高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“留白”的設(shè)計(jì)

摘 要：在課堂教學(xué)過程中，往往會(huì)遇上教師傾囊而授，學(xué)生卻無意接納的尷尬，此時(shí)我們的教學(xué)策略應(yīng)該適度調(diào)整，在四個(gè)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)上適度留白，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，從而使教學(xué)效果更有效.

關(guān)鍵詞：留白；知識(shí)橋梁；課堂教學(xué)

■引言

“留白” 是我國傳統(tǒng)藝術(shù)的重要表現(xiàn)手法之一，被廣泛用于研究中國繪畫、陶瓷、詩詞等領(lǐng)域中. 留白是中國畫的一種布局與智慧. 畫如果過滿、過實(shí)，在構(gòu)圖上就失去了靈動(dòng)與飄逸，顯得死氣沉沉；而有了留白，便給予觀賞者以遐想和發(fā)揮的空聞.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程的基本理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式. 這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程. 然而在常規(guī)的課堂教學(xué)中，教師往往過于慷慨，傾囊而授，將課堂的學(xué)習(xí)目標(biāo)完完整整地從自己的嘴中講出，就像一幅畫得滿滿的畫，失去了靈動(dòng)的空間. 我們可以在實(shí)際教學(xué)過程中，嘗試使用“留白”，改變“教師講，學(xué)生聽”的被動(dòng)式學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，給學(xué)生帶去思考與訓(xùn)練、遐想與發(fā)揮的空間，這也就達(dá)到了我們的目的.

■課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中的四處“留白”設(shè)計(jì)

“留白”當(dāng)然也需要恰到好處，并非所有的教學(xué)環(huán)節(jié)都可以使用“留白”，筆者認(rèn)為一節(jié)課堂中有四個(gè)環(huán)節(jié)可以嘗試“留白”，從而促使課堂的生成與效率的提升. 下面以《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》第一課時(shí)為教學(xué)案例，淺談“留白”的四個(gè)切入點(diǎn).

（一）引入新課之前的“留白”

本課時(shí)，教師事先讓學(xué)生準(zhǔn)備一根繩子、兩個(gè)圖釘和一塊畫板.上課開始就讓學(xué)生用鉛筆在畫板上嘗試畫橢圓.教師在觀察學(xué)生畫橢圓的基礎(chǔ)上，有代表性地讓學(xué)生歸納出橢圓的概念，加深學(xué)生對(duì)橢圓概念的理解.

教師：我們前面學(xué)習(xí)了圓，知道了平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，那么在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？

大家用一根繩子和兩個(gè)圖釘，根據(jù)書上的探究嘗試去畫了一個(gè)橢圓.

學(xué)生模仿探究，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)后回答：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

教師展示學(xué)生實(shí)驗(yàn)的三個(gè)不同情況（接近圓的橢圓、扁平的橢圓、把線拉直了沒畫出來）.

教師：剛才我看了同學(xué)們畫橢圓，大多數(shù)同學(xué)都畫出來了，畫出的橢圓不盡相同，扁平不一，有幾個(gè)同學(xué)畫不出來，這是為什么呢？

學(xué)生1：線拉得太緊了，定點(diǎn)間距離等于直線了！

學(xué)生2：繩子長要比兩個(gè)定點(diǎn)間距離大，才能畫出橢圓來.

教師：為什么這兩位同學(xué)畫出來的橢圓一個(gè)很扁平，一個(gè)接近圓呢？

學(xué)生1：與定點(diǎn)之間的距離有關(guān).

學(xué)生2：定點(diǎn)距離越大，畫出來的橢圓就越扁平，定點(diǎn)之間距離越小，就越接近圓，兩個(gè)定點(diǎn)重合在一起就是圓.

在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生小結(jié)，自己在黑板上板書：

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離之和等于一個(gè)常數(shù)2a，PF1+PF2=2a，F(xiàn)1F2=2c，

（1）若a>c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)c越接近a時(shí)，橢圓越接近圓，否則越扁平；

（2）若a=c時(shí)，P點(diǎn)軌跡是線段F1F2.

（3）若a

在這個(gè)環(huán)節(jié)留白的設(shè)計(jì)意圖：如下圖，在引出概念之前設(shè)計(jì)“留白”，其目的是在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的過程中，由舊知識(shí)引出新知識(shí)，留白點(diǎn)可設(shè)計(jì)學(xué)生在已經(jīng)獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、概念間聯(lián)系、對(duì)舊知識(shí)的歸納及擴(kuò)充、與原來概念進(jìn)行類比等，由學(xué)生得出新概念.

■

圖1

這個(gè)環(huán)節(jié)的留白，控制好時(shí)間很重要，必須事先設(shè)計(jì)好“留白”的時(shí)間，否則將影響到后面的學(xué)習(xí)進(jìn)度.本課時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)間為5分鐘.

（二）講解新知識(shí)后的“留白”

在介紹了橢圓概念后，教師將與學(xué)生共同活動(dòng)，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 此時(shí)設(shè)計(jì)留白，讓學(xué)生對(duì)公式（定理）加深理解，歸納出一般的數(shù)學(xué)方法、解題技巧.

本課題，筆者設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題“留白”，讓學(xué)生在討論中思考、探究，達(dá)到以下目標(biāo)：

①推導(dǎo)曲線的軌跡方程一般有幾個(gè)步驟？建立怎樣的坐標(biāo)系能使方程簡單？

②化解根式方程有什么方法和技巧？

③標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特征？

教師：我們現(xiàn)在開始來研究橢圓的方程，大家先來回憶圓方程的推導(dǎo)過程和步驟.

學(xué)生：在研究圓的方程時(shí)，我們的步驟是：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）找等量關(guān)系；（3）列式化簡；（4）結(jié)論.

教師：很好，現(xiàn)在我們用同樣的步驟來研究橢圓的方程，先思考如何建系.

學(xué)生通過橢圓的定義和觀察橢圓的形狀特點(diǎn)答道：以F1F2為x軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.

教師：很好，接下來的步驟是什么？

學(xué)生：根據(jù)橢圓的定義，F(xiàn)1（-a，0），F(xiàn)2（a，0），設(shè)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，所以由定義有PF1+PF2=2a，代入點(diǎn)坐標(biāo)，得到等式■+■=2a.

教師表揚(yáng)學(xué)生后繼續(xù)將問題留給學(xué)生，怎樣化簡？

這時(shí)候，學(xué)生的回答有兩種：第一種，直接兩邊平方；第二種，先移項(xiàng)，后平方.

教師將班級(jí)學(xué)生分成兩組，將這兩種方法分配給兩組，留出時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手，教師進(jìn)行觀察. 學(xué)生動(dòng)手運(yùn)算后發(fā)現(xiàn)，兩種方法都需要對(duì)等式平方兩次，第一種方法在第一次平方后會(huì)出現(xiàn)2■這項(xiàng)，運(yùn)算較煩瑣，而第二種方法，先移項(xiàng)后平方，運(yùn)算相對(duì)簡單一些.

最后，教師和學(xué)生一起對(duì)所化簡出來的等式進(jìn)行分析，設(shè)b2=a2-c2（b>0），就得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程■+■=1（a>b>0）.

教師然后讓學(xué)生通過自己看書，類比探究學(xué)習(xí)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教師總結(jié)：推導(dǎo)曲線的方程可以分成幾個(gè)主要步驟？為什么建立這樣的坐標(biāo)系？

學(xué)生1：在研究圓的方程時(shí)，其步驟是：（1）建立坐標(biāo)系和設(shè)已知點(diǎn)和軌跡點(diǎn)；（2）找等量關(guān)系；（3）列式化簡.

學(xué)生2：建立不同的坐標(biāo)系，得到的方程不同；

學(xué)生3：根據(jù)軌跡圖形對(duì)稱性，建立坐標(biāo)系，得出的軌跡方程簡單，如取對(duì)稱中心為原點(diǎn)，取對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸.

教師：如果建立焦點(diǎn)所在的直線為y軸，方程有什么變化？標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

學(xué)生：就是將標(biāo)準(zhǔn)方程中，x和y互換，就可以得到標(biāo)準(zhǔn)方程■+■=1.

教師：化簡方程的過程中，你學(xué)到了哪些方法和技巧？

學(xué)生1：化簡過程中，用了一個(gè)等式a2-c2=b2，使得標(biāo)準(zhǔn)方程非常簡潔、美觀.

學(xué)生2：根式的化簡是等式兩邊平方.

學(xué)生3：兩個(gè)根號(hào)方程的化簡，先將等式變形，使得等式兩個(gè)各留一個(gè)根號(hào).

教師：標(biāo)準(zhǔn)方程的特征是什么？

學(xué)生1：標(biāo)準(zhǔn)方程的右邊為1，x2的分母是長半軸a的平方，y2的分母是短半軸b的平方，只要知道橢圓的長軸和短軸的長，就可以直接寫出它的方程.

學(xué)生2：知道了橢圓焦距和長軸（或短軸）長，可以直接寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要運(yùn)用a2-c2=b2算出b.

學(xué)生3：由方程可以判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上.

教師：剛才那位同學(xué)將繩子拉直后，軌跡方程是什么？

學(xué)生：一條線段，方程x=0（-c≤x≤c）.

講解新知識(shí)后的“留白”設(shè)計(jì)意圖：教師與學(xué)生共同活動(dòng)中，得出一個(gè)新的公式、定理后，作為學(xué)生，他們是第一次接觸，并不熟習(xí)，尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很扎實(shí)的學(xué)生，需要對(duì)新的公式或定理的結(jié)構(gòu)形式特點(diǎn)、條件和結(jié)論、有關(guān)參數(shù)的意義等進(jìn)一步理解和記憶，以便在應(yīng)用時(shí)得心應(yīng)手. 否則，得出新知識(shí)后馬上舉例，就會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生跟不上教師的進(jìn)度.

（三）例題講解前后的“留白”

在得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，接下來就是鞏固訓(xùn)練，講解例題.本課時(shí)筆者安排了以下四個(gè)例題.

例1：求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、長半軸a和短半軸b的長.

（1）■+■=1；

（2）■+■=1；

（3）■+■=1；

（4）9x2+16y2=144.

例2：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例3：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0）， 并且經(jīng)過點(diǎn)■，-■，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例4：已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓■+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是__________.

1. 出示例題后，教師不要急于去講，而是要設(shè)計(jì)留白，讓學(xué)生自己去看題、讀題、思考，嘗試著去解決問題. 然后，教師再讓有思路的學(xué)生講思路、講解法，一般為了節(jié)約時(shí)間，教師來做適當(dāng)?shù)陌逖?

2. 一般情況下，例題講解結(jié)束，緊接著就是簡單的小結(jié)，然后布置作業(yè)，但是這樣的安排往往不利于學(xué)生解題能力的提升. 此時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了以下的“留白”.

教師：通過例題的學(xué)習(xí)，大家總結(jié)一下有些什么收獲？

學(xué)生1：將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，可以根據(jù)x2，y2的分母的大小來確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，可以歸納為“看大小確定確定長、短軸，焦點(diǎn)跟長軸”，分母大的是a2，小的是b2，a2的上面是焦點(diǎn)所在的軸.

學(xué)生2：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是■+■=10，不要再進(jìn)行化簡，可以直接寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程■+■=1. 類似這樣兩個(gè)根號(hào)方程，都可以直接利用推導(dǎo)出來的結(jié)論.

學(xué)生3：方程中兩個(gè)待定的系數(shù)，可以根據(jù)題意先設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法來確定這個(gè)方程.

學(xué)生4：應(yīng)用橢圓的定義，可以求出過焦點(diǎn)的有關(guān)線段長度.

上述例題都是先讓學(xué)生練習(xí)，請(qǐng)學(xué)生上黑板板書，然后教師再點(diǎn)評(píng)，把時(shí)間留給學(xué)生，把黑板留給學(xué)生. 教師的點(diǎn)評(píng)讓更多的學(xué)生能掌握好本堂課的重點(diǎn).例題的講解中留白，可以讓學(xué)生審視問題的所在，學(xué)會(huì)思考問題、分析問題，并在解決問題時(shí)學(xué)會(huì)思考.

（四）課堂小結(jié)的“留白”

“留白式”課堂教學(xué)模式打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，讓學(xué)生自己小結(jié)，教師將學(xué)生總結(jié)中不足的補(bǔ)充完整.

教師：同學(xué)們總結(jié)一下，這節(jié)課學(xué)到了哪些知識(shí)？

在學(xué)生陸續(xù)回答中，教師板書：

一、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

PF1+PF2=2a，F(xiàn)1F2=2c.

（1）a>c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓；

（2）a=c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是線段；

（3）中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程是■+■=1（a>b>0）；當(dāng)a=c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡方程是x=0（-c≤x≤c）；

（4）中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，將（3）中的方程x和y互換.

二、方程應(yīng)用和解題方法和技巧

（1）求軌跡方程的步驟和建立坐標(biāo)系的技巧；

（2）含有根式的方程的一般化簡的方法；

（3）P（x，y）到F1（-c，0）與到F2（c，0）距離之和等于2a？圳■+■=2a？圳■+■=1；

（4）待定系數(shù)法，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（5）在標(biāo)準(zhǔn)方程中，“看大小”確定長短軸，判斷焦點(diǎn)在什么軸上；

（6）用定義求過焦點(diǎn)的線段長.

三、“留白”反思

文中采用的是“留白” 式的教學(xué)模式，此模式打破了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂模式中“以教師為主體，以講授為主要形式，以完成教學(xué)目標(biāo)的預(yù)設(shè)的內(nèi)容為主要目的”的教學(xué)模式. 德國教育家第斯多惠指出：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞.” 有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，課堂中應(yīng)該讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，親身體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程. 教學(xué)中將“問題”留白，知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生回答，通過問題留白使學(xué)生的知識(shí)和思維同步發(fā)展. 通過精講例題、精選習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力.該課中“留白” 式教學(xué)模式，教師從教材出發(fā)，在課堂教學(xué)中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，不直接把一些學(xué)習(xí)內(nèi)容通過講述的方式明確告之學(xué)生，而是通過言語激發(fā)、提出問題等方式留下“空白”，引發(fā)學(xué)生在更廣闊的時(shí)間和空間里實(shí)踐與操作、聯(lián)想與想象、思考與探索，更好地發(fā)揮學(xué)生主體作用填補(bǔ)空白的一種教學(xué)模式，學(xué)生都積極主動(dòng)地參與了教學(xué)中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，吸引了學(xué)生的注意力，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在求知的過程中主動(dòng)地去探索、思考和發(fā)現(xiàn). 同時(shí)，適當(dāng)?shù)夭捎靡恍┝舭捉虒W(xué)，學(xué)生能在教師留下的空白里得以充分發(fā)揮，使課堂更加精彩，課堂教學(xué)的有效性也得到了提高.