函數(shù)對(duì)稱性及其應(yīng)用舉例

安徽 陳曉明

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.函數(shù)的性質(zhì)很多，其中函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，此類試題經(jīng)常出現(xiàn)在平時(shí)的考試中，甚至在高考舞臺(tái)也占有一席之地.函數(shù)的對(duì)稱性分為一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱性和兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)稱性包括軸對(duì)稱和中心對(duì)稱.限于篇幅，這里只給出部分定理的證明，其余定理的證明讀者不難完成.

1 一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱性

(1)軸對(duì)稱

說(shuō)明(1)特別地，當(dāng)a=b時(shí)，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.當(dāng)a=b=0時(shí)，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x)=f(-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).

(2)定理的逆命題也成立，即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，它的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(a+x)=f(a-x).

(3)f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x).

(4)有對(duì)稱性(對(duì)稱軸x=a，對(duì)稱中心(a,b))的一個(gè)或兩個(gè)函數(shù)的定義域只需關(guān)于x=a對(duì)稱即可，不一定就是R.下面情況相同.

(2)中心對(duì)稱

說(shuō)明(1)特別地，當(dāng)a=b時(shí)，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(a+x)=-f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.當(dāng)a=b=0時(shí)，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x)=-f(-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)(即原點(diǎn))對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).

(2)定理的逆命題也成立，即函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，它的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，則f(a+x)=-f(a-x).

(3)f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x).

(4)可推廣：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x)+f(2a-x)=2b，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.逆命題也成立.

2 兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性

(1)軸對(duì)稱

定理3設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

說(shuō)明(1)特別地，當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱.

(2)同理可得：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=2b-f(x)的圖象關(guān)于直線y=b對(duì)稱.

(2)中心對(duì)稱

定理4設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

說(shuō)明(1)特別地，當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)(即原點(diǎn))對(duì)稱.

(3)定理4可推廣為：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.逆命題也成立.

3 應(yīng)用舉例

例1(2018·全國(guó)卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，且f(0)=0.因?yàn)閒(1-x)=f(1+x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由定理1說(shuō)明(3)知f(x)=f(2-x)，故f(-x)=f(2+x)，所以f(2+x)=-f(x)，故f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4，故f(4)=f(0)=0，f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0，f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2，故本題正確答案是C.

評(píng)注由解析不難推廣得到：若函數(shù)f(x)的圖象有一個(gè)對(duì)稱中心(a,0)，一條對(duì)稱軸為直線x=b，且a≠b，則4|b-a|是函數(shù)f(x)的周期.

例3設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上，則函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于

( )

A.直線y=0對(duì)稱 B.直線x=0對(duì)稱

C.直線y=1對(duì)稱 D.直線x=1對(duì)稱

( )

A.1 B.2

C.3 D.4

結(jié)束語(yǔ)

高考復(fù)習(xí)備考中，筆者認(rèn)為做題、講題不在多，應(yīng)當(dāng)多花點(diǎn)兒精力研究知識(shí)點(diǎn)中隱藏的規(guī)律性的東西，注重對(duì)題型的歸納和總結(jié)，在看到個(gè)性的同時(shí)找到共性.把一類題型做熟練、分析透徹，才能觸類旁通，從而培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高解題效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)歸根結(jié)底還是要落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.