數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征、設(shè)計(jì)與組織原則*

顧大權(quán)

摘? ?要? ?數(shù)學(xué)活動(dòng)是實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲得的主要途徑。分析數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征和內(nèi)涵，會(huì)幫助教師科學(xué)地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，合理地組織數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率，也會(huì)幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞? ?數(shù)學(xué)教學(xué)? 數(shù)學(xué)活動(dòng)? 教學(xué)設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[1]。數(shù)學(xué)活動(dòng)是獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主要途徑，因此有必要去研究數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)的中心詞是“活動(dòng)”，活動(dòng)需要學(xué)生主體參與，活動(dòng)能激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生思考。數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)應(yīng)從強(qiáng)調(diào)教學(xué)的結(jié)果性向強(qiáng)調(diào)教學(xué)的過(guò)程性轉(zhuǎn)變、從強(qiáng)調(diào)教師為主體教向強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體學(xué)轉(zhuǎn)變、從強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)傳授向強(qiáng)調(diào)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展轉(zhuǎn)變，這也是立德樹(shù)人教育任務(wù)和核心素養(yǎng)培育的要求，因此開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)是當(dāng)前課堂教學(xué)的需要。

關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的定義，各方還不統(tǒng)一，沒(méi)有一個(gè)明確的定義[2]。本文認(rèn)為數(shù)學(xué)活動(dòng)是由問(wèn)題或操作入手、通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐操作或動(dòng)腦思考、經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程、有數(shù)學(xué)思維參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)。分析數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征，理解數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)涵，會(huì)幫助教師合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，順利開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)的抽象性

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)”。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生要有足夠的時(shí)間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等方式參與到活動(dòng)中來(lái)，通過(guò)積極思考、交流形成自己的看法，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)涵，理解其含義。這一過(guò)程中學(xué)生必須經(jīng)歷抽象、概括等數(shù)學(xué)化的過(guò)程，舍棄對(duì)象的其他屬性，僅研究數(shù)量關(guān)系、空間形式等數(shù)學(xué)屬性。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，不斷對(duì)已有的結(jié)論進(jìn)行抽象、概括建構(gòu)形成新的知識(shí)，因此數(shù)學(xué)活動(dòng)必須要經(jīng)歷抽象、概括的數(shù)學(xué)化過(guò)程。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)的思維性

斯托里亞爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”[3]。數(shù)學(xué)活動(dòng)包括操作實(shí)踐等外部的行為活動(dòng)和動(dòng)腦思考、抽象概括等內(nèi)部的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)一般從教師組織材料、設(shè)計(jì)活動(dòng)過(guò)程、組織動(dòng)手實(shí)踐等外部的行為活動(dòng)開(kāi)始，到引發(fā)學(xué)生思考，開(kāi)展合作交流、猜想驗(yàn)證、反思質(zhì)疑等方式的內(nèi)部思維活動(dòng)結(jié)束，其中要使現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題或已有的結(jié)論在不斷抽象、概括等思維活動(dòng)中形成新的結(jié)論或新的應(yīng)用。操作實(shí)踐活動(dòng)和數(shù)學(xué)思維活動(dòng)相輔相成、相互影響，對(duì)知識(shí)的建構(gòu)起著互相促進(jìn)的作用。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)離不開(kāi)思維的參與，具有思維性。

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)的層次性

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，更是一個(gè)意義建構(gòu)的過(guò)程[3]。教學(xué)過(guò)程中，從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，到教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，學(xué)生的認(rèn)知圍繞“活動(dòng)”來(lái)推動(dòng)，當(dāng)一個(gè)活動(dòng)不能從學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)順利到達(dá)最后的教學(xué)目標(biāo)時(shí)，需要通過(guò)一系列的活動(dòng)來(lái)過(guò)渡，這一系列活動(dòng)之間要循序漸進(jìn)，按照一定的層次來(lái)推進(jìn)。前一個(gè)活動(dòng)為后一個(gè)活動(dòng)做鋪墊，后一個(gè)活動(dòng)是前一個(gè)活動(dòng)的深入，活動(dòng)推動(dòng)著學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

4.數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體性

數(shù)學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者[1]。從建構(gòu)主義的理論來(lái)看，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是知識(shí)建構(gòu)的活動(dòng)過(guò)程。由于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不同，活動(dòng)中學(xué)生的參與度、對(duì)知識(shí)的理解、體驗(yàn)也不一定相同，但必須堅(jiān)持學(xué)生的主體地位，鼓勵(lì)學(xué)生猜想、辨析、思考、實(shí)踐和探索，用自己的方式解決問(wèn)題，才能建構(gòu)成為有效的知識(shí)，才能在活動(dòng)中提升學(xué)生的素養(yǎng)和能力。

二、數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容包括操作實(shí)踐類活動(dòng)和數(shù)學(xué)思維類活動(dòng)，操作實(shí)踐類活動(dòng)以操作步驟呈現(xiàn)，思維類活動(dòng)以問(wèn)題串的形式呈現(xiàn)。設(shè)計(jì)一個(gè)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)需要有以下幾個(gè)條件：該活動(dòng)能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的操作環(huán)境和問(wèn)題情境，適合每一個(gè)學(xué)生參與;該活動(dòng)能給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)探索空間，便于學(xué)生提煉與積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);該活動(dòng)能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過(guò)程和數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)活動(dòng)看到數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容的本質(zhì)。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容的設(shè)計(jì)要經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、要有數(shù)學(xué)思維參與，反應(yīng)出數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容的本質(zhì)，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)才能獲得對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和深刻理解。

案例1：《數(shù)學(xué)》（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)“2.5直線與圓的位置關(guān)系（3）”的活動(dòng)設(shè)計(jì)

問(wèn)題1.要從一塊三角形鐵皮余料中剪一個(gè)圓，如何使剪得的圓面積最大？

問(wèn)題2.圓的面積最大時(shí)，⊙O與三角形的三邊是什么位置關(guān)系？

問(wèn)題3.要剪出這個(gè)圓，關(guān)鍵要找到什么？

問(wèn)題4.由三條邊都是切線你想到了什么？

概念介紹：三角形的內(nèi)切圓（見(jiàn)圖2）

問(wèn)題5.能否給三角形的內(nèi)切圓下個(gè)定義？

問(wèn)題6.三角形的內(nèi)切圓和圓外切三角形的“內(nèi)”和“外”兩個(gè)字如何理解？“切”字又如何理解？

問(wèn)題7.一個(gè)三角形有幾個(gè)內(nèi)切圓？為什么？

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】問(wèn)題1要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，將實(shí)際問(wèn)題抽象成在一個(gè)三角形中畫(huà)一個(gè)圓，并且使圓的面積最大。問(wèn)題2讓學(xué)生經(jīng)歷操作探索、交流互動(dòng)等主體活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)圓的面積最大時(shí)，就是圓和三角形的三邊都相切的時(shí)候，本質(zhì)就是作一個(gè)圓，使它與三角形的三邊都相切。問(wèn)題3、4就是要找圓心和半徑，圓心到三邊的距離相等，所以圓心就在三個(gè)角的平分線上，畫(huà)出兩個(gè)角的平分線，就確定出圓心，半徑就是圓心到三邊的垂線段，過(guò)圓心做一邊的垂線段，就確定了半徑。問(wèn)題5、6、7通過(guò)對(duì)定義的文字認(rèn)識(shí)加強(qiáng)對(duì)概念的理解。這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷去情境化，將實(shí)際問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并提煉出共同的本質(zhì)屬性，積累了數(shù)學(xué)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在活動(dòng)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)內(nèi)心是怎樣形成的，知道了知識(shí)產(chǎn)生的來(lái)龍去脈，在操作的活動(dòng)過(guò)程中獲得了隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程設(shè)計(jì)

知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程就是不斷面對(duì)新問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、提出新問(wèn)題，解決新問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)生的認(rèn)知方式也是通過(guò)經(jīng)歷的活動(dòng)實(shí)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過(guò)程，即從已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，對(duì)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)重新認(rèn)識(shí)、重新發(fā)現(xiàn)、重新加工，這個(gè)過(guò)程需要通過(guò)活動(dòng)來(lái)推動(dòng)。從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)到教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，可能需要多個(gè)活動(dòng)才能達(dá)到，這時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要以一定的層次展開(kāi)，各個(gè)活動(dòng)之間層次清楚、脈絡(luò)分明、循序漸進(jìn)，這樣才能將學(xué)生的認(rèn)識(shí)帶到一個(gè)更高的層次上，使數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)得到落實(shí)。

案例2：《數(shù)學(xué)》（蘇科版）八年級(jí)上冊(cè)“6.1函數(shù)”的活動(dòng)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：隨著一天時(shí)間的變化，氣溫也隨之變化;隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，體重越來(lái)越重;隨著國(guó)歌播放時(shí)間的進(jìn)行，國(guó)旗的越升越高;隨著圓的半徑的增大，圓的面積越來(lái)越大……

活動(dòng)2：

問(wèn)題1.列車從甲地駛往乙地，在16：17到16：22這個(gè)時(shí)段，列車在勻速行駛的過(guò)程中有哪些量？在這些量中有哪些量是沒(méi)有變化的？哪些量是不斷變化的？

問(wèn)題2.銀行對(duì)各種不同的存款方式都規(guī)定了相應(yīng)的利率，下表是銀行公布的年利率：

存期x與年利率y有什么關(guān)系？

問(wèn)題3如圖3，搭一個(gè)正多邊形圖案需要8根火柴棒，每多搭一個(gè)正多邊形圖案就要增加7根火柴棒，請(qǐng)說(shuō)出搭正多邊形圖案過(guò)程中的常量和變量。

你能寫(xiě)出搭n個(gè)正多邊形圖案所需的火柴棒數(shù)s與正多邊形個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式嗎？

活動(dòng)3：請(qǐng)學(xué)生再列舉出一些生活中滿足上述屬性的實(shí)例，通過(guò)大量的實(shí)例，讓學(xué)生多角度、多層面認(rèn)識(shí)和理解實(shí)例的本質(zhì)屬性，并指出滿足上述本質(zhì)屬性的例子就是函數(shù)，提煉這些實(shí)例具有的本質(zhì)屬性，概括歸納并試著給函數(shù)下個(gè)定義。共同歸納表述函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】活動(dòng)1從生活實(shí)際入手，從現(xiàn)實(shí)背景引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化，感受在變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，一個(gè)量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)量也在發(fā)生變化?；顒?dòng)2在活動(dòng)1的基礎(chǔ)上逐漸深入，圍繞幾個(gè)問(wèn)題的共同特征的本質(zhì)屬性進(jìn)行提煉：具有兩個(gè)變量，兩個(gè)變量之間存在著唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每當(dāng)一個(gè)變量取一個(gè)定值，另一個(gè)變量有唯一的值與其對(duì)應(yīng)?；顒?dòng)3在前兩個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入，通過(guò)大量的具體實(shí)例發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的本質(zhì)屬性，通過(guò)概括總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)本質(zhì)屬性有了完整的認(rèn)識(shí)，在活動(dòng)中逐層深入提煉出函數(shù)的本質(zhì)屬性，并將函數(shù)的本質(zhì)屬性進(jìn)行符號(hào)化，利用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表征函數(shù)的概念。

三、數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織原則

1.確立學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的主體地位

有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。教師要放手讓學(xué)生充分參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間進(jìn)行活動(dòng)，并在活動(dòng)中大膽去想、去做。學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的發(fā)現(xiàn)，教師要給學(xué)生平等交流和表達(dá)的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生去猜想，引導(dǎo)學(xué)生去驗(yàn)證，找到合理的解決方法，才能在活動(dòng)中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。另外由于學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等存在的個(gè)體差異，活動(dòng)中學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和體驗(yàn)也有差異，因此活動(dòng)中學(xué)生的交往互動(dòng)、合作學(xué)習(xí)就很有必要，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)從教師教到學(xué)生學(xué)的轉(zhuǎn)變，從知識(shí)傳授到素養(yǎng)提升的轉(zhuǎn)變。

2.發(fā)揮教師在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的引導(dǎo)作用

數(shù)學(xué)活動(dòng)中應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，但由于學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)、基礎(chǔ)等局限，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的體驗(yàn)是淺層次的、模糊的，需要教師的幫助和引導(dǎo)，激活已有的經(jīng)驗(yàn)，形成更多的活動(dòng)聯(lián)系點(diǎn)，提高活動(dòng)的有效性。教師的有效引導(dǎo)可在活動(dòng)處于無(wú)助的狀態(tài)下讓活動(dòng)的目標(biāo)更明確，不斷將活動(dòng)引向更深的層次，讓學(xué)生的思維更加開(kāi)闊，思路更加清晰，形成思想方法。教師的有效引導(dǎo)可以掌控?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)的方向和進(jìn)程，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)又一個(gè)活動(dòng)層次，不斷解決問(wèn)題又發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，直至目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，既符合學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)順序，又實(shí)現(xiàn)了不僅關(guān)注活動(dòng)的結(jié)果，更加關(guān)注活動(dòng)的過(guò)程的目的。

3.營(yíng)造活動(dòng)中寬松、和諧的文化氛圍

要確定班級(jí)活動(dòng)中學(xué)生的主體地位，既要學(xué)生個(gè)人的獨(dú)立思考，又要學(xué)生之間的合作交流。中學(xué)生課堂上喜歡表現(xiàn)自己，但又比較敏感，常會(huì)擔(dān)心回答錯(cuò)誤或操作失誤而受到老師的責(zé)備和同學(xué)的嘲笑。因此，營(yíng)造寬松、和諧的班級(jí)文化氛圍會(huì)避免學(xué)生被批評(píng)和嘲笑，避免學(xué)生不愿意參加活動(dòng)，不愿意和同學(xué)交流自己的真實(shí)想法，不愿意發(fā)表自己的見(jiàn)解，以沉默的方式對(duì)待，錯(cuò)過(guò)了展示的機(jī)會(huì)，喪失了對(duì)知識(shí)的真正理解。教師應(yīng)平等的對(duì)待每一位學(xué)生，給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生說(shuō)出內(nèi)心的想法，不因?yàn)閷W(xué)生的想法和教師不一致就強(qiáng)硬地扭轉(zhuǎn)學(xué)生的真實(shí)想法，不諷刺挖苦。同學(xué)之間要規(guī)范言行，傾聽(tīng)別人的見(jiàn)解，發(fā)表自己的獨(dú)到見(jiàn)解，吸納與眾不同的觀點(diǎn)，營(yíng)造互相信任和尊重的氛圍，讓學(xué)生無(wú)拘束的展示、交流和爭(zhēng)辯，才能發(fā)揮活動(dòng)的作用。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】