“基本問題和基本方法”理念下的“三角形解的個數問題探究”

侯木蘭

[摘? 要] 在高中數學學習階段，許多問題可以歸結為一些基本問題的衍生，許多問題可以運用一些基本方法得到有效解決，而數學核心素養(yǎng)的發(fā)展也扎根于“基本問題和基本方法”之中，所以，掌握“基本問題和基本方法”是一種值得選擇的教學策略.

[關鍵詞] 基本問題;基本方法;三角形解的個數？

解三角形問題是高中數學的基本問題之一，而求解不確定的三角形的解的個數問題又是解三角形問題中的常見問題. 學生往往在遇到這類問題的時候會覺得不易下手，或者會片面地認為只能用正弦定理解決，然后得到答案就草草了之，所以對這一問題的處理方式，不但影響到前期關于正弦定理、余弦定理的理解認知，而且還有可能造成學生記憶結論的被動學習狀態(tài). 本文以執(zhí)教過的“三角形解的個數問題探究”教學片段為例，談談筆者對關于“基本問題基本方法”理念下的三角形解的個數問題的一些處理及思考，請同行指導.

案例片段呈現

1. 創(chuàng)設探究情境

引例（課前完成）：△ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，根據下列條件求解三角形：

（1）a=4，b=5，C=60°，求c;

（2）A=30°，B=45°，a=4，求c;

（3）a=4，b=5，c=5■，求C;

（4）①a=2■，b=■，B=30°，求c;②a=2■，b=■，B=30°，求c;

③a=2■，b=4■，B=30°，求c;④a=2■，b=■，B=30°，求c.

設計意圖：讓學生事先選擇正弦定理或余弦定理求解三角形. 本節(jié)課開始通過設疑引導學生觀察，歸納提煉三角形解的個數與條件中所給元素中邊和角的關系.

2. 設問指向課題

教師：以上三角形分別有幾解？相對應的已知條件中分別有哪些元素？

學生：（1）只有一組解，已知條件中的元素為兩邊及其夾角;（2）只有一組解，已知條件中的元素為兩角及一邊;（3）只有一組解，已知條件為三邊;（4）中已知條件都為兩邊及其中一邊所對的角，解的情況是：①只有一組解;②無解;③只有一組解;④有兩組解.

教師：完全正確！那么對于任意一個三角形，如果給出與上題中相同性質的元素，是否都會與上題中的三角形有相同的解的個數？

學生：上題中已知基本元素都是3個. 對于任意一個三角形，當已知條件中的基本元素為兩邊及其夾角、兩角及一邊、三邊時，都只有一組解，但當已知兩邊及其中一條邊所對的角時，有可能有一組解，有可能有兩組解，也有可能無解.

教師：其他同學同意她的說法嗎？請一位同學來說說為什么.

學生：初中學習過全等三角形及其判定，對于已知兩邊及其夾角、兩角及一邊或三邊的三角形，都是全等的，所以只有一組解. 當已知兩邊及其一條邊所對的夾角時，我感覺應該是解的情況不確定，但我也不知道如何求證解的情況.

教師：請同學們再仔細觀察引例（4），看看你能發(fā)現什么.

學生：我發(fā)現a和B都相同，只有b不同. 哦，那就是說隨著b的變化，三角形解的個數發(fā)生了變化.

教師：在a和B不變化的情況下，是否只有引例（4）中的b會使得三角形得到以上解的情況？

學生：肯定不是.

教師：那么當已知a和B時，b取哪些值會使得三角形分別有兩解、一解或者無解呢？

3. 探究過程

探究一（合作探究）：△ABC中，已知a，B，b為何值時，三角形有兩解、一解、無解？

設計意圖：延伸引例中揭示的問題，探究已知條件為一邊及另一邊所對的角時，三角形解的個數與另一邊的關系.

例1：已知△ABC中，a=4，B=30°，b為何值時，三角形有兩解、一解、無解？

教師：請同學們說說你們的做法！

學生1：（方法一）我用的是正弦定理：由■=■，得■=■，所以sinA=■. 又B=30°， 所以A∈0，■π，當■1時，b∈（0，2），三角形無解.

學生2：（方法二）我用的是余弦定理：由b2=a2+c2-2ac·cosB得c2-4■c+16-b2=0，視作c的一元二次方程，則Δ= （-4■）2-4（16-b2）=4b2-16. 當Δ<0，即00，若Δ>0，c1·c2>0，即20，c1·c2≤0，即b≥4，方程有兩個不相等的實數根且只有一根為正數根，三角形存在一解;若Δ=0，即b=2，方程有兩個相等的實數根且為正數根，三角形存在一解. 綜上可知，當2

學生3：（方法三）老師，我是畫圖做的.我先作角B，再作角B的鄰邊a，這樣就確定了頂點C的位置，再作角B的對邊b，即以C為圓心，b為半徑畫圓，觀察圓弧與角C的對邊c的交點的情況，那么有幾個交點就對應三角形有幾個解：

當2

當b=2或b≥4時，三角形存在一解

當0

教師：非常棒，我們?yōu)檫@三位同學鼓掌！解三角形問題的基本方法就是應用正弦定理或余弦定理建立方程進行求解. 對于方法一，在考慮解的問題時若能將sinA=■看作函數y=■與函數y=sinA，A∈0，■π的交點則更簡潔清晰，此處也體現了數形結合的基本思想;方法二是借助余弦定理，把問題轉化為方程的正根的問題，計算稍煩瑣，但也體現了正弦定理與余弦定理的相通之處以及方程思想的靈活應用;方法三也是非常巧妙的方法，三角形作為幾何圖形，在解決相關問題時從圖形的角度入手是非常自然的事情，只是在解答題上，還要配一定的符號說理方顯嚴謹.

教師：請同學們思考，上述結論能否推廣到任意的a，A和B？為什么？

學生：可以，推理過程如上. 當B為銳角時，若ba，一解;若b≤a，無解.

設計意圖：由具體到抽象，鍛煉學生的抽象概括意識，此題所得的結論并不需要學生記憶，重點在于這種探究總結的意識以及對于基本方法的掌握和靈活應用.

教師：如果改變條件呢？請同學們試用基本方法來解決以下問題.

變式：a=4，A=30°，b為何值時，三角形有一解、兩解、無解？

解析：方法一：由■=■，得b=8sinB，又A=30°，所以B∈0，■π. 當■1，即b>8時，三角形無解. 綜上可知，當48時，三角形無解.

方法二：由a2=b2+c2-2bc·cosA得c2-■bc+b2-16=0，視作c的一元二次方程，則Δ=（-■b）2-4（b2-16）=-b2+64.當Δ<0，即b>8時，方程無實數根，三角形無解;當Δ≥0，即00，若Δ>0，c1·c2>0，即40，c1·c2≤0，即0

方法三：圖解法（略）.

設計意圖：變式和例1本質相同，稍作改變，不可直接用上述結論，讓學生再次體會掌握基本方法帶來的重要，感受探究帶來的樂趣.

探究二（自主探究——鏈接高考）：通常用a，b，c表示△ABC的三個內角A，B，C所對邊的邊長，R表示△ABC外接圓的半徑，給定三個正實數a，b，R，其中b≤a，問：a，b，R滿足怎樣的關系時，以a，b為邊長，R為外接圓半徑的△ABC不存在、存在一個或兩個（全等的三角形算作同一個）？在△ABC存在的情況下，用a，b，R表示c.

解析：方法一：由正弦定理■=■=■=2R可得a=2R·sinA，b=2R·sinB.

當a=b時：

若a>2R，則sinA>1，與sinA∈（0，1]矛盾，故不存在三角形;

若a=b=2R，則A=B=■，與三角形內角和定理矛盾，故不存在三角形;

若a=b<2R，則0

當a>b時：

若a>2R，則sinA>1，與sinA∈（0，1]矛盾，故不存在三角形;

若a=2R，則A=■，故存在三角形且只有一個，c=■;

若a<2R，則sinA∈（0，1），sinB∈（0，1），則A∈0，■，B∈0，■，A>B或者A∈■，π，B∈0，■，即存在兩個三角形，對應的c=■.

綜上所述，當a>2R≥b或a≥b≥2R時，不存在;當a=b<2R時，存在一個，c=■■;當b

方法二：由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cosC，將cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-■·■+■·■代入上式，兩邊平方得有關c2的一元二次方程（c2）2+■-2（a2+b2）c2+（a2-b2）2=0（？鄢），其中Δ=■-2（a2+b2）■-4（a2-b2）2=■（a2-4R2）（b2-4R2）.

當Δ<0，即b<2R

當Δ≥0時，方程有實數根，不妨記方程的兩根分別為c1，c2，由（？鄢）式易知c1·c2≥0.

若Δ=0，c1·c2=0，即a=b=2R時，方程有兩個相等實根為0，三角形不存在;

若Δ=0，c1+c2>0，c1·c2>0，即a=2R>b時，方程有兩個相等正根為c1=c2=a2-b2，三角形存在且只有一個，且c=■;

若Δ>0，c1+c2<0，即a>b>2R時，方程有兩個不等負根，三角形不存在;

若Δ>0，c1+c2>0，c1·c2=0，即a=b<2R時，方程有兩個不等實根，其中一根為c1=0，另一根為c2=■（4R2-a2），三角形存在且只有一個，且c=■■;

若Δ>0，c1+c2>0，c1·c2>0，即b0？圯2R2（a2+b2）-a2b2>0，又4R2a2-a2b2>2R2（a2+b2）-a2b2，則b<2R）.

設計意圖：本題中雖然給出的三角形的基本元素為兩邊及外接圓半徑，表面似乎與例1及變式不同，但本質都是三角形解的個數問題，所以仍采用解三角形問題的基本方法，即使用正弦定理或者余弦定理建立方程，只是本題中因為b≤a所以需分類討論a與b的關系，難度有所加大，但在前面例題的鋪墊之下部分學生還是可以快速順利解決的. 在討論a與b的關系的基礎上，再同例1和變式一樣進行討論，整個解決過程依舊彰顯了基本方法的重要性;同時，也需要體會和能夠自然地進行應用基本數學思想.

案例反思

基于“基本問題和基本方法”的理念，以上片段是筆者在關于“三角形解的個數探究”教學中的一點處理，呈現了“用正弦定理，再轉化為函數的交點個數問題”“用余弦定理，轉化為方程正數根的問題”“作圖”的三種基本方法，展示了問題探究和方法提煉的詳細過程. 實際上，含參的三角形解的個數問題并不簡單，但是通過以上教學過程的設計與實施，還是能取得較好的效果，不僅可以促進學生夯實基礎知識，強化基本技能，還可以領悟基本的數學思想. 在整個探究過程中獲得數學探究活動的基本經驗.

高中數學的學習離不開解題，但從數學試題的編制和考查來看，我們需要了解和掌握數學問題所涉及的基本概念，要了解試題包含的基本問題，要熟悉解決相應基本問題的基本方法，也許還要自覺運用一些基本的數學思想. 這是我們了解數學試題，乃至數學問題所涉及的“基礎”. 所以在教學中需要老師善于引導學生把握問題本質，抓住解題關鍵，指導學生學會用數學眼光來發(fā)現甚至提出問題，用數學的思維來分析和解決問題，用數學的語言表達和闡述問題，促進學生在歸納概括基本問題和總結提煉解題基本方法的學習中，發(fā)展數學核心素養(yǎng).