合理構造輔助圓，模型應用巧破題

程花

[摘? 要] 圓是一種含有眾多特殊性質(zhì)的幾何圖形，利用圓中角度與線段長之間的關系可以挖掘題干隱含條件，巧妙解題，因此學會添加輔助線，掌握常見圓類模型十分重要. 文章舉例解析圓類模型，結合實例探究解題思路，開展教學反思，并提出相應的建議.

[關鍵詞] 輔助圓;模型;性質(zhì);直角;最值;四點共圓

圓是初中數(shù)學的重要圖形之一，圓中含有一些較為特殊的性質(zhì)，合理利用可以巧妙解題. 因此，對于一些幾何綜合題，可以采用構造輔助圓的方式來加以突破. 構造輔助圓應以圓的基本知識為出發(fā)點，總結歸納幾何模型，利用模型的解析思路來處理問題，下面舉例探究.

模型解析，解題探索

1. 模型一：直角模型

模型分析：“直徑對直角”是圓的重要性質(zhì)定理，即圓的直徑所對的圓周角為直角，據(jù)此可以構建相應的直角模型. 如圖1，A，B，C均在圓O的圓周上，若∠ACB=90°，則AB為⊙O的直徑. 進一步拓展，若點C為一動點，則點C在以AB為直徑的⊙O上運動.

例1？搖 如圖2，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，點P是斜邊AB上的一個動點，點Q是底邊BC上的一個動點，且兩點均不與點A和點B重合，試回答下列問題.

（1）若PQ∥AC，CQ=BQ，試求線段CP的長.

（2）若PQ不與AC平行，試分析△CPQ能否為直角三角形. 如果可以，請求出線段CQ長的取值范圍;如果不可以，請說明理由.

解析? （1）因為PQ∥AC，CQ=BQ，所以AP=BP. 又∠ACB=90°，所以CP= AB. 由勾股定理得AB= =13，所以CP= .

（2）分析可知，若PQ不與AC平行，要使△CPQ為直角三角形，只有∠CPQ=90°. 結合圓的直角模型構造輔助圓，即以CQ為直徑作半圓，設圓心為D，如圖3.

①當半圓與AB相切時，設切點為M，連接DM，則DM垂直于AB，點P與點M重合時△CPQ即為直角三角形. 此時，AC=AM=5，MB=8. 設CD=a，則DM=a，DB=12-a. 在Rt△DBM中使用勾股定理，可得a2+82=（12-a）2，解得a= . 此時CQ=2a= .

②當

③當0

綜上可知，當 ≤CQ<12時，△CPQ可能為直角三角形.

評析？搖 上述試題為直角三角形存在性問題，可結合圓的“直徑對直角”構造輔助圓進行分析，即動點必然位于對應的圓上，因此可將問題轉(zhuǎn)化為分析半圓與斜邊的交點問題.

2. 模型二：最值模型

模型分析：利用圓的特性可以確定兩點之間的距離最值，即常見的最值模型. 如圖4，點P是⊙O外一點，直線OP與⊙O相交于A，B兩點，設點A為圓上相對于點P的近點，點B是遠點，那么PA就為點P到圓上的最短距離，PB就為點P到圓上的最遠距離. 圓的最值模型可用于分析幾何線段最值問題.

例2? 如圖5，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點M為AD的中點，點N為AB上的一個動點. 現(xiàn)將△AMN沿MN所在的直線翻折，得到△A′MN，點A的對應點為A′，連接A′C，試求A′C長度的最小值.

解析？搖 題干給出了△AMN的翻折過程，其中點N為線段AB上的一個動點，根據(jù)折疊特性可知A′M=AM=1，結合點M為AD邊的中點，可知MA=MA′=MD，因此點A′在以AD為直徑的圓上，即其軌跡為一個圓（其實是圓的一部分）. 以M為圓心、AM的長為半徑畫⊙M，結合圓上的最值特性可知CM所在直線與圓的近交點就為最小值點，故連接MC，與⊙M的交點就為A′. 過點M作CD的垂線，垂足為H，如圖6. 已知∠A=60°，則∠MDH=60°. 在Rt△MDH中，MH=MD·sin60°= ，HD=MD·cos60°= ，則CH=CD+HD= . 在Rt△MCH中使用勾股定理，可得MC= = ，所以A′C= -1，即A′C長度的最小值為 -1.

評析？搖 上題屬于涉及動點的幾何翻折最值問題，其重點是確定動點翻折后對應點的軌跡. 分析題干條件可挖掘出作輔助圓的解析思路，后續(xù)直接利用圓上動點的最值模型求解即可. 實際上，圓上最值模型背后隱含的是“兩點之間，線段最短”原理，理解模型的本質(zhì)對于問題的解析來說十分重要.

3. 模型三：四點共圓模型

模型分析：拓展圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，可知如果一個四邊形的一組對角互補，則其四個頂點共圓. 對其進一步挖掘可得圓的“四點共圓”模型，具體如下：

如圖7，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊AB，點O為AB的中點，由直角三角形斜邊中線特性可知OC=OD=OA=OB，所以A，B，C，D四點共圓. 利用共點共圓可進一步結合圓周角定理來轉(zhuǎn)化為角度相等，從而完成模型向等量關系的轉(zhuǎn)化，這是證明幾何角度問題的常用方法.

例3？搖 如圖8，△ABC為等腰直角三角形，其中AC=BC=2，∠ACB=90°，點D是AB的中點. 現(xiàn)將△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△CEF，點A的對應點為E，點D的對應點為F，DF與AE的交點為M. 當α由90°變化為180°時，求點M的運動軌跡的長.

解析？搖 試題為三角形旋轉(zhuǎn)問題，分析旋轉(zhuǎn)角變化時點M的軌跡. 由條件AC=CE，CD=CF，可知∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD. 因為∠ACD=∠ECF，所以∠ACE=∠DCF. 進一步可推知∠CAE=∠CDF. 取AC的中點為O，則A，D，M，C四點在以點O為圓心、AO的長為半徑的圓上，連接OD，CM，作圖如圖8.

據(jù)圖可知，點M的運動路徑為弧CD. 由四點共圓幾何性質(zhì)可知∠CMF=∠CAD=45°，∠CMD=135°，由條件可知CD⊥AB，∠ADC=∠DOC=90°，所以弧CD的長= = ，即α由90°變化為180°時，點M的運動軌跡的長為 .

評析？搖本題為幾何變換綜合題，以等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)為背景求頂點隨旋轉(zhuǎn)角變化的運動弧長. 解題的關鍵是作輔助圓，發(fā)現(xiàn)A，D，M，C四點共圓. 四點共圓背后隱含的是幾何等量關系，在實際解題時可以將其拓展到利用四點共圓構造等角中.

解后思考，教學建議

上述舉例探索了構造輔助圓，利用圓的模型簡化解題過程的思路. 構造輔助圓是幾何問題解析的重要策略，尤其適用于涉及動點的幾何問題，下面提出三點建議.

1. 關注模型本身，深刻理解模型

上述所呈現(xiàn)的直角模型、最值模型、四點共圓模型是圓中特殊的三大模型，也是構造輔助圓解題的典型代表. 學習模型時，需要關注模型本身，理解模型的知識本質(zhì)，包括模型對應的圓的性質(zhì)、知識原理等. 如直角模型實則是圓的“直徑對直角”性質(zhì)，最值模型則是“兩點之間，線段最短”原理的拓展，“四點共圓”則是對圓周角定理的變式拓展. 在實際教學中，教師需要引導學生從圓的性質(zhì)定理出發(fā)，理解模型本質(zhì)，以定理定義為依托，開展模型教學.

2. 添加輔助圓，學習構造方法

利用圓的模型解題的關鍵一步是添加輔助圓，即幾何構造，其構造的基礎是理解題意，所以掌握添加輔助圓的常規(guī)方法是十分必要的. 輔助圓的添加方法有很多種，具體可歸納為以下三種：一是利用圓的定義添加輔助圓，即三個及以上的點到同一點的距離相等作圓;二是作三角形的外接圓，即任意不在同一直線上的三點共圓，也是由圓周角推論所得;三是利用四點共圓，一般有兩種思路，可用四邊形的對角互補，也可利用同底同側有相等頂角的三角形. 在實際教學中，建議教師根據(jù)具體的問題情境開展輔助圓構造法教學，引導學生總結問題特點，結合問題指導構造思路.

3. 滲透數(shù)學思想，提升數(shù)學思維

開展解題方法教學的核心主要有兩個：一是指導學生掌握解題技巧，二是提升學生的數(shù)學思維. 其中后者對學生的長遠發(fā)展最為重要，也是課改理念所在. 在教學中，學生思維的提升可具體到思想上，即教學中合理地滲透數(shù)學思想，引導學生利用對應的思想開展問題分析、轉(zhuǎn)化. 如上述添加輔助圓，利用圓類模型的解題過程滲透構造思想、模型思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合思想，正是在這些思想的融合下完成了輔助線添加、問題轉(zhuǎn)化、思路構建. 因此，需要教師結合數(shù)學思想開展解題方法教學，使學生理解思想內(nèi)涵，內(nèi)化方法，逐步提升思維水平.

寫在最后

圓是學生在初中階段唯一接觸的曲線圖形，本身具有諸多的幾何性質(zhì)，深刻理解可用于幾何問題求解. 對于一些涉及動點的問題，可通過添加輔助圓來幫助學生理解題意. 上述所呈現(xiàn)的是其中較為常用的三大圓類模型，其解析方法和構造思路具有一定的參考價值，在實際教學中建議教師從圓的基本性質(zhì)入手，指導輔助線添加的方法，引導學生深刻理解模型，形成模型解題的方法策略. 同時重視數(shù)學思想方法的滲透，以提升學生的綜合素質(zhì).