深挖練習(xí)價值，讓解決問題有據(jù)可依
——以人教版教材五上中的一道習(xí)題為例

□趙銀微

人教版教材五年級上冊第43頁練習(xí)十第4題，學(xué)生的錯誤率很高。該題涉及的信息很多，比如除法算式的意義、“每份數(shù)”概念的理解以及常見的數(shù)量關(guān)系等。一部分對這些數(shù)學(xué)信息（或者部分信息）掌握不扎實或不準(zhǔn)確的學(xué)生，在面對多種數(shù)學(xué)信息的交匯時無所適從，導(dǎo)致解題錯誤。筆者就學(xué)生的錯誤情況進(jìn)行了分析，認(rèn)為主要原因是學(xué)生對核心概念理解不清晰、信息整理浮于表面、數(shù)量關(guān)系不清等。

筆者認(rèn)為，會分析數(shù)量關(guān)系是正確解決問題的關(guān)鍵。如何讓學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系式，再應(yīng)用到具體情境中去？如何由一題想到一類問題的解決，拓展學(xué)生的思維，進(jìn)行有效教學(xué)呢？

【策略思考】

（一）引導(dǎo)加深對概念意義的理解

分析數(shù)量關(guān)系的前提是讓學(xué)生明晰數(shù)量關(guān)系的各部分名稱，也就是弄明白“每份數(shù)”（單價、速度、工作效率）的概念。這就要求教師在教學(xué)四年級上冊“速度、時間和路程”這一內(nèi)容時，要讓學(xué)生對速度的概念領(lǐng)會透徹。筆者是這樣開展教學(xué)的。

為了讓學(xué)生更好地理解速度的意義，教師把教材情境圖中的內(nèi)容改成“動物跑步比賽，兔子小姐4分鐘跑了280米，狐貍小姐花了3分鐘跑了240米，誰跑得快？”

1.比一比

獨立思考：什么是相同的？比什么？你是怎么樣讓它們一樣的？

生：我先求出兔子小姐和狐貍小姐1分鐘跑的路程。280÷4=70（米），240÷3=80（米），70＜80，所以狐貍小姐跑得快。

生：我是通過畫圖來幫助理解的。把280米 平 均 分 成4份，狐貍1分鐘跑的路程就是1份。比較1份就可以了。

2.速度意義的理解

師：那70表示什么？生：應(yīng)該是路程。生：完整地說是兔子1分鐘跑的路程。

師：看來70米不僅表示的是路程，這中間還隱藏著1分鐘。80呢？

圖1

3.認(rèn)識速度

師：這樣每分、每秒、每時，單位時間行的路程就叫速度。所以，這里的70就是速度。（板書：70米）

生：我們怎么知道這是表示速度？

生：可以寫成70米/分，就表示每分鐘跑了70米。

4.借助圖形得出數(shù)量關(guān)系式

師：剛才我們認(rèn)識了速度，現(xiàn)在你覺得速度怎么求？能不能結(jié)合同學(xué)畫的圖說一說？

生：路程÷時間＝速度。

生：路程就是總的長度，時間就是有幾份，速度就相當(dāng)于每1份是多少。我們知道每份數(shù)等于總數(shù)除以份數(shù)，所以速度就等于路程除以時間。

在此環(huán)節(jié)中，教師始終圍繞理解速度的意義展開教學(xué)，讓學(xué)生思考：路程、時間都不相同，如何比較快慢？學(xué)生的想法精彩紛呈：第一種想法是將時間變得一樣，比較路程；第二種想法是將路程變得一樣，比較時間。學(xué)生通過畫圖法將抽象的速度具體形象化，也進(jìn)一步理解數(shù)量關(guān)系式的意義：路程相當(dāng)于總數(shù)、時間相當(dāng)于份數(shù)、速度相當(dāng)于每份數(shù)。學(xué)生透過抽象的數(shù)，看到了速度的本質(zhì)，對速度的理解就自然深刻了。

（二）注重“問題表征”方法策略指導(dǎo)

教材中的“解決問題”多注重以情境圖、數(shù)據(jù)表、對話、文字等形式提供信息、呈現(xiàn)問題。有些信息是隱藏其中的，這就要求學(xué)生具有收集信息和識別有用信息的能力。教師就要注重對學(xué)生“問題表征”方法與策略的指導(dǎo)，以此來提高學(xué)生解決問題的能力。

1.“圈”——明題意

初讀題目后，要求學(xué)生明確問題的情境是什么，通過“圈”的方式，留下閱讀后的痕跡，即關(guān)于跑1千米所需時間的問題。

圖2

2.“找”——題意易錯點

尋找情境中容易錯的地方，本題有兩個，分別是李大伯只比劉大伯多2分鐘，李大伯跑1千米平均所用的時間。

3.“磨”——題意直觀化

學(xué)生“圈”問題后，再通過“磨”，即初步理解，將信息整理完整，并適當(dāng)分析信息間的關(guān)系。

出示學(xué)生作品如下圖：

圖3

（三）借助幾何畫圖理解數(shù)量關(guān)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。”學(xué)生借助畫圖搭建起形象思維和抽象思維的橋梁，在學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)過程中培養(yǎng)和發(fā)展幾何直觀能力，感悟初步的數(shù)形結(jié)合思想，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

【課堂回眸】

師：如果要把這樣的關(guān)系更形象地表示出來，怎么辦？

生：畫線段圖。

學(xué)生反饋：

圖4

生：第①幅圖把1千米看作1份需要多長時間，第②幅圖表示每分鐘跑多少千米？

生：劉大伯用9.7分鐘除以1.5千米，我是把9.7分鐘平均分成1.5份，每份是指每千米需要幾分鐘。

生：所以李大伯是（9.7+2）分鐘跑了1.5千米，就是把總時間除以千米數(shù)即可。

畫圖“簡縮”了題目中的次要成分，把主要成分直觀地展示出來。同時，畫圖采用數(shù)與形相結(jié)合的形式，將事物間的數(shù)量關(guān)系一目了然地呈現(xiàn)出來，學(xué)生借助“圖”的表征，把數(shù)量關(guān)系“總時間÷千米數(shù)＝每千米所用的時間”十分清晰地表示出來。

（四）巧用遞進(jìn)練習(xí)發(fā)展學(xué)生思維

對于總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生的辨識度到底有多高？教學(xué)時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋找生活中此類關(guān)系的應(yīng)用范例，讓學(xué)生學(xué)以致用。

1.簡單應(yīng)用會辨析

師：先判斷下面的2題跟例題一樣嗎？和同桌一起討論分析。

圖5

例題（9.7+2）÷1.5=7.8（分鐘）

師：請仔細(xì)觀察這兩個除法算式，都用了11.7分鐘和1.5千米這兩個信息，每個算式的意義該怎么理解？

生：看除數(shù)，除以11.7就是算每分鐘跑幾千米；除以1.5千米就是算跑每千米需要幾分鐘。

生：將11.7分鐘平均分成1.5份，每份就是跑每千米需要幾分鐘；將1.5千米平均分成11.7份，每份就是每分鐘跑的路程。

這兩個問題，學(xué)生很容易混淆，弄不清楚到底誰除以誰，尤其是剛學(xué)習(xí)了小數(shù)除法，部分學(xué)生的思維還停留在用“路程÷時間=速度”的數(shù)量關(guān)系去解決，沒有很好地理解“跑每千米需要多少時間”這個問題。所以，教師設(shè)計簡單易混淆練習(xí)，組織學(xué)生在交流、比較中，及時將原來零碎的思維提煉為有意識的完整的思維，逐漸將學(xué)生對解題的感性認(rèn)識提升為理性認(rèn)識，真正掌握解題的方法。

2.提升練習(xí)會聯(lián)想

數(shù)學(xué)的學(xué)科特征決定了數(shù)學(xué)的典型和基本問題是具有類型和結(jié)構(gòu)特征的，學(xué)習(xí)者常可將新問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗系統(tǒng)中所熟悉的問題作為解題思路。因此，教師可以設(shè)計一些份總關(guān)系在不同生活情境中的小練習(xí)，使學(xué)生對這類數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)和關(guān)系模型有較好的領(lǐng)悟與積累，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識間的聯(lián)想。如：

①已知3.5米鐵絲重1.4千克，平均每米鐵絲重多少千克？

②王師傅4.25小時做17個零件，每個零件需要多少時間？

③劉老師用8.9元買了7千克梨子，每千克梨子多少元？用1元錢可以買多少千克梨子？（除不盡保留兩位小數(shù)）

通過對以上問題的解決，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并領(lǐng)悟了一些共性：（1）這些問題雖然情境不同、數(shù)據(jù)不同，但問題的數(shù)學(xué)特征和結(jié)構(gòu)關(guān)系是類似的：從數(shù)量關(guān)系上講，只是涉及的份總關(guān)系在不同情境中的具體化，簡單講就是每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系；（2）這些問題都是根據(jù)除法的意義來解決的，基本模型都是“總時間（千克數(shù)）÷個數(shù)（錢數(shù)）＝每個所用時間（每元買的物品數(shù)）。小部分學(xué)生會形成思維定式，為了打破這種狀態(tài)，教師在第③題的基礎(chǔ)上又設(shè)計了2個問題。如果學(xué)生會聯(lián)想，對這些問題的特征、結(jié)構(gòu)關(guān)系等有較好的理解和識別能力，那么他們在解決以下問題時便有了很好的經(jīng)驗基礎(chǔ)與數(shù)量關(guān)系儲備，問題解決就很簡單了。

④一種越野車在沙漠中行駛100km消耗汽油16升。它要穿越總路程130km的沙漠無人區(qū)，至少要準(zhǔn)備多少升汽油？

⑤8噸黃豆能榨油3.2噸，榨16噸油需要多少黃豆？

3.解法多樣促理解

鼓勵解決問題策略多樣化，是促進(jìn)每一個學(xué)生充分發(fā)展的有效途徑。課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去認(rèn)識問題，采用不同的方式表達(dá)自己的解題思路，鼓勵學(xué)生用不同的方法解決問題。

如解決上面第⑤小題時，教師鼓勵學(xué)生采用不同的方法，學(xué)生用了多種方法解決此題。

出示學(xué)生作品：

圖6

學(xué)生通過自身的獨立思考不僅列出了算式，而且對每道算式都說明了理由。這種呈現(xiàn)多樣的解決問題方法的設(shè)計，促進(jìn)了學(xué)生對問題的多方面理解。對于多數(shù)學(xué)生來說，這樣的經(jīng)驗將促使他們從多個角度思考問題，形成多樣化的問題解決意識。

4.拓展練習(xí)促生長

數(shù)學(xué)知識之間是有機(jī)聯(lián)系的，這也是學(xué)習(xí)知識點和知識點存在的原因所在。教師要從小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫意圖著手，從學(xué)科教學(xué)發(fā)展謀局，將拓展練習(xí)練在知識延伸線上，讓學(xué)生感覺到知識的生長和發(fā)展方向，有利于孕育后繼學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ)和情感需求。

如可以設(shè)計這樣一道題：

圖7

學(xué)生作品反饋交流：

圖8

這為以后學(xué)習(xí)幾何圖形，如求大平面圖形可以裁成幾個小圖形，大立體圖形里最多能擺放幾個小立體圖形的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，從而形成一定的知識生長點。

如五上題①：有一塊長7米，寬1.2米的長方形絲綢，用來做底是0.5米，高是0.4米的直角三角形小旗，可以做多少面？

又如五下題②：茶廠工人要將長、寬各為20cm，高為10cm的長方體茶盒裝入棱長為30cm的正方體紙箱里，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？

如果從行程問題數(shù)量關(guān)系的教學(xué)考慮，不僅可以讓學(xué)生理解關(guān)系的意義，利用數(shù)量關(guān)系解答相關(guān)題目，還為以后學(xué)習(xí)正反比例等知識，起到一個滲透的作用。

圖9

其實，編者在設(shè)計數(shù)學(xué)教材中的每一道習(xí)題時都有一定的意圖。若能深挖其價值，題盡其用，引導(dǎo)學(xué)生透過表象看本質(zhì)，并建構(gòu)合理的教學(xué)方式，那么，習(xí)題教學(xué)就能使學(xué)生達(dá)到解決一些問題到解決一類問題的目的，提高學(xué)生思維的變通性。