豐富基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

華麗芳

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中把“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”作為“四基礎(chǔ)”目標(biāo)提出，體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中的重要地位。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與結(jié)果、個(gè)性與共性、內(nèi)隱與外顯的統(tǒng)一體。我們需要關(guān)注如何使這些已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在不斷深化的過程中從單薄走向豐富，從而實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的提升。

【關(guān)鍵詞】基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 思維品質(zhì) 豐富 提升

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)致力于為學(xué)生的思維發(fā)展而教。教師要通過把經(jīng)驗(yàn)材料“數(shù)學(xué)化”，把數(shù)學(xué)材料“邏輯化”，讓學(xué)生通過具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)探索理解知識(shí)、掌握方法、解決問題，從而獲得知識(shí)、形成能力、發(fā)展思維。

本文結(jié)合蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊(cè)“有余數(shù)的除法”這節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧诘湍昙?jí)的課堂教學(xué)中基于已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步深度挖掘，逐步提高學(xué)生的思維水平。

一、豐富操作與表達(dá)經(jīng)驗(yàn)。提升數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是充滿著探索和創(chuàng)造的過程。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)最直接的獲取方式是動(dòng)手操作，動(dòng)手操作是解決數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)識(shí)水平的矛盾的重要手段。操作能促使學(xué)生把外顯的動(dòng)作過程與內(nèi)部思維活動(dòng)和諧地結(jié)合在一起，幫助其理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的操作經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中教師可在深入研讀和領(lǐng)會(huì)教材編排意圖的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)有意義的操作情境，喚醒學(xué)生已有的操作經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

如在教學(xué)“有余數(shù)的除法”這一課之前，學(xué)生已經(jīng)具備分小棒、擺圖形的操作經(jīng)驗(yàn)。所以，在探究“把10根棒棒糖，每人分2根、3根、4根、5根，可以分給幾人”時(shí)，設(shè)計(jì)的動(dòng)手操作分一分是可選擇的。提供的操作材料有兩種，一種是小棒，還有一種是畫有10根棒棒糖圖片的學(xué)習(xí)單。結(jié)果是怎樣的呢？學(xué)生根據(jù)教師提供的兩種操作材料任選一種進(jìn)行，課堂上個(gè)別學(xué)生是用擺的方法，大部分學(xué)生是用圈的方法，如下圖：

以上設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)分一分的兩種方法——擺一擺和圈一圈，激活、呈現(xiàn)了學(xué)生已有操作經(jīng)驗(yàn)。從教學(xué)實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生已有的操作經(jīng)驗(yàn)是存在差異的，選擇畫圖的學(xué)生相對(duì)于選擇擺小棒的學(xué)生來說，他們的數(shù)學(xué)抽象思維水平已有一定程度的提升。

動(dòng)手操作對(duì)于促進(jìn)學(xué)生深刻理解有獨(dú)到的價(jià)值，但我們還應(yīng)該認(rèn)識(shí)到操作活動(dòng)的必要內(nèi)化的意義。概念的獲得不僅僅依賴于操作，更要重視對(duì)操作結(jié)果的分析，使學(xué)生能夠?qū)D示作出合理的解釋，提煉操作心得，并進(jìn)行交流和分享，從中鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，在理解知識(shí)本質(zhì)的同時(shí)有效提升數(shù)學(xué)抽象能力。

如引導(dǎo)學(xué)生觀察操作后的結(jié)果（圖2），教師提問：“每人3根，剩余1根，這1根還能按每人3根的要求繼續(xù)分嗎？”讓學(xué)生通過思考初步感悟平均分后產(chǎn)生剩余是因?yàn)橛嘞碌牟糠植粔蛞环莸臉?biāo)準(zhǔn)，從而化解本課的教學(xué)難點(diǎn)。

概念本質(zhì)上是一種分類行為，分類的過程就是事物抽象的過程。分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，其關(guān)鍵是確定準(zhǔn)確而又合理的分類標(biāo)準(zhǔn)。平均分這個(gè)概念對(duì)于學(xué)生來說不再陌生，但學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是平均分后正好分完，對(duì)于有剩余的情況是不是平均分是有疑惑的，理解時(shí)有難度。教學(xué)時(shí)，教師根據(jù)分的結(jié)果讓學(xué)生嘗試分分類，先根據(jù)不同點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生交流得出平均分后有“正好分完”和“還有剩余”這2種情況（圖3）;再關(guān)注不同分法的相同點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)每種分法都是每份分得同樣多，所以都是平均分。以上設(shè)計(jì)讓學(xué)生從具體的操作到抽象的概括表達(dá)的學(xué)習(xí)歷程中逐步感悟到平均分后有兩種情況：一種是正好分完，還有一種是分后有剩余的，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、豐富模仿與比較經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)建模能力

新課標(biāo)重點(diǎn)提出了對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的要求，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。教師在教學(xué)時(shí)，要把握新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，從新知的生長(zhǎng)點(diǎn)展開探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷思維突圍的過程，在意義建構(gòu)的過程中提升建模能力。

如“有余數(shù)的除法”這課，平均分后有正好分完可以用除法算式表示，等號(hào)左邊這部分是表示分的過程，等號(hào)右邊是表示分的結(jié)果，這是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。需要讓學(xué)生明確的是，對(duì)于表示平均分后還有剩余的情況也可以用除法算式表示。如10根棒棒糖，每人分3根，這是分的過程;可以分給3人，還剩1根，這是分的結(jié)果，用怎樣的除法算式可以把分的過程和結(jié)果完整地表示出來呢？教學(xué)時(shí)先讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上試一試。基于已有的模仿經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生列出的算式是10÷3=3（人），對(duì)余下的1根不知如何表示。也有少數(shù)思維比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生在算式10÷3=3（人）后面增加了“余1根”的字樣。對(duì)于這兩種表示方法，教師引導(dǎo)學(xué)生把分的過程和結(jié)果與有余數(shù)除法的寫法進(jìn)行了一一對(duì)應(yīng)的比較，引導(dǎo)學(xué)生感悟到第二種寫法更為科學(xué)合理。在此基礎(chǔ)上介紹用6個(gè)小圓點(diǎn)連接剩余的部分使算式更為簡(jiǎn)潔，寫成10÷3=3（人）……1（根）。至此，對(duì)于有余數(shù)的除法如何用除法算式表示在學(xué)生心中進(jìn)行了初次的建模。隨后教師指導(dǎo)學(xué)生把每人分4根的過程和結(jié)果用除法算式表示出來，在前面的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的模仿經(jīng)驗(yàn)得到了完善和補(bǔ)充，所以在這個(gè)環(huán)節(jié)順利列出算式10÷4=2（人）……2（根）。

有了初次建模的經(jīng)驗(yàn)，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前后知識(shí)進(jìn)行比較，之前學(xué)的平均分后正好分完，可以用這樣的算式□÷□=□來表示，也就是幾除以幾等于幾，那還有剩余的情況還能這樣表示嗎？通過比對(duì)，幫助學(xué)生利用已有的平均分后正好分完的除法算式的模型，逐步抽象出平均分后還有剩余的有余數(shù)除法算式的模型是□÷□=□……□，即幾除以幾等于幾余幾，突出其本質(zhì)上的不同點(diǎn)。

低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為直接化和圖像化。上述教學(xué)過程中，在直觀操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)分析。通過比對(duì)，讓學(xué)生同中求異或者異中求同，在觀察、比較、分析及多維感悟中，建立起平均分后的兩種數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)由簡(jiǎn)單模仿到意義建構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)的建模能力也隨之提升。

三、豐富遷移和類推經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)推理能力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不只是知識(shí)和技能，更重要的是思想與方法。

思維始于直觀，止于抽象。因此，在教學(xué)中要求教師能根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和真實(shí)的思維水平，提供直觀的實(shí)踐操作的機(jī)會(huì)和抽象的思維拓展的空間，豐富學(xué)生遷移類推的經(jīng)驗(yàn)，去研究同類新問題，并能在學(xué)習(xí)過程中不斷調(diào)整自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考和判斷，使推理能力得到進(jìn)一步的發(fā)展。

如“余數(shù)一定要比除數(shù)小”是“有余數(shù)的除法”的算理核心所在，要讓學(xué)生真正理解這一算理的本質(zhì)，教學(xué)時(shí)教師不直接告知，而是引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“猜想余數(shù)一動(dòng)手操作一推理驗(yàn)證一概括結(jié)論”的過程，幫助學(xué)生充分理解“余數(shù)都比除數(shù)小”，并滲透歸納推理的數(shù)學(xué)思想。

首先從學(xué)生擺正方形的操作經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，先猜想：如果正好擺完，猜猜可能有多少根小棒？明確正好擺完的小棒根數(shù)和4的乘法口訣有關(guān)。再?gòu)膶W(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)繼續(xù)猜想：如果不能正好擺完，猜猜會(huì)剩余幾根呢？隨后的驗(yàn)證猜想環(huán)節(jié)，讓每一個(gè)學(xué)生動(dòng)手用12、13、14、15、16根小棒擺正方形，根據(jù)擺的結(jié)果（圖4）引導(dǎo)學(xué)生思考：

余1根、余2根、余3根還能再擺正方形嗎？明確余下的根數(shù)比4根少不夠擺一個(gè)正方形了。追問：對(duì)于16根小棒擺正方形的情況，可能余4根嗎？讓學(xué)生通過辨析明確“滿4根又可以擺1個(gè)正方形”，所以不可能余4根。根據(jù)已有的事實(shí)，概括得出結(jié)論：除數(shù)是4的有余數(shù)除法中余數(shù)比除數(shù)小。

接著教師引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想推理出擺五邊形可能剩余的情況，再通過課件動(dòng)畫演示操作結(jié)果驗(yàn)證得出，除數(shù)是5的有余數(shù)除法中余數(shù)也比除數(shù)小。如果除數(shù)是6呢？7呢？這時(shí)候余數(shù)是不是也比除數(shù)??？教師啟發(fā)學(xué)生結(jié)合擺正方形和五邊形的過程，根據(jù)遷移和類推的經(jīng)驗(yàn)，再次經(jīng)過聯(lián)想推理出擺更多邊形有剩余的情況。最后概括結(jié)論：在有余數(shù)的除法中，余數(shù)都比除數(shù)小。并進(jìn)行逆向推理：余數(shù)可不可能和除數(shù)相等或者比除數(shù)大？讓學(xué)生結(jié)合操作的過程推理出：如果余數(shù)和除數(shù)相等，或者比除數(shù)大，就可以再擺一個(gè)，所以余數(shù)必定比除數(shù)小。

數(shù)學(xué)教學(xué)，是教師帶領(lǐng)學(xué)生在課堂場(chǎng)域與數(shù)學(xué)的真實(shí)相遇，尋找兒童思維與教師思維的連接點(diǎn)切入是關(guān)鍵。以上教學(xué)設(shè)計(jì)打破常規(guī)的操作活動(dòng)，不再只是教師指令下的“動(dòng)手活動(dòng)”，而是邊推理邊操作，把操作和思維緊密地結(jié)合起來，“余數(shù)一定要比除數(shù)小”這一算理也隨之深深地印刻在學(xué)生的頭腦里，思維也在這樣的活動(dòng)中變得更加深入。

學(xué)習(xí)的過程是學(xué)習(xí)主體與知識(shí)在不斷碰撞、摩擦、調(diào)整從而達(dá)到融合的一段旅程。如果我們能在課堂中給予學(xué)生積極溫暖的體驗(yàn)，創(chuàng)造有情趣、有意思，直達(dá)心靈深處的情境，讓他們?cè)诤椭C溫馨的學(xué)習(xí)活動(dòng)中不斷豐富經(jīng)歷，那么在獲得豐富基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)學(xué)生的思維品質(zhì)也能得到有效的提升。