一道面積題的多種解法

摘 要：面積問題，從小學到中學乃至大學的學習與考試中一直在出現(xiàn)，它是數(shù)學最基本的問題之一. 本論文主要講解了一道面積問題的初等解法和高等解法，并將這些解法進行了比較，做出了小結.

關鍵詞：面積問題；初等解法；高等解法

筆者在《挑戰(zhàn)智力水平的150趣題》（皮埃爾·貝洛凱 著）一書中，看到一道求面積的題，題目如下：

曲盡其妙■

曲線圖形比直線圖形更加微妙.你能不能計算出圖1中那個曲邊正方形的面積？這個曲邊正方形是由四條以大正方形頂點為圓心的四分之一圓弧所圍成的，正方形的邊長是1.

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圖1

在此筆者給出所想到的三種解法：

■初等解法

1.？搖初中解法

首先明確：S曲邊正方形=S大正方形-4（S1+S2）（？鄢）.

這里S1表示底部“山形”圖形■的面積；

S2表示“錐形”圖形■的面積.

事實上，如圖2所示，易證：△ABC是等邊三角形，且C點以上的陰影部分和C點以下的陰影部分是全等的.

所以S1=S矩DEGF-■S圓-S△ABC=1×1-■-■-■=1-■-■.

結合圖1，可知：S2=S正方形-■S圓-2S1=1-■-2×1-■-■=-1+■+■.

將S1和S2代入（*）中，得S曲邊正方形=1-■+■.

2.？搖高中解法

如圖3所示，S曲邊正方形=S正方形EFGH+4S3？搖 （**）.

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圖3

這里S3表示圖中陰影部分的面積，且S3=S扇形GAH-S△GAH. 易知：∠GAH=30°，故S扇形GAH=■，S△GAH=■AG·AH·sin30°=■，從而S3=■-■.

S正方形EFGH=GH2，在△GAH中，根據(jù)余弦定理，有：

GH2=AG2+AH2-2·AG·AH·cos30°=2-■.

將S3和S正方形EFGH代入（**）式，得S曲邊正方形=1-■+■.

■高等解法

許多省市在高中數(shù)學教材中，已添加了定積分和其幾何意義的相關內(nèi)容，以下內(nèi)容便展示了利用這一高等方法求解此題的過程.

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圖4

如圖4所示，建立平面直角坐標系，可知：S曲邊正方形=4S4. 這里S4就是圖中的陰影部分，即⊙B：x+■2+y+■2=1在第一象限的面積. 令y=0，得與x軸正半軸的交點為■，0.

故S4=■■-■dx=■■dx-■.

查積分表可知：■■dx=■·■+■arcsin■+C，再利用牛頓-萊布尼茲公式，得：S4=■■+■arcsinx+■■-■=■-■+■. 所以S曲邊正方形=4S4=1-■+■.

■小結

面積問題，在從小學到中學乃至大學的學習與考試中一直在出現(xiàn)，它是數(shù)學最基本的問題之一，也是最具趣味性的數(shù)學問題. 它最能讓人直觀地理解數(shù)學，因為這類問題一般都具有圖形的優(yōu)美性、對稱性和規(guī)律性.

一道好的面積問題，應能體現(xiàn)數(shù)學的思想與方法，其求解絕不是僅僅利用已知的面積公式，往往還需要綜合運用數(shù)學知識，需要擁有科學的思維方法和清晰的思維層次，甚至有時需要把握有限與無限、特殊與一般、變形與化歸以及形式多樣的轉換策略.

對于這道題的求解，初等解法顯得比較巧妙，因為他們都關注到了圖中的等邊三角形及特殊的角度，很好地運用了“割補法”這一求解面積最基本的變形轉換策略，并結合了其他的一些數(shù)學知識. 初中解法運用圖形的全等和整體減去部分（即“割”）的方法，高中解法運用了余弦定理和整體加部分（即“補”）的方法.

高等解法則運用了定積分的幾何意義進行求解，相對而言，計算量大、比較繁瑣，顯得有些“大材小用”了，且定積分求解面積是一種模式化“公式性”的方法，不能很好地體現(xiàn)數(shù)學的思維性與靈活性. 但值得注意的是，所給的三種方法都考慮到了圖形的對稱性.

很多時候，高等方法并無優(yōu)越性，反而是初等方法能以其簡單清晰的思路、巧妙的過程給人以深刻.