一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的變式探究

摘 要：直線和圓錐曲線位置關(guān)系的相關(guān)問題是考查學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的主要載體，對(duì)相關(guān)問題的變式探究也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基本思想方法、促進(jìn)數(shù)學(xué)能力形成的重要途徑. 2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道關(guān)于拋物線的試題是研究與直線、與拋物線位置關(guān)系有關(guān)的度量問題及軌跡問題的好素材.

關(guān)鍵詞：拋物線；變式探究；基本不等式

與直線和圓錐曲線位置關(guān)系有關(guān)的問題是各級(jí)競賽及高考的熱點(diǎn)問題，同時(shí)也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的主要載體，對(duì)相關(guān)問題的變式、探究是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基本思想方法、形成數(shù)學(xué)能力的重要途徑. 本文主要結(jié)合2013年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道試題重點(diǎn)研究與直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)的度量問題及軌跡問題，其基本思想方法可以類比到直線與其他二次曲線的問題中.

引例：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)在拋物線y2=4x上，且滿足■·■= -4，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則S△OFA·S△OFB=________.

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圖1

分析：借助幾何直觀，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)△OFA與△OFB同底，所以它們面積的乘積由A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積的絕對(duì)值決定.結(jié)合已知條件，可以利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示及拋物線方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

解：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則y■=4x1，y■=4x2，所以y■·y■=16x1x2. 又x1x2+y1y2=-4，所以y■y■+16y1y2+64=0，所以y1·y2=-8，所以S△OFA·S△OFB=■·OFy1y2=2.

評(píng)析：本題是2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的一道填空題，題目內(nèi)容簡潔清晰，以學(xué)生比較熟悉的拋物線及向量的數(shù)量積運(yùn)算為背景，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用坐標(biāo)法和函數(shù)與方程的思想進(jìn)行分析問題、解決問題的能力，題目本身容易上手，解題思路自然流暢. 通過深入思考發(fā)現(xiàn)，本題的內(nèi)涵豐富，對(duì)相關(guān)問題的變式分析更是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的一個(gè)很好的素材.

變式1：求S△OFA+S△OFB的最小值.

分析1：利用基本不等式及引例的結(jié)論可以確定△OFA與△OFB面積和的最小值，并能指出取到最值時(shí)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

解1：由引例可知S△OFA·S△OFB=2，所以S△OFA+S△OFB≥2■=2■.

當(dāng)S△OFA=？搖S△OFB，即y1=y2=2■時(shí)取等號(hào)，不妨取A（2，2■），B（2，-2■）時(shí)“=”成立.

分析2：將面積和的問題利用公式轉(zhuǎn)化為與A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式求解.

解2：因?yàn)椋⊿△OFA+S△OFB）2=■（y1+y2）2=■（y■+y■+16）=■y■+■+16≥8，所以S△OFA+S△OFB≥2■，當(dāng)且僅當(dāng)y■=■，即y■=8時(shí)取“=”.

變式2：求S△AOB的最小值.

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圖2

分析1：利用三角形的面積公式，將△AOB的面積用直線AB的斜率表示，進(jìn)而解決其最小值問題.

解1：設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），其方程為y=kx+b，代入y2=4x，得k·y2-4y+4b=0. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=■，y1y2=■，

所以S△AOB=■AB·d=■·■·■·■.

又y1y2=■=-8，所以S△AOB=■·■=■>4■.

若直線AB沒有斜率，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，易知y1=y2=2■，若取A（2，2■），B（2，-2■），則S△AOB=4■，

所以S△AOB≥4■，

即S△AOB的最小值為4■.

分析2：由A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系及韋達(dá)定理可知直線AB恒過定點(diǎn)，由此可將△AOB分割為兩個(gè)同底的小三角形，進(jìn)而將面積的最值問題轉(zhuǎn)化為與基本不等式有關(guān)的最值問題.

解2：由y1y2=■=-8，得b=-2k，所以直線AB的方程可化為y=k（x-2），這說明直線AB有斜率時(shí)恒過定點(diǎn)C（2，0）. 若直線AB沒有斜率，由y1y2=-8，知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可取A（2，2■），B（2，-2■），此時(shí)直線AB也過定點(diǎn)C（2，0），所以S△AOB=■OC·y1+y2？搖=■=■≥4■，當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=2■時(shí)取等號(hào)，不妨取A（2，2■），B（2，-2■）時(shí)“=”成立.

變式3：求坐標(biāo)原點(diǎn)在直線AB上的投影的軌跡.

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圖3

分析：聯(lián)想到直線AB恒過定點(diǎn)C（2，0），則容易判斷坐標(biāo)原點(diǎn)在直線AB上的投影的軌跡是以線段OC為直徑的圓，同時(shí)可以利用坐標(biāo)運(yùn)算推得其軌跡方程.

解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在直線AB上的投影為M（x0，y0），直線AB的斜率為k（k≠0），其方程為y=kx+b，易知b=-2k，且■·k= -1，所以y0=-■（x0-2），即（x0-1）2+y■=1（y0≠0）. 當(dāng)直線AB沒有斜率時(shí)，M的坐標(biāo)為（2，0），滿足方程，所以坐標(biāo)原點(diǎn)在直線AB上的投影的軌跡方程為（x0-1）2+y■=1，表示以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0）為圓心，1為半徑的圓.

變式探究是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生探究能力、滲透數(shù)學(xué)思想的重要途徑. 本文通過對(duì)一道競賽試題結(jié)論的變式，舉一反三，旨在引導(dǎo)學(xué)生能夠從多角度、多層次地思考問題，在探索“變”與“不變”的過程中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，鞏固所學(xué)的知識(shí)和技能，使學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)能夠融會(huì)貫通，深刻體會(huì)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想.