過等角代換來提取圖形中的相等角，進而證明兩個三角形相似.

3. 反“A”變形型

反“A”變形型，顯而易見是對反“A”型的變形，它們總體結(jié)構(gòu)不變，僅僅是點B′與點C重合，從而使模型存在兩對重合點（僅一對重合點為對應點），該類型也稱為共角共邊型. 以圖3為例，△ABC∽△A′B′C′中，兩三角形共頂點A（A′）和C（B′）.

應用強化

上述三種是“A”型相似模型的常見類型，模型結(jié)構(gòu)雖較為簡單，但變化靈活，可結(jié)合圖形翻折、動點等動態(tài)形式呈現(xiàn)，同時可結(jié)合三角函數(shù)、圓、函數(shù)曲線等內(nèi)容來綜合考查. 實際解題時，需要準確把握圖形特點，嚴格按照相似三角形的判定定理來構(gòu)建，下面結(jié)合考題來強化應用.

1. 動點問題的“A”型相似

例1? 在△ABC中，AB=4 cm，BC=8 cm，現(xiàn)點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1 cm/s的速度向點B移動，同時點Q從點B出發(fā)，沿BC方向以2 cm/s的速度向點C移動，設時間為t，試分析是否存在時間t，使得△PBQ與△ABC相似. 若存在，請求出t的值;若不存在，請說明理由.

解析? 上述為雙動點三角形相似問題，實則就是分析△PBQ與△ABC相似的情形，其中兩三角形已有一組對應角相等——∠PBQ=∠ABC，只需確保另一組對應角相等即可. 題干沒有設定相似對應，顯然有兩種情形：△PBQ∽△ABC，△PBQ∽△CBA，后續(xù)只需利用三角形相似性質(zhì)，結(jié)合運動建立方程求解即可.

①當△PBQ∽△ABC時，如圖4，此時PQ∥AC，為正“A”型三角形相似模型. 由已知條件可得AP=t，BQ=2t，結(jié)合三角形相似性質(zhì)可得 = ，即 = ，解得t=2.

②當△PBQ∽△CBA時，如圖5，此時PQ與AC不再平行，為反“A”型三角形相似模型. 結(jié)合三角形相似性質(zhì)可得 = ，即 = ，解得t=0.8.

綜上可知，當t為0.8或2時，△PBQ與△ABC相似.

評析? 上述問題引入動點探究三角形相似時t的值，通過討論三角形對應情形確定了“A”型相似的兩種模型，進而利用性質(zhì)完成求解. 動點拓寬了模型的構(gòu)建思路，使得模型更具應用價值. 實際解題時需關注三角形相似的對應情形，合理建模.

2. 圓問題中的“A”型相似

例2? 如圖6，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，點D在弧BC上，點E在弦AB上（點E不與點A重合），四邊形BDCE為菱形. 求證：

（1）AC=CE;

（2）BC2-AC2=AB·AC.

解析? 本題為涉及圓的幾何問題，需要充分結(jié)合圓的特性來構(gòu)建解題思路.

（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知∠D=∠BEC，又∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°，所以∠A=∠AEC. 所以AC=CE.

（2）要證BC2-AC2=AB·AC，可對其適當變形，即（BC+AC）·（BC-AC）=AB·AC，進而可得 = . 該形式可視為相似三角形的性質(zhì)所得，后續(xù)只需進行等線段轉(zhuǎn)化，構(gòu)建相似三角形模型即可.

如圖7，以點C為圓心、CE的長為半徑作⊙C，與BC交于點F，與BC的延長線交于點G，則CF=CG=AC=CE. 分析可知BF=BC-CF=BC-AC，BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，推理后可證△BEF∽△BGA，由相似性質(zhì)可得 = ，結(jié)合上述線段關系可轉(zhuǎn)化為 = ，化簡后得BC2-AC2=AB·AC.

評析? 上述第（2）問在證明線段之間的代數(shù)關系時，采用了等量變形、相似轉(zhuǎn)化的策略，即通過作圖構(gòu)建了相似三角形，利用相似三角形的對應邊成比例的性質(zhì)證明，解題所用的是反“A”型相似模型. 在實際解題時，需關注與線段長相關的代數(shù)關系，合理聯(lián)系三角形的相似性質(zhì)構(gòu)建模型，進行線段轉(zhuǎn)化，提升思維的靈活性.

3. 曲線中的“A”型相似

例3? Rt△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖8，反比例函數(shù)y= （k≠0）在第一象限內(nèi)的圖像與BC的交點為D，與AB的交點為E，已知D（4，m），E（2，n），△BDE的面積為2，試回答下列問題：

（1）求m與n的數(shù)量關系;

（2）若tan∠BAC= ，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式;

（3）設直線AB與y軸的交點為F，點P在射線FD上，在（2）問的條件下，若△AEO與△EFP相似，試求點P的坐標.

解析? 本題為反比例函數(shù)背景下的三角形相似探究，題目同樣沒有設定相似對應，所以需要分類討論. 解題時需要構(gòu)建相應的相似模型，然后利用相似性質(zhì)轉(zhuǎn)化出線段比例關系，進而確定點P的坐標.

（1）因為點D和點E均在反比例函數(shù)的圖像上，均滿足其函數(shù)解析式，所以4m=2n=k. 所以n=2m.

（2）需要在圖像中構(gòu)建直角模型，結(jié)合三角函數(shù)值來求解點的坐標，進而確定反比例函數(shù)和直線AB的解析式. 過程略，反比例函數(shù)的解析式為y= ，直線AB的解析式為y= x+1.

（3）結(jié)合直線AB的解析式可求得F（0，1），D（4，1）. 分析可知直線FD平行于x軸，故△AEO與△EFP相似有兩種情形：△EFP∽△EAO，△EFP∽△OAE.

①當△EFP∽△EAO時，如圖9，由相似性質(zhì)可得 = ，代入線段長可得 = ，解得FP=1，此時點P的坐標為（1，1）.

②當△EFP∽△OAE時，如圖10，由相似性質(zhì)可得 = ，代入線段長可得 = ，解得FP=5，此時點P的坐標為（5，1）.

綜上可知，若△AEO與△EFP相似，則點P的坐標為（1，1）或（5，1）.

評析? 上述是反比例函數(shù)背景下的三角形相似，其中相似涉及“A”型相似模型，解析時可以直接提取模型，構(gòu)建相似關系. 函數(shù)曲線中的相似問題，最大的特點為聯(lián)系了函數(shù)解析式，模型解析時需要充分利用點的坐標的紐帶作用，由點推線長、位置關系，構(gòu)建相似模型.

反思總結(jié)

1. 模型教學立足教材基礎

上述對三角形“A”型相似模型進行了解讀探究，并結(jié)合實例開展應用強化，具有極高的學習價值. 而在實際教學中需要立足教材基礎，從模型的定理、性質(zhì)入手，引導學生掌握模型結(jié)構(gòu)，獲得相應的應用方法. 教學中需要關注以下兩點：一是模型的核心內(nèi)容，如相似模型中所涉及的三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理，使學生掌握證明方法，及所具有的性質(zhì);二是相似模型的對應關系，教學中需要引導學生關注三角形相似的對應關系，理解對應點不同所構(gòu)建的模型也不同.

2. 利用模型教學發(fā)展學生思維

開展模型教學可以強化知識，使學生掌握解題策略，同時，模型教學也是數(shù)學思維的過程，能引導學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)模型、總結(jié)歸納、知識應用、強化拓展等思維活動，對提升學生的探究能力極為有利. 教學中，應注重模型教學的探究環(huán)節(jié)，合理滲透數(shù)學思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、模型構(gòu)建思想等，提升學生的數(shù)學思想，促進學生思維的發(fā)展，為學生的長遠發(fā)展打基礎.