關(guān)于坐標(biāo)系中特殊角的處理策略探究

王久平

[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)中有一類較為特殊的問(wèn)題，坐標(biāo)系中設(shè)定了特殊角，探究動(dòng)點(diǎn)存在性

或函數(shù)解析式. 在解題時(shí)需要對(duì)其中的特殊角進(jìn)行處理，一般處理思路有兩種：一是利用特殊角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值來(lái)推導(dǎo)直線斜率，二是利用特殊角構(gòu)造特殊模型. 文章將深入探究坐標(biāo)系中的特殊角問(wèn)題，總結(jié)處理策略，結(jié)合實(shí)例應(yīng)用分析.

[關(guān)鍵詞] 坐標(biāo)系;特殊角;三角函數(shù);特殊圖形;思想方法

背景綜述

在幾何中存在一些諸如30°，45°，60°，90°的角，我們將其稱之為特殊角，其特殊之處主要體現(xiàn)在這些角的三角函數(shù)值上. 對(duì)于一般的角度，難以直接計(jì)算出對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值，但這些特殊角則可以，如sin30°= ，cos45°= ，tan60°= 等. 而當(dāng)坐標(biāo)系中出現(xiàn)特殊角時(shí)，一般有兩種考查視角：一是三角函數(shù)視角，考查特殊角的三角函數(shù)與直線斜率之間的聯(lián)系;二是圖形構(gòu)建視角，考查利用特殊角來(lái)構(gòu)建特殊的圖形進(jìn)而挖掘特殊圖形的特征. 下面對(duì)坐標(biāo)系中的特殊角進(jìn)行深入探究，總結(jié)相應(yīng)的解題策略.

引例呈現(xiàn)

引例? 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y= x，點(diǎn)M（2，1）是直線AB上的一點(diǎn)，現(xiàn)將直線AB繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到了直線CD，試求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.

解析：該問(wèn)題屬于旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵條件為旋轉(zhuǎn)角為特殊的45°角，求直線CD的函數(shù)表達(dá)式，可以通過(guò)確定其斜率或直線上不與M相重合的點(diǎn)來(lái)求解，有以下兩種思路.

思路一：利用特殊角的三角函數(shù)值.

過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線，與y軸相交于點(diǎn)N，如圖2. 則tan∠OMN=tanα= ，tan∠CMN= ，由圖像可知直線CD的函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則其斜率kCD<0，所以直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=- （x-2）+1，化簡(jiǎn)可得y=- x+ .

思路二：利用特殊角構(gòu)建特殊圖形.

題干設(shè)定直線AB和CD的夾角為45°，則可以通過(guò)作垂線構(gòu)建等腰直角三角形，具體如下. 過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB，與CD的交點(diǎn)設(shè)為P，分別過(guò)點(diǎn)M，P作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和F，如圖3，則△OPM為等腰直角三角形，△PFO和△OEM為直角三角形.

由條件可證△OEM≌△PFO，由全等性質(zhì)可得PF=OE=2，OF=ME=1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，2），綜合點(diǎn)P和M的坐標(biāo)可解得直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y= - x+ .

對(duì)于該種思路，除了可以作AB的垂線來(lái)構(gòu)造等腰直角三角形外，還可以通過(guò)作CD的垂線來(lái)構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造時(shí)充分利用其中的特殊角即可.

方法歸納

從引例可以看出直角坐標(biāo)系中的特殊角有著極高的應(yīng)用價(jià)值，是挖掘題干條件、串聯(lián)斜率關(guān)系構(gòu)建特殊圖形的關(guān)鍵. 當(dāng)問(wèn)題中給出了幾何特殊角時(shí)，有以下兩種處理思路.

思路一：利用特殊角求三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)值化“角度條件”為“直線斜率k”，由斜率的符號(hào)可分為兩種類型，但基本關(guān)系不變，對(duì)于直線y=kx+b，直線與x軸的夾角存在固定關(guān)系，即tanα=k. 以k>0為例，如圖4，點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2）是直線y=kx+b上的兩點(diǎn)，則tanα=k= ，同時(shí)tanα= ，因此可由特殊角求直線斜率，串聯(lián)直線上點(diǎn)坐標(biāo)、斜率、垂線長(zhǎng)的關(guān)系.

思路二：利用特殊角可以構(gòu)造特殊圖形，如構(gòu)造直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、矩形等. 實(shí)際解題時(shí)可以充分借助特殊圖形之間的相似或全等關(guān)系，挖掘問(wèn)題中的等量關(guān)系. 教師在該思路的解題教學(xué)中需要提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造技巧，總結(jié)常見(jiàn)的幾何模型，如上述引例中的三垂直全等模型.

應(yīng)用探究

上述所探究的坐標(biāo)系中特殊角的應(yīng)用思路在實(shí)際解題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，解題時(shí)需要充分把握問(wèn)題條件，結(jié)合圖形特征確定使用特殊角的轉(zhuǎn)化策略，下面結(jié)合實(shí)例深入探究.

應(yīng)用探究一：特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

坐標(biāo)系中出現(xiàn)特殊角度時(shí)，可以聯(lián)系特殊角的三角函數(shù)值與直線斜率的關(guān)系來(lái)進(jìn)行解題突破，基本思路是確定相關(guān)直線表達(dá)式，聯(lián)立曲線函數(shù)進(jìn)行關(guān)鍵點(diǎn)推導(dǎo)，可拓展到求幾何面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題中.

例1? （2020年遼陽(yáng)市?？季恚┤鐖D5所示，直線y=x-3與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A和B，過(guò)點(diǎn)B的拋物線y= x2+bx+c與直線y=x-3的另一交點(diǎn)為E（8，5），且與坐標(biāo)的x軸交于點(diǎn)C和D.

（1）試求拋物線的函數(shù)解析式;

（2）點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn)，若當(dāng)∠MBE=75°時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

解析：（1）由點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線的函數(shù)解析式為y= x2-x-3.

（2）雖然題干所給角度為75°，不屬于特殊角，但可將其視為45°+30°，同時(shí)點(diǎn)M的位置有兩種情形，分別進(jìn)行討論.

①當(dāng)點(diǎn)M位于直線BE的上方時(shí)，如圖6，由于∠MBE=75°，∠OBE=45°，則∠OBM=30°，可推知直線BM與坐標(biāo)x軸的夾角為60°，所以直線BM的斜率k=

-tan60°=- ，可求得直線BM的函數(shù)解析式為y=- x-3. 聯(lián)立直線BM與拋物線的解析式可解得x1=0和x2=4-4 ，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4-4 .

②當(dāng)點(diǎn)M位于直線BE的下方時(shí)，如圖7，過(guò)點(diǎn)B作BF∥x軸，則∠EBF=45°，由于∠MBE=75°，則∠MBF=30°，即直線BM與x軸的夾角為30°，所以直線BM的斜率k=-tan30°=- ，又知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），可求得直線BM的函數(shù)解析式為y=- x-3. 聯(lián)立直線BM與拋物線的解析式可解得x1=0和x2=4- ，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4- .

綜上可知，若當(dāng)∠MBE=75°時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4-4 或4- .

評(píng)析? 上述題干設(shè)定的角度為75°，屬于一般角度，但若作x軸的平行線，則可以將角度分割為45°和30°，顯然均為特殊的角度，后續(xù)就可以結(jié)合直線與x軸的夾角進(jìn)行斜率轉(zhuǎn)化. 對(duì)于涉及坐標(biāo)系的特殊角問(wèn)題，需要關(guān)注問(wèn)題的多種情形，采用分類討論方法進(jìn)行全面探究.

應(yīng)用探究二：特殊角的特殊模型構(gòu)建

利用坐標(biāo)系中的特殊角可以構(gòu)建特殊的幾何模型，由模型的特殊性質(zhì)則可以進(jìn)一步挖掘隱含條件，構(gòu)建解題思路. 常見(jiàn)的特殊角模型有45°角的等腰直角三角形，60°角的等邊三角形，90°角的隱圓模型或直角模型等.

例2? （2020年深圳市龍崗區(qū)模考卷改編）如圖8所示，已知反比例函數(shù)y= ·（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4），試分析在反比例函數(shù)圖像上是否存在一點(diǎn)P，使得∠POA=45°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：本題目屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交問(wèn)題，分析特殊角是否存在，可采用“假設(shè)——驗(yàn)證”的思路. 利用45°角來(lái)構(gòu)造等腰直角三角形，利用三角形的特殊性質(zhì)來(lái)求解.

過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，將直線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到了直線OA′，過(guò)點(diǎn)A′作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接AA′，與OP的交點(diǎn)設(shè)為K，如圖9，則點(diǎn)K為線段AA′的中點(diǎn).

分析可知△AOE≌△A′OF，則OF=OE=4，A′F=AE=3，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，-3）. 反比例函數(shù)y= （x>0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4），則其解析式為y= ，在Rt△A′OA中使用勾股定理可得OA=5. 由點(diǎn)A和A′的坐標(biāo)可推知線段AA′的中點(diǎn)K ， ，所以直線OK的解析式為y= x，聯(lián)立直線OK與反比例函數(shù)的解析式，可解得x=2 或x=-2 ，由于點(diǎn)P位于第一象限，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為2 ， .

綜上可知，在反比例函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)P，使得∠POA=45°，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2 ， .

評(píng)析? 上述題目考查了反比例函數(shù)圖像特征、一次函數(shù)等知識(shí)，解題突破時(shí)充分利用45°角構(gòu)建了等腰直角三角形，利用模型的勾股定理、腰長(zhǎng)相等等性質(zhì)來(lái)推理相關(guān)線段長(zhǎng)，逐步完成了點(diǎn)P坐標(biāo)的推導(dǎo).

總結(jié)思考

本文對(duì)坐標(biāo)系中的特殊角進(jìn)行了探究，實(shí)則是對(duì)函數(shù)與幾何問(wèn)題中特殊角轉(zhuǎn)化策略的實(shí)例探究，其中的兩種策略涉及了三角函數(shù)與斜率關(guān)系、特殊角構(gòu)建特殊圖形等知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的知識(shí)綜合和模型構(gòu)建能力有著較高的要求，下面提出兩點(diǎn)建議.

建議一：關(guān)注知識(shí)綜合，總結(jié)關(guān)聯(lián)點(diǎn)

綜合性問(wèn)題的突破過(guò)程中必然要利用眾多的基礎(chǔ)知識(shí)，如何將這些知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)是解題的關(guān)鍵，這對(duì)于上述坐標(biāo)系中的特殊角問(wèn)題同樣重要. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)綜合，關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系點(diǎn). 如上述例題中直線斜率與三角函數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)與直角三角形的關(guān)聯(lián)，實(shí)際教學(xué)可從基本的定義概念入手，挖掘知識(shí)間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，構(gòu)建相應(yīng)的知識(shí)體系，使學(xué)生深刻理解教材內(nèi)容.

建議二：重視思想方法，靈活運(yùn)用解題

上述總結(jié)的特殊角的兩種處理策略中滲透著數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想，即可將特殊角條件轉(zhuǎn)化為斜率條件，也可以依托特殊角構(gòu)造特殊模型，因此學(xué)習(xí)特殊角問(wèn)題的處理方法，就應(yīng)重視其中的數(shù)學(xué)思想方法. 教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題策略中隱含的數(shù)學(xué)思想，理解對(duì)應(yīng)的思想內(nèi)涵，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想構(gòu)建解題思路的技巧，通過(guò)思想方法教學(xué)來(lái)拓展學(xué)生思維，從思想上提升學(xué)生的解題能力.