基于“最近發(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)
——以“函數(shù)的概念”教學(xué)為例

安徽 王東旭

一、“最近發(fā)展區(qū)”理論概述

“最近發(fā)展區(qū)”理論是由前蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果斯基提出的，他認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是現(xiàn)有發(fā)展水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問題的水平；另一種是潛在發(fā)展水平，是指學(xué)生通過學(xué)習(xí)能夠獲得的潛力.兩者之間的差異就是“最近發(fā)展區(qū)”.教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，在教學(xué)方法上應(yīng)循序漸進(jìn)，逐步向新知過度，不斷超越其最近發(fā)展區(qū)而到達(dá)下一發(fā)展階段的水平.

二、高一新生“函數(shù)的概念”的現(xiàn)有發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平分析

本節(jié)課是針對剛剛步入高中大門的高一新生來設(shè)計(jì)的.高一新生在初中階段已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及幾種特殊的函數(shù):一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，這些構(gòu)成了學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ).然而他們在思維方式上往往還停留在具體運(yùn)算，或者是基于一些具體問題的運(yùn)算上.例如，他們看待函數(shù)時(shí)，一般習(xí)慣將其看作具體的一次函數(shù)、二次函數(shù)或者反比例函數(shù)，沒有將其抽象看成一般的函數(shù)f(x).同時(shí)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)上，大部分學(xué)生往往習(xí)慣于一些特殊值的運(yùn)算，習(xí)慣通過特殊值代替抽象字母，將抽象的數(shù)學(xué)問題特殊化，從特殊的問題中推測、歸納出一般問題的答案.同時(shí)，通過初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生具備了一定的探究能力，掌握了一些合情推理和歸納總結(jié)的方法，但是這些能力和方法普遍都是建立在具體問題或者幾何直觀基礎(chǔ)上的，學(xué)生并不懂得如何借助抽象的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行.鑒于以上對學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的分析，教師在回顧舊知的基礎(chǔ)上提出一系列概念判斷性的問題，其中有些問題學(xué)生無法利用初中函數(shù)的概念解釋，亦無法借助特殊化的方式判斷.因而需要明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的目的——從集合的角度重新解讀函數(shù)的概念.

三、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)對函數(shù)的概念教學(xué)的要求

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對本節(jié)的教學(xué)要求是：通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)的概念中的作用，了解構(gòu)成函數(shù)的要素.從學(xué)生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問題，嘗試列舉各種各樣的函數(shù)，構(gòu)建函數(shù)的一般概念.然而函數(shù)的概念本身是極其抽象的，要求學(xué)生用變量的眼光、運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看待問題，這點(diǎn)對于高一新生來說學(xué)起來十分不易.在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要求教師強(qiáng)調(diào)函數(shù)本質(zhì)，淡化函數(shù)形式化表示與運(yùn)算.通過具體實(shí)例提煉函數(shù)的概念的本質(zhì)，使學(xué)生真正理解它、運(yùn)用它.

四、“最近發(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下的函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

“最近發(fā)展區(qū)”是重要的教學(xué)理論，為了能夠清楚的表達(dá)該理論在本節(jié)教學(xué)中的指導(dǎo)作用，筆者將教學(xué)主要分成以下5個(gè)環(huán)節(jié):回顧舊知、創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)沖突、形成新知、深化理解.具體如下：

1.回顧舊知

師:初中學(xué)過哪些函數(shù)?到底什么叫做函數(shù)?

【設(shè)計(jì)意圖】通過讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的幾種特殊函數(shù):一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，從而引導(dǎo)學(xué)生回憶起初中課本里的函數(shù)的概念以及初中解決此類問題時(shí)的慣用方法和思路.在教學(xué)的伊始就喚醒并構(gòu)建起學(xué)生函數(shù)的概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)有發(fā)展水平中的知識內(nèi)容.

生：回憶并思考上述問題，并讓學(xué)生簡答.

師：給出初中時(shí)對函數(shù)的概念的描述：“一般地，設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù).”

2.創(chuàng)設(shè)情境

通過生活中現(xiàn)實(shí)問題、熟悉的實(shí)例來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，這樣容易引起學(xué)生產(chǎn)生共鳴、產(chǎn)生興趣，體現(xiàn)“人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)”.

筆者給出以下幾個(gè)具體實(shí)例，并進(jìn)一步設(shè)問:以下變量關(guān)系是函數(shù)嗎?為什么?

實(shí)例1.下表是1950～1959年我國的人口的數(shù)據(jù)資料：人口數(shù)量單位(萬人)

年份(x)1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)(y)55 19656 30057 48258 79660 26661 45662 82864 56365 99467 207

實(shí)例2.如圖是滁州市2019年某天自零點(diǎn)至24點(diǎn)氣溫變化情況.

實(shí)例3.某趟高鐵列車以300 km/h的時(shí)速勻速行駛，行駛的路程y千米與其行駛時(shí)間x小時(shí)之間的關(guān)系.

實(shí)例4.已知y=x2，變量y與變量x之間的關(guān)系.

實(shí)例5.已知y2=x(x為非負(fù)實(shí)數(shù))，變量y與變量x之間的關(guān)系.

實(shí)例6.已知|y|=x，變量y與變量x之間的關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】由于這幾個(gè)實(shí)例是完全建立在學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平的基礎(chǔ)之上的，所以應(yīng)該由學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師此時(shí)不應(yīng)該給予提示和指導(dǎo).根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的水平，容易判斷出實(shí)例1，2，3，4中，y是x(或t)的函數(shù)；而實(shí)例5，6中，y不是x的函數(shù).

3.引發(fā)沖突

提出疑問:既然初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，為何高中又要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念?

【設(shè)計(jì)意圖】這樣的設(shè)問方式正是學(xué)生所感到困惑的地方，因此可以吸引學(xué)生的注意，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

筆者緊接著給出下列式子并提出問題:這些式子是函數(shù)嗎?

【設(shè)計(jì)意圖】通過初中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地把函數(shù)理解為“一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量變化而變化”，對于以上的這類式子是否表示函數(shù)，絕大多數(shù)的高一學(xué)生無從判斷，因?yàn)檫@與初中“變量說”的定義不太吻合，于是學(xué)生感到疑惑.這時(shí)，要讓學(xué)生知道“變量說”僅從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)變量和變域——自變量與因變量、定義域與值域，缺少了對于函數(shù)實(shí)質(zhì)的刻畫.因此需要從新的角度來引入函數(shù)更為準(zhǔn)確的定義.在課堂教學(xué)時(shí)可以通過這些函數(shù)的實(shí)例，在學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平的基礎(chǔ)上引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生積極自主探索，促進(jìn)學(xué)生從現(xiàn)有發(fā)展水平出發(fā)，最終完成向潛力發(fā)展水平的過渡和轉(zhuǎn)化.

4.形成新知

教師帶著學(xué)生回到之前給出的幾組實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用集合的語言闡述實(shí)例1，2，3，4的共同特點(diǎn).

(1)每一個(gè)變化過程均涉及兩個(gè)非空數(shù)集A，B；

(2)存在某種對應(yīng)法則，對于A中的任意元素x，B中總有唯一確定的一個(gè)元素y與之對應(yīng).

在此，筆者通過PPT展示實(shí)例1可以確定的兩個(gè)非空數(shù)集：

以年份構(gòu)成的集合A={1950,1951,1952,1953,1954,1955,1956,1957,1958,1959}，

以人口數(shù)量(萬人)構(gòu)成的集合B={55 196,56 300,57 482,58 796,60 266,61 456,62 828,64 563,65 994,67 207}.并給出這兩個(gè)非空數(shù)集之間的對應(yīng)，這種對應(yīng)是每一個(gè)年份都對應(yīng)著一個(gè)人口數(shù)量.

于是，引導(dǎo)學(xué)生模仿實(shí)例1中兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)，完成實(shí)例2的對應(yīng).并以投影的形式在班級展示.這里采集一位同學(xué)的答案：

實(shí)例2.A={0:00,2:00,4:00,6:00,8:00,10:00,12:00,14:00,16:00,18:00,20:00,22:00,24:00}，

B={20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}.

再讓學(xué)生口述實(shí)例3，4如何用集合之間的對應(yīng)來描述.在此基礎(chǔ)上筆者給出函數(shù)的概念的定義：“一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任意元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，通常記為y=f(x)，x∈A.其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域；所有的輸出值y組成的集合C(C?B)叫做函數(shù)y=f(x)的值域.”

【強(qiáng)化概念】由于學(xué)生初次碰到這個(gè)新概念，所以極容易忽略其中的一些關(guān)鍵部分，而對于這些關(guān)鍵部分認(rèn)識上的缺失會(huì)直接導(dǎo)致其在后面學(xué)習(xí)上產(chǎn)生障礙.于是，在給出概念之后應(yīng)當(dāng)及時(shí)地強(qiáng)調(diào)函數(shù)的概念成立的幾個(gè)必備條件:兩個(gè)集合要求“非空”、兩個(gè)集合必須是“數(shù)集”、“任意”和“唯一”.它們都是形成概念的必要前提，并且能夠與本章最后要講的映射的概念之間形成對比和聯(lián)系.而對于其中“任意”和“唯一”這兩點(diǎn)的充分理解是對學(xué)生現(xiàn)有思維方式的挑戰(zhàn).例如，學(xué)生應(yīng)當(dāng)理解“任意”是用來規(guī)定集合A的，于是集合A一定是函數(shù)的定義域，而其對于集合B卻沒有限制，集合B中可以有元素沒有原象，于是集合B就不一定是值域，值域C一般包含于B，而不一定相等.如果學(xué)生能夠?qū)@兩點(diǎn)達(dá)到正確的理解和熟練的運(yùn)用，那么則是其從現(xiàn)有發(fā)展水平過渡到潛力發(fā)展水平的一個(gè)重要標(biāo)志.

最后，回到剛才給出的三個(gè)式子.根據(jù)概括出的函數(shù)的概念，學(xué)生容易判斷它們都是函數(shù)，這是一個(gè)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生潛在發(fā)展水平的問題.在展現(xiàn)函數(shù)表現(xiàn)形式多樣的同時(shí)，通過“特殊→一般→特殊”的認(rèn)知循環(huán)發(fā)展過程，加深學(xué)生對于函數(shù)的概念的理解.

5.深化理解

學(xué)了新的函數(shù)的概念后，函數(shù)具體有哪些部分，這是學(xué)生必須搞清楚的，于是在前面引導(dǎo)的前提下繼續(xù)追問.(讓學(xué)生回答并點(diǎn)評)

由定義域、值域及定義域到值域的對應(yīng)法則三部分組成，這就是函數(shù)的三要素，為了研究方便，我們把三要素寫成一個(gè)表達(dá)式y(tǒng)=f(x).

“y=f(x)”表明，對于定義域中的任意x，在對應(yīng)法則f的作用下都可得到y(tǒng)，可見對應(yīng)法則孕育了x與y之間的關(guān)系，它是聯(lián)系x與y的紐帶，從而說明對應(yīng)是函數(shù)的核心.

為了深化學(xué)生對概念中“對應(yīng)”的理解，進(jìn)一步提出問題：實(shí)例3和實(shí)例4所表示的函數(shù)y=300x(x≥0)與y=x2(x∈R)中對應(yīng)法則分別表示什么呢?(學(xué)生作答，教師指導(dǎo))

函數(shù)三要素的分析與研究是本課的重點(diǎn)和難點(diǎn).這里將對y=f(x)的認(rèn)識與f作用的分析作為學(xué)生理解函數(shù)三要素的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生在突破重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上對f作為函數(shù)實(shí)質(zhì)特征第一次認(rèn)同.

上述的y=300x與y=x2顯然不同，原因是二者的對應(yīng)法則不同.那么，如何判定兩函數(shù)是相等的函數(shù)呢，判定標(biāo)準(zhǔn)是什么？

筆者通過下面這個(gè)例子來講，提出設(shè)問：下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？(讓學(xué)生就這個(gè)問題展開討論，然后找部分學(xué)生提出自己的想法)

追問:f(x)=x與g(t)=t，那么它們還是同一函數(shù)嗎?(由學(xué)生作答)

于是可以得出結(jié)論:判斷函數(shù)是否相同，只要看它們的三要素是否相同，而值域完全由定義域和對應(yīng)法則來確定，所以主要是看定義域和對應(yīng)法則是否相同.定義域和對應(yīng)法則一經(jīng)確定，則函數(shù)就完全確定了，與表示自變量的字母無關(guān).而判斷兩函數(shù)不同，只需要判定定義域、對應(yīng)法則和值域中有一個(gè)要素不同就可以了.

五、“最近發(fā)展區(qū)”理論在本節(jié)使用的反思

1.基于學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的教學(xué)設(shè)計(jì)

首先通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)問題情境，提問學(xué)生初中關(guān)于函數(shù)的定義以及利用初中函數(shù)定義判斷實(shí)例是否為函數(shù)，激起學(xué)生對已有知識的回憶與聯(lián)想，同時(shí)也感受到初中定義的局限性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的愿望.引導(dǎo)學(xué)生用“初中x在某一確定范圍內(nèi)去理解非空集合A”，“初中某一變化過程去理解按照一定對應(yīng)法則f”，這樣處理有利于形成知識的正遷移.通過學(xué)生的“觀察分析→比較→歸納→概括”培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.

2.基于學(xué)生潛在發(fā)展水平的引導(dǎo)

本節(jié)課的設(shè)置，讓學(xué)生一開始就從現(xiàn)有發(fā)展水平出發(fā)，引發(fā)認(rèn)知上的矛盾與沖突，從而促進(jìn)學(xué)生積極自主地探索與反省，并讓學(xué)生處于教師所激發(fā)形成的“思維場”中，在教師所創(chuàng)設(shè)的符合學(xué)生思維水平的一個(gè)個(gè)“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，讓學(xué)生在解決沖突的過程中逐步完善自己的知識結(jié)構(gòu)，提升自己的思維水平和基本數(shù)學(xué)能力，在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，真正有效地把學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平轉(zhuǎn)化為“潛在發(fā)展水平”，從而實(shí)現(xiàn)自身真正的發(fā)展.