從一道試題的改編談試題命制的科學(xué)性

摘 要：試題編制的科學(xué)性是編題試題最基本的準(zhǔn)則，它要求教師從解題者——變式研究者——試題創(chuàng)新者之間慢慢地成長，在模仿、學(xué)習(xí)和創(chuàng)新之間學(xué)會(huì)編制問題的科學(xué)性、正確性、邏輯性、簡潔性等，在充分考慮問題入口寬廣、解法可行的基礎(chǔ)上，確實(shí)保障不能與中學(xué)數(shù)學(xué)的定理、概念矛盾，不能與將來高等數(shù)學(xué)內(nèi)容沖突.

關(guān)鍵詞：編題；科學(xué)性；專業(yè)化發(fā)展

數(shù)學(xué)編題研究，是數(shù)學(xué)教師的日常教學(xué)工作的一種延伸，在教師專業(yè)化道路上不可或缺；多年來的教學(xué)經(jīng)歷告訴筆者，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的理解不能僅限于教學(xué)、答疑、解題、應(yīng)試，而應(yīng)該站在系統(tǒng)的角度去審視.經(jīng)歷了教材改革和課程改革之后，新的問題會(huì)常常在教學(xué)中體現(xiàn)出來，每每看到新的問題總是覺得自己的知識(shí)是多么的淺?。≡?jīng)一位哲人這么形容：“人的知識(shí)好比一個(gè)圓內(nèi)的部分，圓的外部都是不懂的，每當(dāng)自身知識(shí)越多時(shí)，圓就會(huì)越大，圓周與外界接觸（即不懂的知識(shí)）也越大，因此覺得自己越是淺薄.” 因此在教師專業(yè)化道路上的成長，筆者認(rèn)為教師需要做些理性的思考，提高自身的思維層次——即需要對編題進(jìn)行一定的嘗試和摸索.

另一方面來說，對數(shù)學(xué)編題的研究是一位中學(xué)教師在擁有多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)后慢慢成長起來的，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師不僅在高效課堂教學(xué)、雙基教學(xué)、變式教學(xué)、解題教學(xué)等方面出類拔萃，還能在對數(shù)學(xué)編題的研究上有所建樹. 近年來，對數(shù)學(xué)編題、命題的研究也有一些成果，諸如文[1]～[4]等等，筆者拜讀后發(fā)現(xiàn)此類文章在對命題的構(gòu)成、命題的心理機(jī)制、高觀點(diǎn)下的命題思路等等做出了一定的分析和闡述. 本文將從編制試題的一個(gè)基本準(zhǔn)則出發(fā)，將編題嘗試與科學(xué)性原則相結(jié)合，略談一二.

■編題的科學(xué)性準(zhǔn)則

數(shù)學(xué)考查的總要求是由考試大綱與課程標(biāo)準(zhǔn)決定的，在命題編制時(shí)如何將對知識(shí)、方法、能力的要求具體貫徹到實(shí)際試題中去，則是依據(jù)一定的準(zhǔn)則進(jìn)行操作的，即所謂命題準(zhǔn)則. 經(jīng)過多年教學(xué)歷練，有些教師具備一定的試題分析水準(zhǔn)，加上自身的理論學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對試題編制研究有一定的積累，對命題編制的原則有所了解. 特別地，對近年來非常流行的高等數(shù)學(xué)背景下的試題研究要求更高. 因此筆者認(rèn)為，從專業(yè)化的眼光來看，命題的編制必須首要注重科學(xué)性.

案例：點(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，∠A=■，若■=x■+y■，則x+y=________.

原解：如圖1，點(diǎn)O在AB，AC上的射影是D，E點(diǎn)，他們分別是邊AB，AC的中點(diǎn)；對式子■=x■+y■兩邊數(shù)乘■，由向量數(shù)乘的幾何意義即■·■=■·■=3·6，得3·6=x·6·6+y·6·10·cosA，即6x+5y=3；同理，對式子■=x■+y■兩邊數(shù)乘■，得3x+10y=5.聯(lián)合解得x=■且y=■，即x+y=■.

錯(cuò)誤改編：隨后，在本校一次月考試卷命題時(shí)，本校一位教師對上述解法有深刻的欣賞體驗(yàn)，尤其對運(yùn)算3·6=x·6·6+y·6·10·cosA情有獨(dú)鐘. 注意到如果3-6x=6y的話，cosA=■就可以求得.這樣，就隨意把上述的試題進(jìn)行改變，變?yōu)椋狐c(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，若■=x■+y■，且2x+2y=1，則cosA=__________.

分析：這是對原題的一個(gè)逆向改編，但又是對命題較為疏忽的隨意改編，導(dǎo)致問題產(chǎn)生雙重的解答. 其實(shí)，他還沒有檢驗(yàn)另一個(gè)運(yùn)算，對式子■=x■+y■兩邊數(shù)乘■，得5=x·6·cosA+y·10，結(jié)合2x+2y=1就得cosA=■，顯然是有兩重錯(cuò)誤的結(jié)果：cosA=■是大于1的數(shù)且與上一個(gè)運(yùn)算式子結(jié)果cosA=■相矛盾.

思考：隨意編制試題，其原因基于教師對問題本質(zhì)、內(nèi)部的條件聯(lián)系、相互之間的量的制約沒有充分弄清楚，因此往往值得教師進(jìn)一步地思考. 筆者思考的著眼點(diǎn)：點(diǎn)O是任意△ABC的外心，AB=6，AC=10，若■=x■+y■，則系數(shù)x，y應(yīng)該滿足的條件是什么？或在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)（x，y）的軌跡是什么？那么我們繼續(xù)探究下去.

探究：利用向量的兩次數(shù)乘運(yùn)算，可得6x+10ycosA=3，6xcosA+10y=5， 求得cosA=■=■，它等價(jià)于下列的結(jié)果：

■-■=1且3-6x<10y，5-10y<6x.

用幾何畫板在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出，如圖2. 圖中，上述結(jié)果所要求的是第一象限的實(shí)線部分不包括端點(diǎn)0，■是雙曲線的一部分.

■

圖2

雙曲線■-■=1與直線2x+2y=1的交點(diǎn)恰好是0，■和■，0，它們在圖中實(shí)線之外，既不滿足cosA=■=■這個(gè)式子，也在不等式3-6x<10y和5-10y<6x表示的區(qū)域之外，這就是題錯(cuò)誤的原因.

本質(zhì)：當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角確定的話（所有這樣的三角形是相似的），x，y是唯一且確定的. 即可得下面的問題：已知△ABC的外心為O，求證：■■+■■=2■.

為了展示此類問題的多解方法，下面采取的是有別于上面的方法.

證明一（向量數(shù)乘法）：如圖3所示的圖形，角大小如圖標(biāo)記，具體計(jì)算忽略. 設(shè)2■=■=x■+y■，在這一式子兩邊分別乘以向量■，■得

2RsinC=xc+ybcosA，2RsinB=xccosA+yb，

解得x=■=■，y=■=■，

即■■+■■=2■.

■

圖3

證明二（向量基本定理法，解三角形）：當(dāng)如上圖所示的圖形時(shí)，角大小如圖標(biāo)記，具體計(jì)算忽略. 2■=■=■+■，通過計(jì)算■=■·sin■-B=■，則有■=■·■=■·■；同理，■=■，■=■·■=■·■.

這樣就有■■+■·■=2■.

當(dāng)如圖4所示的圖形時(shí)，角大小如圖標(biāo)記，此時(shí)，■π-B是負(fù)值的角了，具體計(jì)算忽略. 2■=■=■+■，通過計(jì)算-■=■·sin■-B=■，則有■=-■·■=■·■；

同理，■=■，■=■·■=■·■.

這樣就有■■+■·■=2■.

上述說明了改編試題必須全方位思考、驗(yàn)證，只有這樣，才有完美的結(jié)果，符合科學(xué)性的原則.

■推動(dòng)教師專業(yè)化成長

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科不同在于除研究對象之外，是數(shù)學(xué)對象的內(nèi)部規(guī)律真實(shí)性與表象背后的本質(zhì)屬性，必須用邏輯推理的方式來證明. 因此，數(shù)學(xué)試題的編制需要一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)涵和學(xué)習(xí)的耐心，這其中隱含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)對教師自身發(fā)展有較大的決定性作用.

一方面，就內(nèi)容而言，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的絕大部分都可以說是數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)和延伸，數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容就是由數(shù)學(xué)命題組成的. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)階段都離不開解題，解題需要運(yùn)算，離不開運(yùn)算法則，從運(yùn)算中提高教師的計(jì)算能力；要計(jì)算圖形的面積、體積，離不開數(shù)學(xué)公式，加強(qiáng)對公式的熟練運(yùn)用并能融會(huì)貫通中提高教師的想象能力；要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明，必然先介紹公理，而后再有定理和推論，提高教師的推理能力；對試題變式的研究，大大提高了教師在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)交匯處演變問題的能力；對一個(gè)高考試題的背景分析、探討和學(xué)習(xí)，能迅速提升教師看待中學(xué)數(shù)學(xué)問題的高度；對優(yōu)秀試題編制進(jìn)行總結(jié)和反思，大大提升了教師教學(xué)與科研的水平和能力. 因此，數(shù)學(xué)試題編制的研究推動(dòng)著教師的專業(yè)化成長.

另一方面，從再認(rèn)知理論的角度來說，荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力. 筆者認(rèn)為利用“再創(chuàng)造學(xué)習(xí)理論”進(jìn)行試題編制的研究，一方面回顧問題中出現(xiàn)的基本知識(shí)，另一方面通過變式等研究對知識(shí)進(jìn)行了重組，從而優(yōu)化了知識(shí)在腦海中存儲(chǔ)，久而久之，產(chǎn)生了“創(chuàng)新”，教師水平的提高也大大提升了試題編制的能力，兩者是相輔相成的！

隨著新一輪課程改革的起航和不斷變革中的高考，將來的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該向著更注重教學(xué)應(yīng)用、綜合能力的方向不斷前行. 今天能解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的教師是一名合格的教師，但在不久的將來可能這樣的基本要求很難適合教師的生存，這勢必要求教師自身擁有更扎實(shí)的基本功、更開拓的眼界、更系統(tǒng)的知識(shí)、更高人一籌的研究能力才能勝任. 以計(jì)算輔助教學(xué)來說：多年前PPT是CAI的主流，近年來，幾何畫板、超級畫板、Cabri3D、Flash等等越來越普遍使用在教學(xué)中，更為專業(yè)的如Mathematica、MathCAD等等也在慢慢滲透進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)中來，教師也要有與時(shí)俱進(jìn)的研究來帶動(dòng)自身的成長，向歐美發(fā)達(dá)國家一樣，隨處可見利用iPad在學(xué)習(xí)、利用網(wǎng)絡(luò)收發(fā)作業(yè)等等.

借本文與讀者共勉，追求不斷的發(fā)展——期待不斷對試題編制進(jìn)行嘗試，在教師專業(yè)化的成長路上做到輕舟已過萬重山.