“三環(huán)四步法”深挖教材例題
——以“菱形的性質(zhì)”例題教學為例

彌勒市西山民族中學 史計春

在整個初中數(shù)學教學過程中，例題發(fā)揮著重要的作用.它們不但是資深的教育專家精挑細選、仔細推敲的產(chǎn)物，也是對課本知識概念的強化與延伸，更是體現(xiàn)數(shù)學思想與方法的重要載體.然而，在現(xiàn)實的例題教學中，卻存在一些問題：少數(shù)教師對課本上的某些例題置之不理；一部分教師對例題只是就題講題，沒有進行深度挖掘、拓展；一部分教師雖然講了例題，也對例題進行了一些拓展，但是學生遇到類似的題目還是不會做.由于對例題學習得不夠深入，一部分學生只會做教師講過的例題的原題，對于由例題衍生出來的新題卻一竅不通；一部分學生遇到與例題類似的題目，教師一講就會，但是自己一做就錯，缺乏獨立解決問題的能力；更有甚者，把課本上原模原樣的例題單獨拿出來測試，仍然不會做.在例題教學中，面對這些問題，筆者嘗試采用“三環(huán)四步法”（三環(huán)節(jié)四步驟方法）來解決.這個方法能充分發(fā)揮例題的導向性和示范性，使例題的功能和價值最大化，讓學生通過對一道例題的深度剖析，會解與例題相關的一類問題.

第一環(huán)節(jié)：作好例題教學前的知識鋪墊與儲備

在“講菱形的性質(zhì)”一課的例題之前，學生已經(jīng)通過自己的“探索─猜想─驗證”，學到了菱形的邊與對角線的特殊性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.為了讓學生更深入地理解這兩個性質(zhì)，為后面例題的學習作好鋪墊，我用3 分鐘左右的時間讓學生做了以下4 個問題的知識搶答，以便檢測學生對所學知識的鞏固與理解情況.

1.（菱形特殊性質(zhì)的理解）僅菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對邊相等 B.四條邊相等

C.對邊平行 D.對角線互相平分

2.（菱形的性質(zhì)中，角的應用）在菱形ABCD 中，兩條對角線的交點為O.若∠BAD=80°，則∠BAO=__________，依據(jù)是________________.

3.（菱形性質(zhì)中，邊、對角線的應用），在菱形ABCD中，兩條對角線的交點為O.AC=8，BD=6，則AO=_____，BO=_____，依據(jù)是_____________________；這個菱形的周長為___________.

4.（菱形的性質(zhì)中，邊、角、對角線的綜合運用）在菱形ABCD 中，兩條對角線的交點為O.若∠BAD=60°，BO=2，則BD=________，AB=________，周長為_________，AO=__________，AC=_____________.

設計意圖：有些學生在學習數(shù)學時，缺乏學以致用的能力，他們面對的問題是學知識點容易，用知識點難，特別是不會綜合運用數(shù)學知識.教師可以把這些綜合性較強的數(shù)學題，逐級分解成學生容易解決的簡單問題，為學生解決難題鋪好臺階，方便學生更好地摘到數(shù)學樹上的果子.所以，在講解例題之前，要加強基礎知識的簡單應用訓練.我設計的題目側(cè)重于應用基礎知識，由淺入深、由單一到綜合，學生容易得出答案，既讓所有學生都鞏固了“菱形的性質(zhì)”這部分知識，又為后面例題的學習作了知識應用上的鋪墊.這樣做，不但讓所有的學生在基礎知識和基本技能上得到了加強與鞏固，也讓學生在知識搶答中不斷增強學習數(shù)學的自信.

第二環(huán)節(jié)：重視并深度開發(fā)課本上的例題，充分發(fā)揮例題的導向性和示范性

所謂重視課本上的例題，就是多角度去挖掘例題的解法或拓展例題，把例題講活、講透.數(shù)學教育家弗賴登塔爾說得好：“學習數(shù)學唯一正確的方法就是‘再創(chuàng)造’，也就是由學生本人把要學的東西去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來；教師的主要任務是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)存的知識灌輸給學生.”這就要求教師在對待教材中的例題時，一方面，要引導學生自己去找出解題的思路、方法和技巧；另一方面，由于初中數(shù)學教材中的例題往往是比較經(jīng)典、具有一定代表性的，因此一定要充分尊重教材中的例題，避免隨意更換，甚至不講例題.在深入了解教材例題的設計意圖后，立足于教材，挖掘例題背后蘊含的知識、方法、思想，并從課本例題的命題背景、題設與結(jié)論、解題方法與思路、拓展與衍生等方面去深度開發(fā)，從而創(chuàng)造性地使用教材和處理教材.這個環(huán)節(jié)是數(shù)學教學的中心環(huán)節(jié)，是一堂課的靈魂，做好了這一環(huán)節(jié)，就可以讓整個數(shù)學例題教學血肉豐滿.教師可以從以下四個步驟入手.

第1步：清楚而透徹地分析例題

在例題教學中，教師要重點教會學生分析問題的思路和方法，讓學生通過一道題，學會用演繹和歸納的方法去解決一類題.在例題教學中，教師應引導學生充分而全面地找到題目的已知條件和結(jié)論，通過師生、生生積極互動，把題目分析得清楚、透徹，將例題積極應用在學生對知識點的鞏固運用上，盡量拓展學生思維，嘗試著一題多解，讓學生明白怎樣分析題目、運用知識，并明白為何這樣解，最后規(guī)范答題過程.下面以人教版八年級《數(shù)學》下冊“菱形的性質(zhì)”一課的例2 為例，談一下我深挖課本例題的方法.

課本例題：如圖1，菱形花壇ABCD的邊長為20 m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

師生互動分析：教師先引導學生找到題目的已知條件與結(jié)論（是什么），再找出已知條件與結(jié)論的關系（什么關系），最后分析通過哪些辦法可以由已知條件得出結(jié)論（怎么做）.解題方法：可以采用由條件得出結(jié)論的正向思路分析法，也可以用綜合分析法或由結(jié)論推出條件成立的逆向思路分析法（反證法）.具體分析過程如下：

正向思路分析法：菱形花壇ABCD 的邊長為20 m，根據(jù)菱形的四條邊都相等，得出AB=BC=CD=AD=20 m，由菱形的對角線互相垂直，得出BD⊥AC，又由BD⊥AC 可知△ABO是Rt△.

圖1

方法一：由∠ABC=60°，根據(jù)菱形的對角線平分每一組對角可知∠ABO=30°，又因為△ABO 是Rt△，由直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，可知AO=10 m，進而得出菱形的一條對角線AC=20 m.

方法二：由∠ABC=60°，AB=BC，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可知△ABC 是等邊三角形，再由等邊三角形的三條邊都相等，同樣可以得到菱形的一條對角線AC=20 m.

問題是求兩條小路的長，可以把實際問題轉(zhuǎn)化為菱形這個數(shù)學模型，進而轉(zhuǎn)化為求菱形的對角線的長.分析題目后，不難發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)求出一條對角線AC=20 m，而求另一條對角線BD 的長，可以用逆向思路分析法：先求BO，由△ABO 是Rt△，根據(jù)勾股定理求出BO；要求菱形面積，可將其轉(zhuǎn)化為求四個小直角三角形面積的和.

第2步：規(guī)范學生的表述過程

師生互動分析題目后，教師要查漏補缺，規(guī)范解答過程，因為初中數(shù)學的答題過程，要按一定的格式進行.解題過程表達要清晰，論證依據(jù)要充分，結(jié)論要明確.為避免學生寫出的解題過程思路不清、邏輯混亂、漏洞百出、沒有突出重點等情況發(fā)生，教師規(guī)范解答過程就非常重要.規(guī)范解答過程，一方面可以讓學生把握考試時的得分點，保證思路能清晰地表達；另一方面，不但能培養(yǎng)學生熟練駕馭數(shù)學符號的能力，也能培養(yǎng)學生良好的邏輯表達能力，形成嚴密的邏輯思維.當然，還要規(guī)范學生的解答過程.在規(guī)范解答過程時，對于基礎較弱的學生，教師可以直接通過板書示范來規(guī)范；如果課堂時間緊迫，也可以播放課件展示解答過程來規(guī)范.然而，最好的方法是先讓學生自己試著書寫過程，教師再指出其中的問題.這樣可以加深學生對知識的理解，但缺點是浪費時間.在教學中，教師可以根據(jù)實際情況，靈活地選用規(guī)范學生解題過程的方法.

規(guī)范的解題過程：

解法1：

設計意圖：解法1 是課本上的解法，在算對角線的長度之前，還需要讓學生復習一下保留小數(shù)點位數(shù)的知識.解法2 是教師引導學生得出的另一種解法.在例題教學中，教師要營造一個寬松的課堂氛圍，采用講授、討論、探究等方式，引導學生不斷地去發(fā)現(xiàn)新思路、尋找新解法，不但拓展了學生的思維，也培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維能力，從而促進學生學習能力和數(shù)學素養(yǎng)的有效提高.適當進行一題多解訓練，可以激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，鍛煉學生思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性，從而培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)發(fā)散思維能力.

第3步：清晰而全面地引導學生歸納總結(jié)

上一階段，只停留在對解決例題的模仿階段，而有效的例題學習不能單純地依賴模仿與記憶，因此在解題后，要引導學生主動地梳理解題思路、方法，或通過例題得到的結(jié)論，讓學生面對類似問題的時候有獨立解決的能力.比如，解這道題關鍵用到菱形的邊、角、對角線的性質(zhì)，通過求面積可以得到結(jié)論：菱形的面積是對角線乘積的一半.由于菱形是特殊的平行四邊形，面積也可以用底乘以高求得.在這里學生的易錯點是用對角線算面積的時候，會忘記乘以二分之一.教師不但要講清楚為什么要乘以二分之一，而且還要強調(diào)乘以二分之一的重要性，防止學生在計算的時候出錯.一方面，由于同一個菱形的面積有兩種算法，所以可以用等面積法求菱形的高、一條對角線或邊；另一方面，還能把這種求面積的方法推廣到所有的對角線相互垂直的四邊形中，即所有對角線相互垂直的四邊形都可以用對角線乘積的一半算面積，故后面即將學到的正方形面積也可以那么算.這里的兩種解法又存在內(nèi)在的聯(lián)系：由于菱形的對角線把菱形分成了四個全等的直角三角形，所以一個等邊三角形實質(zhì)上是由兩個含30°角的全等直角三角形拼湊而成的；第二種解法的思路是把兩個含30°角的Rt△拼湊在一起得到等邊三角形.這樣就找到了兩種解法中知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生能夠洞察問題的深層結(jié)構(gòu).通過上述梳理、總結(jié)，不但讓學生掌握了這道題的解法，還學會了所有此題涉及的知識點.而教師也深度分析了教材，把這道例題中要傳達的思想、方法、深層知識點等全部挖掘出來.

第4步：“借題發(fā)揮”，對例題進行深度與廣度上的拓展

從歷年的中考試題來看，有的試題源于課本例題的模型，因此要在例題歸納反思之后，有目的地對例題進行深度與廣度上的拓展.在深度上，可以通過變化例題的條件、結(jié)論、背景等方式拓展；在廣度上，可讓例題考查的知識點與其他知識綜合，拓寬知識的覆蓋面，讓學生學會化歸思想，把若干個數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化為用一個或幾個數(shù)學知識點來解決.

對于這道例題，我進行了如下拓展：

1.（菱形面積算法的直接應用）如圖2，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的面積________，周長_________.（出自人教版八年級《數(shù)學》下冊P57練習第2題）

2.（等面積法求菱形的高）如圖3，四邊形ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，DH⊥AB 于點H，求DH_____.（出自人教版八年級《數(shù)學》下冊P61練習第11題）

3.（等面積法求菱形的一條對角線）如圖4，菱形ABCD的邊長是2 cm，E 是AB 的中點，且DE⊥AB，則對角線AC的長為_______cm.

圖2

圖3

圖4

4.（菱形性質(zhì)與最短路徑問題相結(jié)合） 如圖5，在邊長為6 cm 的菱形中∠DAB=60°，E 為AC上一動點，當E 運動到某個位置時，BE+DE 有最小值，這個最小值是____________.

5.（用菱形的性質(zhì)證明邊或角相等）如圖6，在菱形ABCD 中，過點D 做DE⊥AB 于點E，做DF⊥BC 于點F，連接EF.

求證：

（1）△ADE≌△CDF；

（2）∠BEF=∠BFE。

6.（菱形的性質(zhì)與直角坐標系結(jié)合，求點的坐標）如圖7，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD 為菱形，且A（0，3），B（-4，0）.求C、D 兩點的坐標.

圖5

圖6

圖7

設計意圖：通過例題的層層變式，不但讓學生對菱形性質(zhì)的認識又深了一步，也培養(yǎng)了學生舉一反三的能力.這樣做，不但讓學生真正會一題、通一片，而且深入理解了所學知識的內(nèi)涵與外延，還讓學生站在一個新的高度上來看數(shù)學，從而提升他們的數(shù)學解題能力.

第三環(huán)節(jié)：課后反思

反思是開啟數(shù)學智慧的鑰匙，不但讓學生有“量”的積累，更可以達到“質(zhì)”的飛躍.孔子云：學而不思則罔，西方數(shù)學教育家弗賴登塔爾也指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力.所以，我們要引導學生在解答例題之后，從解題思路、易錯或易混淆的地方、類似題目、情感體驗四個方面做好反思.

首先，對解題思路、方法、解答等方面進行反思，以提高學生解決數(shù)學問題的能力，培養(yǎng)學生具體情況具體分析的能力.對例題的解題思路進行反思：題目問了哪些問題？這些問題與哪些條件相關？要解決問題，先求什么，再求什么？對解答方法進行反思：解決問題用了哪種方法？遇到哪些情況時可以用此方法？能否創(chuàng)新解題方法？對解答的過程是否嚴密進行反思：解答過程在表述上是否清楚簡潔？長此以往，既避免學生出現(xiàn)只會做教師講過的題，對新題缺乏變通的能力，又提高了學生獨立解決數(shù)學問題的能力.

其次，對易錯、易混淆的知識點進行反思，增強學生識別“陷阱”的能力.學生的學習過程不可能一帆風順，更不可能人人都做對所有的數(shù)學題.在整個學習過程中學生會出現(xiàn)各種各樣的錯誤.面對學生的錯誤，我們要善于引導他們反思出錯的原因，避免下次再出現(xiàn)同樣的錯誤.學生在對錯題進行分析和糾正時，對知識又有了新的認識，鞏固了知識點和概念，充分認識到自己知識體系中存在的漏洞和誤區(qū)，從而促進其對知識體系的修正和完善.大量教學實踐證明，學生對易錯之處進行反思，所取得的效果是顯而易見的，不但能為學生未來解決問題提供思路，還能幫助他們養(yǎng)成良好的思維習慣.

再次，對類似題目進行反思，發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系.數(shù)學與其他學科不同，學生需要通過適量的練習才能加強對知識點的鞏固.無論是教科資料還是市場上的習題冊，對同一個知識點的考查，都會出現(xiàn)類似的題目.教師要從中挑出類似的經(jīng)典題目讓學生解答，通過做題，發(fā)現(xiàn)它們的異同點和內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)出同類題目的解題思路和所運用的知識點.

最后，在情感體驗處反思.大多數(shù)教師注重上述三方面的反思，卻忽視了學生對情感體驗的反思，而正是學生對數(shù)學的情感體驗，影響著學生學習數(shù)學的興趣、熱情、毅力、品質(zhì)，這些因素又決定了學生在學習數(shù)學的道路上能否走得更好、更遠.整個解決例題的過程，不僅是一個知識運用、技能訓練的過程，還是一個伴隨著交往、創(chuàng)造、追求，以及情緒的喜、怒、哀、樂變化的綜合過程.學生解決數(shù)學問題時，可能是獨立思考所得，也可能是通過合作協(xié)同解決.無論是順利解決簡單數(shù)學題的那種“思路暢通解題快，一時做盡所有題”的輕松愜意，還是解決了較難的壓軸題的那種“會當凌絕頂，一覽眾山小”的自豪，或者是對百思不得其解的題的那種“白發(fā)三千丈，緣愁似個長”的憂愁苦澀，又或者對最后思而得解的題的那種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅，都是數(shù)學解題中獨特的情感體驗.在情感體驗的過程中，加強了學生學習數(shù)學“天生我材必有用”的自信心，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，點燃了學習熱情，磨煉了毅力，形成了良好的學習品質(zhì).

“三環(huán)四步法”讓我們在例題教學中，既把握了全局，把例題的導向性和示范性充分地發(fā)揮出來，把例題的功能和價值最大化，又把例題教學的細節(jié)落到了實處，真正實現(xiàn)了通過例題教學達到“做一題，懂一類，通一片”的目的，最終提高了課堂教學效率和教學成績.