教學(xué)考試雜志社“優(yōu)師計(jì)劃”階段性成果展示
——“動(dòng)力學(xué)”相關(guān)試題選登

一、相對(duì)運(yùn)動(dòng)

【例1】如圖所示，在地面上固定一斜面，現(xiàn)將物塊P、Q疊放在一起置于斜面上，整體沿著斜面下滑，下列說(shuō)法正確的是

( )

A.若整體勻速下滑，物塊Q受到三個(gè)力的作用

B.若整體加速下滑，物塊P對(duì)物塊Q的摩擦力水平向右

C.若整體加速下滑，物塊Q處于失重狀態(tài)

D.若整體加速下滑，物塊Q處于超重狀態(tài)

【答案】C

【解析】若整體勻速下滑，物塊Q處于二力平衡狀態(tài)，A錯(cuò)誤；若整體加速下滑，說(shuō)明兩者的加速度都是沿著斜面向下，該加速度具有水平向左的分量和豎直向下的分量，因此P對(duì)Q的摩擦力水平向左，物塊Q處于失重狀態(tài)，C正確，BD錯(cuò)誤。

【例2】如圖所示，水平傳送帶的質(zhì)量M=9 kg，兩端點(diǎn)A、B間距離L=4 m，傳送帶以加速度a=2 m/s2由靜止開始順時(shí)針加速運(yùn)轉(zhuǎn)的同時(shí)，將一質(zhì)量為m=1 kg的滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))無(wú)初速度地輕放在A點(diǎn)處，已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，g取10 m/s2，電動(dòng)機(jī)的內(nèi)阻不計(jì)。傳送帶加速到v=2 m/s的速度時(shí)立即開始做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而后速率將始終保持不變，則滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中

( )

A．系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為1 J

B．滑塊機(jī)械能的增加量為3 J

C．滑塊與傳送帶相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3 s

D．傳送滑塊過(guò)程中電動(dòng)機(jī)輸出的電能為5 J

【答案】A

【例3】如圖，質(zhì)量M=0.3 kg的長(zhǎng)方體鋼板靜止在粗糙的水平面上，質(zhì)量m=0.5 kg的滑塊靜止在鋼板右端。一質(zhì)量m0=0.2 kg的光滑小球沿水平面以初速度v0=5 m/s向右運(yùn)動(dòng)，與鋼板發(fā)生彈性正碰，碰撞時(shí)間極短，碰撞后鋼板向右滑行，滑塊恰好不從鋼板上掉下來(lái)。已知鋼板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.1，與滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.2，取g=10 m/s2。求：

(1)碰撞后瞬間，小球的速度大小和鋼板的速度大?。?/p>

(2)滑塊在鋼板上滑行的時(shí)間t；

(3)鋼板的長(zhǎng)度L以及鋼板剛停下時(shí)滑塊與小球間的距離x。

【解析】(1)碰后瞬間，設(shè)小球的速度為v，鋼板的速度為v1，小球與鋼板發(fā)生彈性正碰，滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，則

m0v0=m0v+Mv1

小球的速度大小為1 m/s，鋼板的速度大小為4 m/s

(2)碰后，滑塊水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，鋼板水平向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直至與滑塊的速度相同。設(shè)鋼板、滑塊運(yùn)動(dòng)的加速度大小分別為a1、a2，根據(jù)牛頓第二定律有

μ2mg=ma2

鋼板與滑塊速度相同時(shí)有

v1-a1t1=v2=a2t1

解得t1=0.5 s

十幾天后，西大街那孩子王釣魚，不想失了足，掉入河里，偏他不會(huì)水，頭冒了兩下，就沉下去了。跟他一起來(lái)的孩子都慌了，沒一個(gè)敢去救他。

鋼板的長(zhǎng)度L=x1-x2

解得L=1 m

設(shè)鋼板與滑塊共速后到剛停下所用的時(shí)間為t2，則

鋼板剛停下時(shí)滑塊與小球間的距離

解得x=2.25 m

【例4】如圖所示,質(zhì)量為M=6 kg的長(zhǎng)木板放在光滑水平地面上,在長(zhǎng)木板的最右端和距右端 4 m 的P點(diǎn)處各放一物塊B和A(均可視為質(zhì)點(diǎn))，物塊A的質(zhì)量為m1=2 kg,物塊B的質(zhì)量為m2=1 kg,長(zhǎng)木板P點(diǎn)左側(cè)足夠長(zhǎng)，長(zhǎng)木板上表面P點(diǎn)右側(cè)光滑，P點(diǎn)左側(cè)(包括P點(diǎn))粗糙，物塊A與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5,現(xiàn)用一水平向右的恒力F作用于長(zhǎng)木板上,使長(zhǎng)木板由靜止開始運(yùn)動(dòng),設(shè)物塊A與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,g=10 m/s2，求：

(1)當(dāng)長(zhǎng)木板由靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，若要物塊A與長(zhǎng)木板保持相對(duì)靜止，拉力F滿足的條件；

(2)若拉力F=36 N,在物塊A、B相碰時(shí)撤去拉力F,物塊A與B發(fā)生彈性碰撞，碰撞之后物塊A的速度v1和物塊B的速度v2。

【解析】(1)當(dāng)A與長(zhǎng)木板間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)將要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)此時(shí)物塊A的加速度為a0，以A為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律

μm1g=m1a0

因?yàn)锽與長(zhǎng)木板間沒有摩擦力，以長(zhǎng)木板和物塊A整體為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓第二定律，當(dāng)A與長(zhǎng)木板間將要發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)F0=(M+m1)a0

聯(lián)立解得F0=40 N

所以若要物塊A與長(zhǎng)木板保持相對(duì)靜止，拉力

F<40 N

(2)當(dāng)拉力F=36 N時(shí)小于40 N,開始時(shí)物塊B保持靜止，物塊A與長(zhǎng)木板一起加速

解得v0=6 m/s

物塊A、B發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律

m1v0=m1v1+m2v2

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

兩式聯(lián)立解得v1=2 m/s

v2=8 m/s

二、功能關(guān)系

【例1】如圖所示，輕彈簧的一端固定在質(zhì)量為2m的滑塊A上，質(zhì)量為2m的光滑弧形滑槽B靜止放在光滑水平面上，弧形滑槽底端與水平面相切，一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊C從滑槽高h(yuǎn)處開始自由下滑，下列說(shuō)法正確的是

( )

A．滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A、B、C系統(tǒng)機(jī)械能守恒

D．物塊反彈后追不上滑槽

【答案】CD

【例2】如圖所示，光滑水平地面上有一上表面粗糙且水平、質(zhì)量為mC=10 kg的小車C。小車C與一固定在地面上的光滑圓弧底端等高且平滑相接。將質(zhì)量為mB=2 kg的滑塊B置于小車C的最左端?，F(xiàn)有一質(zhì)量為mA=3 kg的滑塊A從距離小車的水平面高度為h=1.25 m處的光滑軌道由靜止下滑?；瑝KA與B碰撞后立即粘在一起運(yùn)動(dòng)，最終沒有滑落小車。整個(gè)過(guò)程中滑塊A和B都可以視為質(zhì)點(diǎn)?；瑝KA和B與小車C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，取g=10 m/s2，求：

(1)滑塊A和B粘在一起后和小車C相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各自加速度的大?。?/p>

(2)若從A、B碰撞時(shí)開始計(jì)時(shí)，則0～3 s時(shí)間內(nèi)，滑塊A、B與小車C因摩擦產(chǎn)生的熱量Q為多少？

【解析】(1)滑塊A和B粘在一起后，滑塊A、B和小車C都向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的加速度分別為a1和a2

由牛頓第二定律可得

滑塊AB-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a1

a1=-2 m/s2

小車Cμ(mA+mB)g=mCa2

a2=1 m/s2

(2)設(shè)滑塊A滑到圓弧底端時(shí)的速度為vA

由機(jī)械能守恒定律可得

設(shè)A、B碰撞后的共同速度為vAB，由動(dòng)量守恒定律可得

mAvA=(mA+mB)vAB

設(shè)在0～3 s時(shí)間內(nèi)，滑塊A、B與小車C相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由相對(duì)靜止時(shí)速度相等可得

vAB+a1t=a2t

解得t=1 s

即1 s后物塊和小車相對(duì)靜止向右勻速直線運(yùn)動(dòng)

設(shè)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t內(nèi)滑塊A、B和小車C的位移分別為x1和x2，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得

設(shè)滑塊A、B與小車C相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移為Δx，則有

Δx=x1-x2

0～3 s時(shí)間內(nèi)，滑塊A、B與小車C因摩擦產(chǎn)生的熱量

Q=μ(mA+mB)g·Δx

聯(lián)立解得Q=15 J

【例3】如圖甲所示,質(zhì)量為0.3 kg的物塊，靜止在水平面上，不計(jì)空氣阻力，在豎直向上的拉力F的作用下，由靜止開始上升了9 m，此過(guò)程中，拉力做的功W和物塊上升高度x之間的關(guān)系如圖乙所示，g=10 m/s2。下列說(shuō)法中正確的是

( )

B.此過(guò)程中，物塊的機(jī)械能增加了42 J

C.上升高度x=9 m時(shí)，物塊速度恰好為零

D.上升9 m后，若保持拉力不變，物塊回到地面時(shí)動(dòng)能為18 J

【答案】AC

【例4】2018年10月23日港珠澳大橋正式通車。港珠澳大橋海底隧道沉管長(zhǎng)5 664米，由33節(jié)巨型沉管和1個(gè)“最終接頭”對(duì)接而成，“最終接頭”是一個(gè)重約為6 000噸的巨大鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，將“最終接頭”簡(jiǎn)化為一長(zhǎng)方體模型，簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)和吊裝示意圖如圖所示。

(1)“最終接頭”在這艘世界最大單臂全旋回起重船“振華30”兩個(gè)吊鉤、八根吊纜的巨大牽引力下，緩慢到達(dá)沉放海域上空，如果“最終接頭”重量為G，每根吊纜與豎直線的夾角為θ，求每根吊纜的牽引力FT；

(2)當(dāng)“最終接頭”底邊開始沒入水面，始終以微小的平面誤差緩慢下沉至28米深的海底，最終與沉管E29和E30對(duì)接成功，港珠澳大橋海底隧道順利合龍。設(shè)當(dāng)?shù)睾Ｋ拿芏葹棣眩白罱K接頭”長(zhǎng)方體模型長(zhǎng)為L(zhǎng)，高為h，寬為d，求“最終接頭”下沉至海底H處對(duì)接過(guò)程中，浮力對(duì)“最終接頭”做的功W。

【解析】(1)根據(jù)對(duì)稱性和平衡條件得8FTcosθ=G

(2)“最終接頭”長(zhǎng)方體受到的浮力分兩個(gè)階段，第一階段是從水面到完全浸沒，浮力F1是變力，第二階段從完全浸沒到下沉到海底，浮力F2是恒力。

第一階段：F1=ρVg

設(shè)長(zhǎng)方體從海面下沉位移為x，即V=Ldx

聯(lián)立解得F1=ρgLdx

可知浮力與位移成正比

從水面到完全浸沒，浮力對(duì)“最終接頭”做的功

第二階段從完全浸沒到下沉到海底

則F2=ρgLdh

浮力對(duì)“最終接頭”做的功

W1=F2×(H-h)=ρgLdh(H-h)

故“最終接頭”下沉至海底H處對(duì)接過(guò)程中，浮力對(duì)“最終接頭”做的功

【例5】2018年12月30日，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)繞月圓軌道Ⅰ的“嫦娥四號(hào)”做功W進(jìn)行減速變軌，進(jìn)入橢圓形軌道Ⅱ，如圖所示。2019年 1月3日“嫦娥四號(hào)”在近月點(diǎn)P以速度v開始第二階段減速，進(jìn)行登月任務(wù)。已知在軌道Ⅰ時(shí)“嫦娥四號(hào)”的總能量為E，“嫦娥四號(hào)”的質(zhì)量為m,忽略其他天體的影響，把無(wú)窮遠(yuǎn)處作為月球引力勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn),則在近月點(diǎn)月球?qū)Α版隙鹚奶?hào)”的引力勢(shì)能大小為

( )

【答案】D

【例6】如圖所示，絕緣粗糙斜面體固定在水平地面上，一帶電荷量為+q的物塊P放置于斜面體上的A點(diǎn)，斜面體的底端點(diǎn)固定一個(gè)帶電荷量為+Q的物塊?，F(xiàn)讓帶電物塊P從A點(diǎn)靜止釋放，物塊P第一次沿斜面向下運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)加速度為零，然后繼續(xù)下滑到N點(diǎn)速度為零后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)(M點(diǎn)與N點(diǎn)圖中未標(biāo)出，物塊可視為質(zhì)點(diǎn))，則關(guān)于物塊P以下說(shuō)法正確的是

( )

A．從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能變化量等于摩擦力和庫(kù)侖力做功之和

B．從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能的增加量等于重力勢(shì)能減少量和摩擦產(chǎn)生的熱量之和

C．第一次下滑過(guò)程中加速度為零的位置一定在第一次返回過(guò)程中加速度為零的位置上方

D．只能停在第一次下滑過(guò)程中加速度為零的位置和在第一次返回過(guò)程中加速度為零的位置之間(含這兩個(gè)位置)

【答案】ACD

三、桿繩模型

【例1】中間有光滑圓孔的圓環(huán)A與物塊B用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩連接，A套在豎直光滑的細(xì)桿上，細(xì)桿的上端為R，繩繞過(guò)定滑輪將B豎直懸掛，如圖所示，輕繩與定滑輪間無(wú)摩擦。讓圓環(huán)A從與O等高的P點(diǎn)由靜止釋放，下落到Q點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，此時(shí)B沒有碰到滑輪，已知OP=0.3 m，PR=0.225 m，PQ=0.4 m，重力加速度g=10 m/s2。則

( )

A．圓環(huán)A和物塊B的質(zhì)量之比為3∶4

B．當(dāng)圓環(huán)A的速度最大時(shí)，A、B的速度之比為2∶1

C．圓環(huán)A和物塊B的機(jī)械能之和始終保持不變

D．若圓環(huán)A以3 m/s的初速度從Q點(diǎn)向上滑動(dòng)，圓環(huán)A不能滑出細(xì)桿頂端

【答案】BC

( )

A．小球在D點(diǎn)時(shí)速度最大

C．小球在CD階段損失的機(jī)械能等于小球在DE階段損失的機(jī)械能

D．若O點(diǎn)沒有固定，桿OB在繩的作用下以O(shè)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在繩與B點(diǎn)分離之前，B的線速度等于小球的速度沿繩方向分量

【答案】AD

【例3】有一輕桿固定于豎直墻壁上的O點(diǎn)，另一端A固定一輕滑輪，一足夠長(zhǎng)的細(xì)繩一端掛一質(zhì)量為m的物體，跨過(guò)定滑輪后另一端固定于豎直墻壁上的B點(diǎn)，初始時(shí)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，O、B兩點(diǎn)間的距離等于A、B兩點(diǎn)間的距離，設(shè)AB與豎直墻壁的夾角為θ，不計(jì)滑輪與細(xì)繩的摩擦,下列說(shuō)法正確的是

( )

A.系統(tǒng)平衡時(shí)桿對(duì)滑輪的力一定沿桿的方向

B.若增大桿長(zhǎng)OA，O與B位置不變且保持OB=AB,使角θ增大,則桿對(duì)滑輪彈力的方向?qū)⑵xOA桿

C.若保持A點(diǎn)的位置不變，將繩子的固定點(diǎn)B點(diǎn)向上移動(dòng)，則桿對(duì)滑輪的彈力變大

D.若保持AB與豎直墻壁的夾角θ不變，將輕桿的固定點(diǎn)O向下移動(dòng)，則桿對(duì)滑輪彈力的方向不變

【答案】AD

【解析】繩子上的彈力大小等于物體的重力mg，則繩子對(duì)滑輪的兩彈力的合力方向在兩彈力的角平分線上，根據(jù)平衡條件可得桿對(duì)滑輪的彈力方向也在角平分線上，O、B兩點(diǎn)間的距離等于A、B兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)幾何關(guān)系可得，桿OA恰好在兩彈力的角平線方向上，故A正確；若保持O、B兩點(diǎn)位置不變，增大桿長(zhǎng)OA,使AB與豎直墻壁的夾角θ增大,仍保持O、B兩點(diǎn)間的距離等于A、B兩點(diǎn)間的距離，桿OA仍在兩彈力的角平分線上，桿對(duì)滑輪的彈力仍沿桿方向，故B錯(cuò)誤；若保持A點(diǎn)的位置不變，將繩子的固定點(diǎn)B向上移動(dòng)，繩子對(duì)滑輪的兩力夾角變大，合力變小，滑輪處于平衡狀態(tài)，則桿對(duì)滑輪的彈力變小，故C錯(cuò)誤；若保持AB與豎直墻壁的夾角θ不變，將輕桿的固定點(diǎn)O向下移動(dòng)，兩繩對(duì)滑輪的彈力大小方向都不變，則桿對(duì)滑輪的力仍在兩繩彈力的角平分線上，所以桿對(duì)滑輪彈力的方向不變，故 D正確。

【例4】如圖甲的長(zhǎng)江索道被譽(yù)為“萬(wàn)里長(zhǎng)江第一條空中走廊”。索道簡(jiǎn)化示意圖如圖乙所示，索道傾角為30°，質(zhì)量為m的車廂通過(guò)懸臂固定,懸掛在承載索上，在牽引索的牽引下一起斜向上運(yùn)動(dòng)。若測(cè)試運(yùn)行過(guò)程中懸臂和車廂始終處于豎直方向，纜車開始以加速度a1=10 m/s2向上加速，最后以加速度a1=10 m/s2向上減速，重力加速度大小為g=10 m/s2，則向上加速階段和向上減速階段懸臂對(duì)車廂的作用力之比為

( )

甲

乙

C.2∶1 D.1∶2

【答案】A