例談高考復(fù)習(xí)教學(xué)中的類比

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個螺旋式上升的學(xué)習(xí)過程，新教材正是按照學(xué)生學(xué)習(xí)接受能力循序漸進(jìn)的原則而開發(fā). 在學(xué)習(xí)或者探索知識的途徑中，類比和猜想是我們接受新知常常使用的方式，其不僅在課堂教學(xué)中對知識的理解有著引導(dǎo)作用，更對解題教學(xué)有重要的思維遷移作用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；類比；高考；復(fù)習(xí)；教學(xué)

數(shù)學(xué)新知的自我建構(gòu)往往需要合理揣測，高考創(chuàng)新型問題的解決往往需要猜想和類比，因此鼓勵學(xué)生對問題進(jìn)行大膽的類比、猜想，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的一種方式. 物理學(xué)家愛因斯坦曾說：“發(fā)現(xiàn)一個問題比解決一個問題來得更為重要，問題的發(fā)現(xiàn)有時緣自猜想和類比.” G·波利亞也曾說道：“類比是一個偉大的領(lǐng)路人.”

就高中數(shù)學(xué)而言，類比猜想能力的運用在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中占有重要的地位，但要培養(yǎng)學(xué)生的類比猜想的能力，還受到諸如學(xué)生的數(shù)學(xué)水平、認(rèn)知能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)等因素影響，因此教師可以通過課堂教學(xué)、解題教學(xué)來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嘗試和探索，既解決數(shù)學(xué)知識又激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并通過正確理論指導(dǎo)下的教學(xué)，高效培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，提高教學(xué)的有效性. 本文例談數(shù)學(xué)類比和猜想的實踐和思考，與大家交流.

■特殊與一般的類比

類比是G·波利亞首先提出的，他認(rèn)為個人會依據(jù)存在的事實和已經(jīng)獲得的正確結(jié)論為前提（包括各種各樣的經(jīng)驗和外部成果），以及個人的直覺猜測去推理未知問題. 這樣的推理從觀察、分析、猜測出發(fā)，依據(jù)個人的數(shù)學(xué)直覺，通過類比、聯(lián)想、歸納來提出猜想，是比較符合感性認(rèn)知較強(qiáng)的中學(xué)生. 新課標(biāo)中指出“學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展推理、類比的能力和初步演繹推理能力”.如果問題的一般情形比較難解，可以類比到特殊情形去考慮；從特殊情形可以類比到一般情形，使結(jié)論更一般化.

例1 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).

①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）·cos48°；

⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）·cos55°.

（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

解析：（1）選擇②式，sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■sin30°=1-■=■.

（2）類比猜想：三角恒等式為sin2α+cos2（30°-α）-sinα·cos（30°-α）=■.

原式=sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

=sin2α+（cos30°cosα+sin30°sinα）2-sinα（cos30°·cosα+sin30°sinα）

=sin2α+■cos2α+■sinαcosα+■sin2α-■sinαcosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.

說明：對以類比推理為主要考查對象的推理問題，我們通常以發(fā)現(xiàn)探測性的手段進(jìn)行嘗試，在此基礎(chǔ)之上獲得解決有關(guān)問題的方法，進(jìn)而用理論證明的方式達(dá)到目的或否定猜想.

■三維與二維的類比

幾何中類比猜想比較廣泛，常常將三維空間的對象與二維平面中的對象進(jìn)行類比；二維平面中的對象與一維的對象進(jìn)行類比.例如：平面與直線類比；線分面與點分線類比；空間角與平面角類比；多面體與多邊形類比；球和圓類比等等. 先來猜想和類比一組定理：

定理1（三點共線定理）：設(shè)O，A，B是不共線三點，對平面上任一點P，有■=x■+y■，則P在直線AB上的充要條件是x+y=1. 定理1為高中生熟知，類比得到定理2.

定理2（四點共面定理）：設(shè)O，A，B，C是不共面四點，對空間任一點P，有■=x■+y■+z■，則P在平面ABC上的充要條件是x+y+z=1.

例2 如圖1，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且■=x■+y■，則x的取值范圍是_________；當(dāng)x=-■時，y的取值范圍是_________.

■

圖1

說明：這是一道比較新穎的向量試題，有很多種解法. 但筆者最近從平面向量基本定理、共線共面及斜角坐標(biāo)系下線性規(guī)劃的角度，并類比猜想三維情形下的問題延伸，對知識的掌握和認(rèn)知有了新的認(rèn)識.

解析：如圖2所示：

■

圖2

P點所在位置位于斜角坐標(biāo)系第二象限，且點P位置夾在兩直線x+y=0與x+y=1之間，用坐標(biāo)系的思想，即：滿足x<0，y>0，0

類比：將認(rèn)識推廣到三維形式，由定理2可知：對空間任一點P，有■=x■+y■+z■，則P在平面ABC上的充要條件是x+y+z=1.

類比題：如圖3所示，點O∈平面A′B′C′∥平面ABC，點Q在三棱錐OABC內(nèi)部運動（不含邊界），記■=x■+y■+z■，則x的取值范圍是多少？若x=■時，則y+z取值范圍是多少？

解析：以O(shè)A→x軸，OB→y軸，OC→z軸建立空間斜角坐標(biāo)系，Q點所在區(qū)域滿足線性約束條件：x>0，y>0，z>0，00，z>0，故0

說明：通過以上問題可以看出，不必拘泥于坐標(biāo)系的選取，單位長度的選取也可依題而定，自由度和靈活度更大，重新審視向量基本定理在共線方面與直線知識的交匯，為坐標(biāo)系類比、拓寬思路提供了新的視角.

■具體與抽象的類比

特別地，對一些抽象函數(shù)用常規(guī)的方法較難解時，如果已知它的性質(zhì)與具體函數(shù)的性質(zhì)相似，將其類比，即利用“具體函數(shù)”幫助思考，常可化抽象為具體，使問題的求解變得簡單.

例3 （抽象函數(shù)的定義域）函數(shù)f（x）的定義域為（1，2），求函數(shù)f（x+2）的定義域.

變式訓(xùn)練：函數(shù)f（x+1）的定義域為（-∞，1]∪[2，+∞），求函數(shù)f（x-1）的定義域.

分析：抽象函數(shù)定義域的理解對初學(xué)者而言是難點. 課堂上教師講解例3時，強(qiáng)調(diào)了在抽象函數(shù)定義域解決問題中需要注意的幾個關(guān)鍵點，學(xué)生點頭稱聽懂了. 然后，給出變式，發(fā)現(xiàn)能做對變式的學(xué)生很少. 那么問題的原因在什么地方呢？從數(shù)學(xué)雙基知識角度而言，定義域概念的理解并沒有體現(xiàn)在抽象函數(shù)中，正如“工具性理解”層面停留在表象. （工具性理解是指：一種語義性理解——即符號A所指代的事物是什么，或者一種程序性理解——一個規(guī)則R所指定的每一個步驟是什么，如何操作.）

類比：從基礎(chǔ)知識出發(fā)，筆者以具體感知輔以抽象函數(shù)的方法通過類比解決：

函數(shù)：f（x+1）定義域為（-∞，1]∪[2，+∞），具體感知：令：f（x+1）=■——類比：即：f（x+1）中的x滿足x≤1或x≥2；

函數(shù)：f（x）定義域為（-∞，2]∪[3，+∞），具體感知：則：f（x）=■——類比：即：f（x）中的x滿足x≤2或x≥3；

函數(shù)：f（x-1）定義域為（-∞，3]∪[4，+∞），具體感知：則：f（x-1）=■——類比：即：f（x-1）中的x滿足x≤3或x≥4.

數(shù)學(xué)思想：解決抽象函數(shù)時，關(guān)注整體思想的運用，這里（x+1），x，（x-1）的取值范圍是一樣的.

說明：對函數(shù)定義域概念理解的不深刻，造成了學(xué)生對抽象函數(shù)中定義域是什么不能吃透，學(xué)生往往會認(rèn)為（-∞，1]∪[2，+∞）指的是（x+1）的取值范圍等等. 這是雙基的不扎實造成的，導(dǎo)致學(xué)生在工具性理解下的懂而不會. 教師需要通過類比教學(xué)的方式，使學(xué)生對抽象問題的掌握上升到更高的理解層面.

總之，筆者就上述問題對類比猜想教學(xué)產(chǎn)生下列思考：

（1）類比推理需要適度性：對類比與猜想的教學(xué)一般比較適合應(yīng)用于選擇題或填空題的教學(xué)中，抽象與具體、特殊與一般、低維與高維是推理中經(jīng)常被考查的，但是推理也不是完全機(jī)械的，諸如不再統(tǒng)一運算范疇之內(nèi)的向量：不能用a·（b·c）=（a·b）·c聯(lián)想類比到多個向量的乘法a·（b·c）=（a·b）·c.

（2）類比推理需要發(fā)散性：推理可以是概念性的、定理性的、經(jīng)驗性的，也可以是方法性的，具備推理的發(fā)散性思維往往能夠更為方便地解決實際問題；

（3）類比推理需要嚴(yán)密性：高考所要求的推理證明往往并不是完全嚴(yán)密的，是以合情推理居多的推理考查. 但我們不僅僅要培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力，也要在平時注重對問題結(jié)論的證明與判斷，否則易出現(xiàn)學(xué)生對不正確結(jié)論沒有準(zhǔn)確鑒定的誤區(qū)，因此要在教學(xué)中給予關(guān)注，防止知識的負(fù)遷移，努力使得學(xué)生形成正確的知識體系.