以數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)對(duì)比值定義理解的案例分析

邵邦武

摘 ? ?要：現(xiàn)行的初中物理教材中有眾多的物理概念都是用比值定義法來(lái)定義的。然而，教材中并沒(méi)有明確闡釋比值定義法的本質(zhì)，造成物理概念的量度公式被符號(hào)形式化，忽視了物理量背后的本質(zhì)屬性。文章以數(shù)形結(jié)合的方式，將抽象思維與形象思維相結(jié)合，通過(guò)實(shí)例分析比值定義的本質(zhì)特征，讓學(xué)生理解比值定義的內(nèi)涵，感悟定義新物理量的方法，提升科學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：比值定義;數(shù)形結(jié)合;教學(xué)設(shè)計(jì);案例分析

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2020）10-0028-5

1 ? ?比值定義法的重要性

初二學(xué)生自開(kāi)始學(xué)習(xí)物理后，就逐漸在認(rèn)識(shí)物理世界，在這過(guò)程中除了要觀察、了解各種物理現(xiàn)象，還會(huì)遇到許多物理概念，只有真正地理解這些概念才稱(chēng)得上“認(rèn)識(shí)”物理。在諸多物理概念中有相當(dāng)一部分是用比值定義法得出的，比如速度、密度、功率、效率、比熱容、熱值、電流、電阻等。所謂比值定義法，就是用兩個(gè)或多個(gè)基本物理量的“比”來(lái)定義一個(gè)新物理量的方法。比值定義法的基本特點(diǎn)是被定義的物理量往往反映的是物質(zhì)本質(zhì)的屬性，它不隨參與定義的物理量大小改變而改變[1]。

2 ? ?理解比值定義的困難所在

比值定義法在眾多物理概念的定義中占有重要的地位。然而，現(xiàn)行的初中物理教材沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的章節(jié)來(lái)介紹比值定義方面的內(nèi)容，也沒(méi)有明確說(shuō)明為何要進(jìn)行比值定義，其本質(zhì)意義何在？這給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成許多困惑，也給教師的教學(xué)帶來(lái)困難。用比值定義法建立物理概念時(shí)，如果沒(méi)有搞清概念表達(dá)的屬性，沒(méi)有從量度公式中理解它們的物理過(guò)程及物理符號(hào)的真實(shí)含義，就容易使得這些量度公式被符號(hào)形式化，忽視了物理量的豐富內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生死記硬背和亂用。因此，教學(xué)中需要采用有效的教學(xué)方式對(duì)比值定義進(jìn)行較為全面、深入的分析，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)物理是非常有益的。通過(guò)實(shí)踐探索發(fā)現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合的方法可以有效攻克難點(diǎn)，體現(xiàn)其獨(dú)到的教學(xué)優(yōu)勢(shì)。

3 ? ?數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，將原本需要通過(guò)抽象思維解決的問(wèn)題，借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，同時(shí)優(yōu)化解決問(wèn)題的方法[2]。正是基于這種處理問(wèn)題的方法，在初中物理課堂中嘗試采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行比值定義的教學(xué)，目的就是要將比值所表征的抽象本質(zhì)通過(guò)直觀的圖像呈現(xiàn)出來(lái)，降低學(xué)生的理解難度，直達(dá)本質(zhì)內(nèi)涵。

4 ? ?數(shù)形結(jié)合認(rèn)識(shí)比值定義的教學(xué)設(shè)計(jì)

初中學(xué)生認(rèn)識(shí)物理世界是從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始的，所以我們的教學(xué)設(shè)計(jì)從速度概念的建立開(kāi)始，利用數(shù)形結(jié)合從比值定義法中找到規(guī)律，認(rèn)識(shí)本質(zhì)特征，并能依此嘗試定義新物理量。

4.1 ? ?教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握數(shù)形結(jié)合的思維方法，明白圖像所蘊(yùn)含的物理意義;

（2）理解比值定義的內(nèi)涵，會(huì)用比值法來(lái)定義新物理量。

4.2 ? ?教學(xué)思路

（1）初步感受。通過(guò)講授勻速直線運(yùn)動(dòng)中速度的概念，讓學(xué)生體驗(yàn)如何通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行比值定義。

（2）進(jìn)階訓(xùn)練。通過(guò)觀察自由落體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，根據(jù)時(shí)間、位移和速度的相關(guān)數(shù)據(jù)，描繪出v-t圖像，嘗試用比值定義的方法定義重力加速度。

（3）實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用。通過(guò)探究彈簧所受彈力與伸長(zhǎng)量關(guān)系的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自行從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并定義出新的物理量——?jiǎng)哦认禂?shù)。

4.3 ? ?新課引入

情境創(chuàng)設(shè)：小敏1歲時(shí)身高為50 cm，3歲時(shí)身高增了20 cm ，5歲時(shí)又長(zhǎng)了20 cm ，到了7歲時(shí)身高已達(dá)120 cm。

提問(wèn)：描述小敏的身高變化。

換成圖像來(lái)表達(dá)這個(gè)信息，看看有何不同？（圖1）

設(shè)計(jì)意圖：在新課教學(xué)前讓學(xué)生先體會(huì)“數(shù)”與“形”，從中感受圖像比語(yǔ)言表達(dá)的信息更加直觀形象，能夠更清晰地反映事物的本質(zhì)特征和預(yù)測(cè)事物發(fā)展的趨勢(shì)。圖像其實(shí)是“數(shù)”和“形”的有機(jī)結(jié)合體?！靶巍本褪恰皥D線”，“數(shù)”就是其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)表達(dá)式，數(shù)形結(jié)合能夠揭示數(shù)據(jù)背后用語(yǔ)言無(wú)法完整表達(dá)的基本形態(tài)和發(fā)展趨勢(shì)。所以，采用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)研究物理問(wèn)題有重要的意義。

4.4 ? ?新課教學(xué)

4.4.1 ? ?數(shù)形結(jié)合初識(shí)比值定義法

情境創(chuàng)設(shè)：一輛小汽車(chē)在平直公路勻速行駛，研究者從某一時(shí)刻起每10 s對(duì)它進(jìn)行一次定位，記錄的數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

（1）分析表格中的數(shù)據(jù)，找出其中隱含的“不變量”——恒量。通過(guò)分析數(shù)據(jù)，找出路程與時(shí)間的比值是一個(gè)不變量。但這個(gè)恒量仍比較抽象，表征的意義也不夠直觀。

（2）用描點(diǎn)法作出小汽車(chē)的s-t關(guān)系圖像，并從中找出規(guī)律，如圖2所示。

從圖像中可以發(fā)現(xiàn)，路程以一種固定的趨勢(shì)隨時(shí)間變化，表現(xiàn)為圖像的斜率不變，因此斜率就是我們要找的“不變量”，它表征小汽車(chē)運(yùn)動(dòng)快慢不變的本質(zhì)特征，且不隨路程和時(shí)間的改變而改變。在s-t圖中斜率是路程與時(shí)間的“比值”，這個(gè)“比值”有特定的物理意義，在這里人們把它定義為“速度”。

從以上兩種方式中提煉出共同的做法：用比的方法來(lái)找“不變量”，從而提出比值定義法。最后，抽象概括出此比值為反映事物本質(zhì)屬性的一個(gè)新的物理量，與定義式里的物理量并沒(méi)有關(guān)系，是一個(gè)不變量。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，將抽象的物理知識(shí)具象到數(shù)字與圖形中，更加有利于學(xué)生去理解。相對(duì)于數(shù)據(jù)，圖像對(duì)于情境的描述更加直觀，更容易觀察到數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出本質(zhì)特征。因此，用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行比值定義的教學(xué)，可以讓比值代表的內(nèi)涵更具體化和顯性化，有助于對(duì)物理量本質(zhì)的理解。

4.4.2 ? ?數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比值定義的思維過(guò)程

不管是用“數(shù)”還是“形”進(jìn)行比值定義物理量時(shí)，都是尋求一個(gè)“不變量”，在尋找這個(gè)“不變量”時(shí)有兩種思維方式，如圖3所示。一種是抽象思維，另一種是形象思維。數(shù)形結(jié)合，一方面是將抽象思維和形象思維協(xié)調(diào)發(fā)展，將原本需要通過(guò)抽象思維解決的問(wèn)題，借助形象思維進(jìn)行顯性化處理，優(yōu)化了解決問(wèn)題的方法。另一方面，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)物理情境進(jìn)行分析，促進(jìn)學(xué)生從感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知，學(xué)會(huì)利用科學(xué)方法獲得新知識(shí)，并且能夠以文字或公式的形式定義新知識(shí)。這兩種思維方式相輔相成，相得益彰。

4.4.3 ? ?進(jìn)階嘗試：數(shù)形結(jié)合定義重力加速度

情境：據(jù)記載，1590年出生在比薩城的意大利物理學(xué)家伽利略，曾在比薩斜塔上做自由落體實(shí)驗(yàn)，他將一個(gè)重10磅、一個(gè)重1磅的鐵球從相同的高度同時(shí)扔下，結(jié)果兩個(gè)鐵球同時(shí)落地，由此發(fā)現(xiàn)了自由落體定律。后來(lái)人們將羽毛和蘋(píng)果放在真空管中做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)它們同時(shí)落地。

提問(wèn)：是什么力使得鐵球下落？不同鐵球都能同時(shí)落地，說(shuō)明它們存在“共性”，能否給這個(gè)“共性”下個(gè)定義？

通過(guò)頻閃照相機(jī)記錄得到一個(gè)蘋(píng)果做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)，見(jiàn)表2。

分析數(shù)據(jù)作出v-t圖像，找出不變量，并嘗試進(jìn)行定義。在v-t圖像中可直觀得出線性圖線，其斜率為9.8 m/s2（如圖4所示），因此速度與時(shí)間的“比值”應(yīng)該就是能反映自由落體運(yùn)動(dòng)共性特征的一個(gè)物理量，人們把它定義為重力加速度，用g表示，即g=v/t。所有物體在做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的重力加速度都是一樣的，與質(zhì)量大小無(wú)關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：重力加速度對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是個(gè)全新的物理量，雖然之前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)，但通過(guò)數(shù)形結(jié)合畫(huà)出的v-t圖像與前面勻速直線運(yùn)動(dòng)的s-t圖像特征相似，通過(guò)思維遷移，不難發(fā)現(xiàn)該線性圖像的斜率也是不變的，同時(shí)也代表一個(gè)物理量。由此，讓學(xué)生感受到利用數(shù)形結(jié)合的方法可以更直觀地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自己也能夠輕易地用“比值”來(lái)定義新物理量，從而加深對(duì)比值定義的理解，感悟它的本質(zhì)內(nèi)涵。

4.4.4 ? ?實(shí)戰(zhàn)演練：數(shù)形結(jié)合定義“新”物理量——彈簧的勁度系數(shù)

探究“彈簧伸長(zhǎng)量與彈力的關(guān)系”時(shí)，讓學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并自行定義彈簧的勁度系數(shù)。如圖5所示，在一塊展示板（板面貼一張方格紙）上掛5根一樣的彈簧，第一根不掛鉤碼，原長(zhǎng)7 cm ，后面4根分別掛上1至4個(gè)鉤碼，當(dāng)彈簧靜止時(shí)標(biāo)記彈簧末端的位置，用刻度尺測(cè)量彈簧的長(zhǎng)度，記錄數(shù)據(jù)（見(jiàn)表3）。

直接看表格中的數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)單地將，并不能得出不變量。于是，把實(shí)驗(yàn)展板上的鉤碼取下，將展板白紙上彈簧末端的標(biāo)記點(diǎn)連接起來(lái)，發(fā)現(xiàn)正好是一條直線，將展板旋轉(zhuǎn)90°，再畫(huà)上橫坐標(biāo)（長(zhǎng)度L）和縱坐標(biāo)（拉力F），如圖6所示，可以看出線性關(guān)系。不過(guò)在求斜率時(shí)發(fā)現(xiàn)自變量不能是彈簧總長(zhǎng)L，而應(yīng)該選取伸長(zhǎng)量Δx（Δx=L-L0），因此求出斜率k=，也就找出了不變量。如前面的s-t圖像一樣，意味著這條直線的斜率代表一個(gè)物理量，我們可以給它下一個(gè)定義：在彈性限度內(nèi)，彈性體彈力的大小跟彈性體伸長(zhǎng)（或縮短）長(zhǎng)度的比值叫做彈性體的勁度系數(shù)。于是，彈力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系就可以寫(xiě)成F=kx。這個(gè)規(guī)律是英國(guó)科學(xué)家胡克發(fā)現(xiàn)的，因此稱(chēng)為胡克定律。為了證實(shí)這一定律，并擴(kuò)大適用范圍，胡克還做了大量實(shí)驗(yàn)，制作了各種材料構(gòu)成的不同形狀的彈性體，最終發(fā)現(xiàn)都符合這一規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)實(shí)驗(yàn)的巧妙之處在于4根完全相同的彈簧每次伸長(zhǎng)量與所受拉力都能在同一個(gè)展板上保留，可以直觀地進(jìn)行比較。同時(shí)，將每根受力伸長(zhǎng)的彈簧末端做上標(biāo)記，取下彈簧和鉤碼后，將各個(gè)標(biāo)記點(diǎn)連接起來(lái)，并畫(huà)上兩條坐標(biāo)，就呈現(xiàn)出F-x關(guān)系的線性圖，無(wú)需另外描點(diǎn)，數(shù)據(jù)真實(shí)，圖像直觀，學(xué)生一眼就能看出斜率是個(gè)定值，它反映的是彈性體的一種屬性，可以用一個(gè)新物理量來(lái)定義。這也讓學(xué)生更加確信，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以輕松定義出新的物理量，真切感受到數(shù)形結(jié)合在物理學(xué)習(xí)中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

通過(guò)以上三個(gè)案例分析，可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行比值定義，可以更直觀地看出參與定義的物理量之間的正比關(guān)系，且比值是一個(gè)不變的恒量。該比值不隨定義所用的物理量大小的改變而改變，可以抽象概括出此比值為反映事物本質(zhì)屬性的一個(gè)新的物理量。

4.4.5 ? ?比值定義中各物理量之間的關(guān)系

為了加深對(duì)比值定義的理解，我們還得讓學(xué)生知道各個(gè)物理量之間的關(guān)系。這里有兩組關(guān)系：一組是新物理量與參與定義的物理量之間的關(guān)系;另一組是參與定義的兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。

新定義的物理量是不變量，從圖像上也可以清楚地看出它不隨定義量的改變而改變，比值定義的物理量與參與定義的物理量之間沒(méi)有因果關(guān)系[3]。例如，速度是描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，它是通過(guò)位移與時(shí)間的比值來(lái)定義，位移是物體位置變化的表現(xiàn)，時(shí)間是物體運(yùn)動(dòng)持續(xù)性的表現(xiàn)。當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移和時(shí)間發(fā)生改變，但速度卻保持不變，這三者雖然有關(guān)聯(lián)，但速度與它們沒(méi)有因果關(guān)系，速度大小的變化是由受力情況決定。

在比值定義的三個(gè)量中，比值量是“不變量”，而另外兩個(gè)定義量是“變化量”，且它們都是正比的關(guān)系。這種根據(jù)“不變量”來(lái)研究“變化量”之間的正比關(guān)系有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。比如，“綠波帶”行車(chē)原理?！熬G波帶”是通過(guò)信號(hào)燈控制，使汽車(chē)在按照建議的速度——“綠波速度”（如圖7所示的指示牌上顯示的時(shí)速為50 km～55 km），通過(guò)主動(dòng)調(diào)控路口紅綠燈，一路綠燈通行，形成綠色通行波帶。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是根據(jù)兩個(gè)路口之間的距離和設(shè)計(jì)的車(chē)速，計(jì)算出兩個(gè)路口之間的綠燈間隔時(shí)間。這里的不變量就是速度v，而變化量是路程s和時(shí)間t。如果車(chē)輛在上一個(gè)路口綠燈后按照設(shè)計(jì)的車(chē)速行駛，那么到達(dá)下一個(gè)路口的時(shí)候剛好也是綠燈，一路綠燈暢通無(wú)阻，減少交通延誤。再如，彈簧測(cè)力計(jì)的工作原理。在彈性限度內(nèi)彈簧伸長(zhǎng)量Δx與所受拉力F成正比，其中不變量是勁度系數(shù)k，變化量是Δx與F，已知Δx就可以得到F。例如，某實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)對(duì)A、B 兩根長(zhǎng)度相同、粗細(xì)不同的橡皮筋進(jìn)行探究，并做成橡皮筋測(cè)力計(jì)，將橡皮筋的一端固定，另一端懸掛鉤碼（如圖8），記錄橡皮筋受到的拉力大小F 和橡皮筋的伸長(zhǎng)量Δx，根據(jù)多組測(cè)量數(shù)據(jù)作出的圖像如圖9所示， 將這兩根細(xì)橡皮筋并聯(lián)起來(lái)代替彈簧測(cè)力計(jì)，能夠測(cè)量力的最大值為22.5 N。

5 ? ?總 ?結(jié)

用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀兩者有機(jī)結(jié)合的方法認(rèn)識(shí)比值定義，一方面能將抽象內(nèi)涵具體化，更好地揭示所定義概念的本質(zhì)屬性。另一方面通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生的抽象思維和形象思維得到整合訓(xùn)練，在變與不變的辯證研究中加深對(duì)概念內(nèi)涵和外延的理解，感悟定義新物理量的方法，在學(xué)習(xí)中不斷提升科學(xué)素養(yǎng)。

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（欄目編輯 ? ?鄧 ? 磊）