怎一個“不妨設”了的

摘 要：一種教材，一般要經得起千錘百煉，因為它是教師開展日常教學的依據(jù)，是學生學習仿照的模板. 因此，無論是教材的編寫者還是教學的設計者，都要盡量考慮從學生的角度出發(fā)，要從學生的認知基礎、認知結構去設計教學，引領學生主動地探索知識，發(fā)展其探索創(chuàng)新的能力與潛力.

關鍵詞：認知結構；數(shù)學思想方法；過程性教學

■問題的提出

中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材《數(shù)學》（基礎版）中的《8.11圓與直線的位置關系》中關于直線與圓的位置關系交點個數(shù)研究有這樣一段敘述：

點M（x，y）是直線l：Ax+By+C=0與圓x2+y2=r2的交點，？圳點M的坐標（x，y） 是方程組Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的實數(shù)解.

我們來討論方程組（1）有沒有實數(shù)解？有多少個實數(shù)解？

不妨設B≠0，從（1）的第一式得y= -■， （2）

將（2）式代入（1）的第二式，得x2+-■■=r2.

整理，得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （3）

kfa60PyhRUE92tfXEnc0Ig==一元二次方程（3）的判別式為Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2]. （4）

于是Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■？搖 （5）

注意圓心O（0，0） 到直線l的距離d為

d=■=■. （6）

從（5）式和（6）式，得Δ≥0？圳r≥d.？搖？搖（7）

（以下解答過程從略）

■問題的探討

很明顯，在討論方程組（1）有沒有實數(shù)解，（1）的第一式y(tǒng)=-■時，B作為分母就有可能出現(xiàn)0，但編者在此用了一句：“不妨設B≠0”顯然不妥，在一定程度上是編者裁減了學生的思考過程，削弱了學生思考問題的能力，喪失了訓練學生數(shù)學思維能力的好機會. 為此，筆者對此問題做了詳細e9EslTAACYHUJMFIkQyJUg==的研究并作了如下的改進.

■問題的改進

討論方程組Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的實數(shù)解.

由第一式，得B2y2=[-（Ax+C）]2

由第二式，得B2y2=B2（r2-x2）.

上述兩式相減， 得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （8）

因為A2+B2≠0，

所以一元二次方程的判別式為Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2].？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

當B≠0時，Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■.？搖

注意圓心O（0，0）到直線l的距離d為d=■=■.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

所以Δ≥0？圳r≥d，Δ<0？圳r

當B=0時，則（8）式變?yōu)锳2x2+2ACx+C2=0 ，解得x=-■.

當-■>r時，則直線與圓相離；當-■=r時，則直線與圓相切；當-■

■問題的感悟

1. 樹立“以生為本”的教學理念

根據(jù)布魯納的認知發(fā)展理論，學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存. 作為中職教師，我們必須認識到課堂的主體仍然是學生，只有學生想學、會主動學，這樣的課堂才會有效. 所以，教師在教學設計時必須充分考慮到學生的學情，要在學生的“最近發(fā)展區(qū)”處設計教學問題，緩坡度、小步伐開展數(shù)學課堂教學.

2. 落實數(shù)學思想方法的教學

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學生良好的數(shù)學觀念和創(chuàng)新思維的載體. 中職學生基本數(shù)學思想方法的欠缺已嚴重阻礙了他們的數(shù)學思維的培養(yǎng). 其實很多本是初中生應具備的最基本的數(shù)學思想方法，他們卻不具備或欠缺. 因此，教師在平時的教學中要注意數(shù)學思想方法的落實與滲透，特別是在定理、性質、公式的推導過程和例題的講解過程中充分地挖掘其中所蘊涵的數(shù)學思想方法，如在上述研究的問題中就蘊涵了化歸與轉化、分類討論、數(shù)形結合、特殊與一般等數(shù)學思想方法，而這些思想方法也常見于數(shù)學的每一節(jié)課中. 如果教師總是不加以充分挖掘與留意，必定會錯失良機，長此以往，學生的數(shù)學思維能力終將得不到提升. 古人云：“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學思想方法就是學生思考問題、解決問題的工具，“工欲善其事，必先利其器”，數(shù)學思想方法教學就是一個提高中職課堂教學效率的很好的武器.

3. 強化過程性的學習體驗

新課程強調過程性教學，提倡關注學生的學習過程，這是學生獲得體驗、產生學習數(shù)學積極情感的重要途徑，讓學生經歷數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的過程，幫助學生在參與的過程中產生內心的體驗和創(chuàng)造，要讓學生“知其然，更要知其所以然”，而絕不能因為過程煩瑣等主觀原因，就任意裁減其探索過程.其實就上述問題而言，筆者在上課時就按問題改進的方法進行分析與講解，這樣不但使學生掌握了研究直線與圓位置關系的兩種方法（△法與d-r法）內在的聯(lián)系與轉化，同時也讓學生深刻體會兩種方法的優(yōu)劣性與思維的嚴謹性，這樣既訓練了方法，又提高了能力. 因此，中職數(shù)學教學應該提倡以知識的發(fā)生發(fā)展和認知形成的內在聯(lián)系為線索，充分展現(xiàn)和經歷其中的思維活動，使學生真正參與到發(fā)現(xiàn)的過程中來，使學生能夠積極主動地參與學習活動，自主地學習，主動地探索知識，發(fā)展其探索創(chuàng)新的能力與潛力.