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    數(shù)學(xué)中的文化素養(yǎng)

    2013-04-29 19:21:43蔣邕平呂德清
    新校園·上旬刊 2013年8期
    關(guān)鍵詞:文化素養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)數(shù)學(xué)文化

    蔣邕平 呂德清

    摘 要:數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象,其內(nèi)涵十分豐富。隨著數(shù)學(xué)文化研究的深入,數(shù)學(xué)文化也走進(jìn)中小學(xué)課堂,滲入到實(shí)際數(shù)學(xué)中。我們要努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中真正受到文化感染,產(chǎn)生文化共鳴,體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)素養(yǎng);文化素養(yǎng)

    一、數(shù)學(xué)文化的定義

    從狹義上講,數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言,以及它的形成和發(fā)展;從廣義上說(shuō),除上述內(nèi)涵以外,數(shù)學(xué)文化還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系,等等。

    二、數(shù)學(xué)文化的存在價(jià)值

    在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,數(shù)學(xué)文化是一個(gè)單獨(dú)的板塊,其重要性不言而喻。20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)曾經(jīng)存在著脫離社會(huì)文化的孤立主義傾向,并一直影響到今天的中國(guó)。數(shù)學(xué)的過(guò)度形式化,使人錯(cuò)誤地認(rèn)為數(shù)學(xué)只是少數(shù)學(xué)天才腦子里想象出來(lái)的“自由創(chuàng)造物”,數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)須社會(huì)的推動(dòng),其真理無(wú)須實(shí)踐的檢驗(yàn),當(dāng)然,數(shù)學(xué)的進(jìn)步也無(wú)須人類(lèi)文化的哺育。于是,西方的數(shù)學(xué)界有“經(jīng)驗(yàn)主義的復(fù)興”。懷特(White)的數(shù)學(xué)文化論力圖把數(shù)學(xué)回歸到文化層面??巳R因(Kline)的《古今數(shù)學(xué)思想》《西方文化中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué):確定性的喪失》相繼問(wèn)世,力圖營(yíng)造數(shù)學(xué)文化的人文色彩。

    國(guó)內(nèi)最早注意數(shù)學(xué)文化的學(xué)者是北京大學(xué)的教授孫小禮,她和鄧東皋等合編的《數(shù)學(xué)與文化》匯集了一些數(shù)學(xué)名家的有關(guān)論述,也記錄了從自然辯證法研究的角度對(duì)數(shù)學(xué)文化的思考。稍后出版的有齊民友的《數(shù)學(xué)與文化》,主要從數(shù)學(xué)非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,特別指出了思維的文化意義。鄭信等出版的專(zhuān)著《數(shù)學(xué)文化學(xué)》,特點(diǎn)是用社會(huì)建構(gòu)主義的哲學(xué)觀,強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)共同體”產(chǎn)生的文體效應(yīng)。

    以上的著作以及許多的論文,都力圖把數(shù)學(xué)從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來(lái),重點(diǎn)是分析數(shù)學(xué)文明史,充分揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵,肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的價(jià)值。

    三、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化的民族性和世界性

    每個(gè)民族都有自已的文化,也就一定有屬于這個(gè)文化的數(shù)學(xué)。古希臘的數(shù)學(xué)和中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)都有輝煌的成就和優(yōu)秀的傳統(tǒng)。但是,它們之間有著明顯的差異。

    古希臘是奴隸制國(guó)家。當(dāng)時(shí)希臘的雅典城邦實(shí)行奴隸主的民主政治。男性奴隸主的全體大會(huì)選舉執(zhí)政官,對(duì)一些戰(zhàn)爭(zhēng)、財(cái)政大事實(shí)行民主表決。奴隸主之間講民主,往往需要用理由說(shuō)服對(duì)方,使學(xué)術(shù)上的辯證風(fēng)氣濃厚。為了證明自已堅(jiān)持的是真理,先設(shè)一些人人皆同意的“公理”,規(guī)定一些名詞的意義,然后把要陳述的命題,稱(chēng)為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產(chǎn)生的。

    中國(guó)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期也有百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)風(fēng)氣,但是沒(méi)有實(shí)行古希臘統(tǒng)治者之間的民主政治,而是實(shí)行君王統(tǒng)治制度。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,也是知識(shí)分子自由表達(dá)見(jiàn)解的黃金年代。當(dāng)時(shí)的思想家和數(shù)學(xué)家,主要目標(biāo)是幫助君王統(tǒng)治臣民、管理國(guó)家。因此,中國(guó)的古代數(shù)學(xué),多半以“管理數(shù)學(xué)”的形式出現(xiàn),目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計(jì)算稅收、運(yùn)輸糧食等國(guó)家管理的實(shí)用目標(biāo),理性探討在這里退居其次。因此,從文化意義上看,中國(guó)數(shù)學(xué)可以說(shuō)是“管理數(shù)學(xué)”和“木匠數(shù)學(xué)”,存在的形式則是官方的文書(shū)。

    古希臘的文化時(shí)尚是追求精神上的享受,以獲得對(duì)大自然的理解為最高目標(biāo)。因此,“對(duì)頂角相等”這樣的命題,在《幾何原本》里列入命題15,借助公理3(等量減等量,其差相等)給予證明。在中國(guó)的數(shù)學(xué)文化里,不可能給這樣的直觀命題留下位置。

    同樣,中國(guó)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用的管理數(shù)學(xué),卻在算法上得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。負(fù)數(shù)的運(yùn)用、解方程的開(kāi)根法以及楊輝(賈憲)三角、祖沖之的圓周率計(jì)算、天元術(shù)那樣的精致計(jì)算課題,也只能在中國(guó)誕生,而為古希臘文明所輕視。

    我們應(yīng)當(dāng)充分重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的實(shí)用與算法的傳統(tǒng),同時(shí)又必須吸收人類(lèi)一切有益的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造,包括古希臘的文化傳統(tǒng)。當(dāng)進(jìn)入21世紀(jì)的時(shí)候,我們作為地球村的村民,一定要融入世界數(shù)學(xué)文化,將數(shù)學(xué)的民族性和世界性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

    四、數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

    走出數(shù)學(xué)孤立主義的陰影,數(shù)學(xué)的內(nèi)涵將十分豐富。但在中國(guó)數(shù)學(xué)教育界,常常有“數(shù)學(xué)=邏輯”的觀念。據(jù)調(diào)查,學(xué)生把數(shù)學(xué)看作“一堆絕對(duì)真理的總集”,或者是“一種符號(hào)的游戲”。“數(shù)學(xué)遵循記憶事實(shí)—運(yùn)用算法—執(zhí)行記憶得來(lái)的公式—算出答案”的模式,“數(shù)學(xué)=邏輯”的公式帶來(lái)了許多負(fù)面影響。正如一位智者所說(shuō):“一個(gè)充滿(mǎn)活力的數(shù)學(xué)美女,只剩下一副X光照片上的骨架了!”

    1.數(shù)學(xué)的內(nèi)涵

    包括用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察現(xiàn)實(shí),構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、圖表、符號(hào)表示,進(jìn)行數(shù)學(xué)交流。通過(guò)理性思維,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)素質(zhì),追求創(chuàng)新精神,欣賞數(shù)學(xué)之美。

    半個(gè)多世紀(jì)以前,著名數(shù)學(xué)家柯朗在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫(xiě)道:“今天,數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī)。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過(guò)分專(zhuān)門(mén)和過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì),而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師、學(xué)生和一般受過(guò)教育的人都要求有一個(gè)建設(shè)性的改造,其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體,是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)?!?/p>

    和所有文化現(xiàn)象一樣,數(shù)字文化直接支配著人們的行動(dòng)。孤立主義的數(shù)學(xué)文化,一方面拒人于千里之外,使人望數(shù)學(xué)而生畏;另一方面,又孤芳自賞,自言自語(yǔ),令人把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“怪人”。學(xué)校里的數(shù)學(xué),原本是青少年喜愛(ài)的學(xué)科,卻成為過(guò)濾的“篩子”、打人的“棒子”。伴隨著先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。

    2.數(shù)學(xué)素養(yǎng)

    數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認(rèn)識(shí)論和方法論的綜合性思維形式,它具有概念化、抽象化、模式化的認(rèn)識(shí)特征。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人善于把數(shù)學(xué)中的概念、結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用于認(rèn)識(shí)一切客觀事物,具有這樣的哲學(xué)高度和認(rèn)識(shí)特征。具體地說(shuō),一個(gè)具有“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的人,他在認(rèn)識(shí)世界和改造世界的活動(dòng)中,常常表現(xiàn)出三個(gè)特點(diǎn):

    A.在討論問(wèn)題時(shí),習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)定義(界定概念),強(qiáng)調(diào)問(wèn)題存在的條件;

    B.在觀察問(wèn)題時(shí),習(xí)慣于抓住其中的(函數(shù))關(guān)系,在微觀(局部)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出多因素的全局性(全空間)考慮;

    C.在認(rèn)識(shí)問(wèn)題時(shí),習(xí)慣于將已有的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念如對(duì)偶、相關(guān)、隨機(jī)、泛函、非線性、周期性、混沌等概念廣義化,用于認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題。比如可以看出價(jià)格是商品的對(duì)偶,效益是公司的泛函等。

    更通俗地說(shuō),數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)家的一種職業(yè)習(xí)慣。我們希望把我們的專(zhuān)業(yè)搞得更好,更精密,更嚴(yán)格,有這種優(yōu)秀的職業(yè)習(xí)慣當(dāng)然是好事。一位名家說(shuō):“真正的數(shù)學(xué)家應(yīng)能把他的東西講給任何人都能使其聽(tīng)得懂。因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)形式再?gòu)?fù)雜,總有它簡(jiǎn)單的思想實(shí)質(zhì)。”在現(xiàn)代科學(xué)中,數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維十分重要,這種能力不只表現(xiàn)為死記硬背,不光表現(xiàn)在計(jì)算能力方面,特別表現(xiàn)在建模能力上,建模能力的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。思想比公式更重要,建模比計(jì)算更重要。學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué),對(duì)它始終有興趣,是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好條件、好方法。學(xué)生要消除對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感,培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,了解更多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和思想,提高數(shù)學(xué)悟性和數(shù)學(xué)意識(shí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。

    3.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用

    下面舉一個(gè)例子,看看數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用。18世紀(jì),德國(guó)哥德堡有一條河,河中有兩個(gè)島,兩岸與兩島間架有七座橋。問(wèn)題是:一個(gè)人怎樣才可以不重復(fù)地走遍七座橋而回到原地?這個(gè)問(wèn)題好像與數(shù)學(xué)關(guān)系不大,它是幾何問(wèn)題,但不是關(guān)于長(zhǎng)度、角度的歐氏幾何。很多人都失敗了,歐拉以敏銳的數(shù)學(xué)家眼光,猜想這個(gè)問(wèn)題可能無(wú)解(這是合情推理)。然后他以高度的抽象能力,把問(wèn)題變成了一個(gè)“一筆畫(huà)”問(wèn)題,能否從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)不離開(kāi)紙面而畫(huà)出所有的連線,使筆仍回到原來(lái)出發(fā)的地方?!耙还P畫(huà)”的要求使得圖形有這樣的特征:除起點(diǎn)與終點(diǎn)外,一筆畫(huà)問(wèn)題中線路的交岔點(diǎn)處,有一條線進(jìn)就一定有一條線出,故在交岔點(diǎn)處匯合的曲線必為偶數(shù)條。七橋問(wèn)題中,有四個(gè)交叉點(diǎn)處都交匯了奇數(shù)條曲線,故此問(wèn)題不可解。歐拉還進(jìn)一步證明了:一個(gè)連通的無(wú)向圖,具有通過(guò)這個(gè)圖中的每一條邊一次且僅一次的路,當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)次頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或?yàn)?。這是他為數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支——圖論所作的奠基性工作,后人稱(chēng)此為歐拉定理。

    這個(gè)例子是使用數(shù)學(xué)思維解決了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。1928年,英國(guó)物理學(xué)家狄拉克(Dirac)在研究量子力學(xué)時(shí)得到了一個(gè)描述電子運(yùn)動(dòng)的Dirac方程,由于開(kāi)平方,得到了正負(fù)兩個(gè)完全相反的解。也就是說(shuō),這個(gè)方程除了可以描述已知的帶負(fù)電的電子的運(yùn)動(dòng),還描述了除了電荷是正的以外,其他結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與電子一樣的反粒子的運(yùn)動(dòng)。1932年,物理學(xué)家安德森(Anderson)在宇宙射線中得到了正電子,并于1936年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。我國(guó)物理學(xué)家趙忠堯1930年正在加洲理工學(xué)院讀研究生,他的試驗(yàn)結(jié)果一出來(lái),在他隔壁辦公室的安德森立刻意識(shí)到試驗(yàn)結(jié)果表明一種尚未認(rèn)知的物質(zhì)出現(xiàn)了,于是,進(jìn)一步做工作將獲得成功。趙忠堯與諾貝爾獎(jiǎng)擦肩而過(guò)。

    把“復(fù)雜問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問(wèn)題”的思考——從探索四面的重心問(wèn)題談起:

    問(wèn)題1:為什么三角形三條中線的交點(diǎn)稱(chēng)之為三角形的重心,它是如何被發(fā)現(xiàn)的?

    問(wèn)題2:如何求一個(gè)四面體的重心?

    實(shí)驗(yàn):用針頭頂著三角形木板的重心,木板保持平衡,這就驗(yàn)證了三角形三條中線的交點(diǎn)確實(shí)是三角形的重心??梢哉f(shuō)我們對(duì)三角形重心的認(rèn)識(shí)也就停留在驗(yàn)證這樣的層面上。

    至于四面體的重心問(wèn)題,猜測(cè):四面體的重心應(yīng)該是四個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)底面重心連線的交點(diǎn),但無(wú)法像三角形那樣可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

    數(shù)學(xué)的重要功能之一就是教給人們認(rèn)識(shí)客觀世界的方法。而處理復(fù)雜問(wèn)題的基本方法之一就是盡可能把問(wèn)題簡(jiǎn)單化,直至該問(wèn)題足夠簡(jiǎn)單為止。如尋求四面體的重心問(wèn)題,首先退而尋找三角形的重心,由于三角形的重心問(wèn)題仍不夠簡(jiǎn)單明了,我們能否再退到更為明顯的問(wèn)題呢?

    設(shè)想一根粗細(xì)均衡的木棒,它的重心顯然位于它的中點(diǎn),這是一個(gè)非常明顯的基本事實(shí)。抽象成數(shù)學(xué)命題就是:線段的中點(diǎn)就是該線段的重心。由此我們不難推導(dǎo)出三角形和四面體的重心。

    我們把解決上述問(wèn)題的一般思路歸納如下:體—面—線;四面體重心—三角形重心—線段的重心。

    上述例子充分揭示了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,使我們對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)由“是什么”提升到“為什么是”的層面上,這是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程。

    總之,數(shù)學(xué)文化離不開(kāi)數(shù)學(xué)史,但是不能僅限于數(shù)學(xué)史。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、進(jìn)入課堂、融入教學(xué)時(shí),數(shù)學(xué)就會(huì)更加平易近人,數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)在文化層面上讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)。

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